2022-2023学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高一上学期期末数学试题（解析版）

华中师大一附中2022—2023学年度上学期高一期末检测数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1. 如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据文氏图的意义，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，求解即可.

【详解】根据题意，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，

即.

故选：C.

2. 若，均为实数，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】通过不等式的性质一一验证其充分性与必要性即可.

【详解】若，则，则或，故充分性不成立；

若，则，故必要性成立；

故“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

3. 下列坐标所表示的点不是函数图象的对称中心的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据正切函数的性质即可求得对称中心.

【详解】由已知，令

当时，，ABD均符合题意，

故选：C

4. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震级数之间的关系式为.2022年9月18日14时44分在中国台湾花莲发生的6.9级地震所释放出来的能量是2020年12月30日8时35分在日本本州东海岸发生的5.1级地震的倍，则下列各数中最接近的值为（    ）

A. 100 B. 310 C. 500 D. 1000

【答案】C

【解析】

【分析】根据地震释放出的能量与地震级数之间的关系式，将两次地震等级分别代入，利用对数运算法则可得两次能量的比值，近似计算可确定选项.

【详解】设6.9级地震所释放出来的能量是，日本5.1级地震所释放出来的能量是，

则，；

可得，所以

而，即.

故选：C

5. 函数的部分图象形状大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】首先根据函数解析式可判断函数为偶函数，再利用特殊值的符号通过排除法即可得出结果.

【详解】根据题意可知，定义域为，

而，

所以函数为偶函数，图像关于轴对称，可排除CD；

根据图象可利用可排除B.

故选：A

6. 若扇形的周长为定值，圆心角为，则当扇形的面积取得最大值时，该扇形的圆心角的值为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式，将面积写成关于的表达式，再利用二次函数性质即可求得结果.

【详解】设扇形的半径为，弧长为，

因此，

扇形的面积，

由二次函数性质可知，当时，扇形面积取到最大值；

此时，.

故选：B

7. 设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用换底公式将表示成分式形式，再利用加糖不等式和对数函数单调性即可判断出大小.

【详解】由题意可知，，

，

利用加糖不等式可知；

又

又因为，

同理根据加糖不等式，，即.

故选：D

8. 定义在上的偶函数满足，且当时，，若关于的方程至少有8个实数解，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的周期性画出函数的图像，利用对称性判断轴两个函数图像交点个数列出不等式，解不等式即可得到范围.

【详解】由已知满足， 且函数为偶函数，

所以，

令，

所以函数是周期为的周期函数.

又因为与函数都是偶函数，由对称性可知

由于关于的方程至少有8个实数解，

故当时，与至少有个交点.

函数与图像如图所示.

由图可知：当时，只需，解得

当时，只需，解得

当时，显然符合题意.

综上所述：.

故选：A

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9. 若，则下列说法中正确的是（    ）

A. 当为奇数时，的次方根为 B. 当为奇数时，的次方根为

C. 当为偶数时，的次方根为 D. 当为偶数时，的次方根为

【答案】AD

【解析】

【分析】根据，讨论为奇数和偶数两种情况，求出的次方根即可判断得出结果.

【详解】当为奇数时，可知的次方根只有一个，为，

当为偶数时，由于，所以的次方根有两个，为;

所以只有AD正确.

故选：AD

10. 已知，则下列不等式正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】通过对选项利用不等式性质进行拆解，在通过已知条件反证一一推导即可.

【详解】对于选项A：

，

，

，

，

都大于零

，

故选项A错误；

对于选项B：

，

，且，

，

，

，

，

故选项B正确；

对于选项C：

当，时，

，

故选项C错误；

对于选项D：

，

，

，

故选项D正确.

故选：BD

11. 已知，，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】由已知得，，确定的范围判断A，求解与值判断B与C，把代入，化简判断D.

【详解】对于A：由，，两边平方得：，

则,得，，则,故A正确；

对于B、C、D：∵，则，

∴，

又，

当时，联立，解得，，

∴，；

当时，联立，解得，，

∴，

故B、C错误，D正确.

故选：AD.

12. 设函数是定义在上的减函数，并且同时满足下列两个条件：①对，都有；②；则下列结论正确的是（    ）

A.

B. 不等式的解集为

C.

D. 使关于不等式有解的所有正数的集合为

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用赋值法判断选项A，C，根据函数的单调性化简不等式，求其解，即可判断B，根据函数的单调性化简不等式，根据不等式有解列不等式求的范围判断D．

【详解】因为对，都有，

令，即，则，故选项A正确；

令，则，又，所以，故选项C正确；

令，则，所以，

所以，，可化为，

故，所以

因为函数在上单调递减，所以，且，

解得：，所以的取值范围为，故选项B错误；

不等式可化为，

故，所以且，，

得，此不等式有解，等价于，

在的范围内，由基本不等式，当且仅当，即时等号成立，，，故即为所求范围，故选项D正确，

故选：ACD．

【点睛】问题解决的关键在于通过赋值法求函数值，利用已知关系及函数单调性化简不等式.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.第16题第一小问2分，第二小问3分.

13. 函数的单调递增区间是______.

【答案】##(3,5)

【解析】

【分析】由对数函数真数大于零可得的定义域，根据复合函数单调性同增异减原则，即求的单调递减区间即可.

【详解】由有意义可得，所以，故函数的定义域为，

令， ，

又根据二次函数的图象与性质可知，函数在区间上单调递增，

在区间上单调递减，

又由函数为单调递减函数，

根据复合函数同增异减可得，函数的单调递增区间为.

故答案为：.

14. ______.

【答案】

【解析】

分析】通过指对运算一步一步运算即可得出答案.

【详解】

故答案为：.

15. 在中，为它的三个内角，且满足，，则______.

【答案】##

【解析】

【分析】将题目中的两个式子平方后相加，可得，再利用诱导公式和三角函数单调性即可求得结果.

【详解】由题意可知，将两边同时平方得

将两式相加得

，即，所以

可得或；

又因为，得，

由余弦函数单调性可得，所以不合题意；

因此.

故答案为：

16. 已知函数的图象是一个中心对称图形，它的对称中心为______；函数的图象与函数图象的交点分别为，，，…，（为正整数），则______.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】证明函数为奇函数，由此确定函数的对称中心，证明与的对称中心重合，结合对称性及加法的运算律求值.

【详解】因为，所以，

设，则函数的定义域为，且，

所以函数为奇函数，故函数的图象关于原点对称，即函数的图象关于原点对称，所以函数的图象关于对称，

因为，所以，

所以，

所以函数为奇函数，故函数的图象关于对称，

又函数的图象与函数图象的交点分别为，，…，，，点不在函数图象上，所以为偶数，设，

不妨设，则，

，

所以，

同理，

.

【点睛】本题解决的关键在于通过证明，为奇函数，确定其对称性，结合对称性求解问题.

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 设全集，集合，非空集合，其中.

（1）若，求；

（2）从下列三个条件中任选一个作为已知条件，求的取值范围.①；②；③的一个充分条件是.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个条件的解答计分.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）将代入，求出集合，再求出集合，进一步求解即可；

（2）三个条件都说明，所以利用子集关系及非空集合列不等式计算即可.

【小问1详解】

当时，，或，又，

则.

【小问2详解】

选择条件①：因为，所以，

即，又已知非空集合，

所以，

所以.

选择条件②：因为，则，

又已知非空集合，

所以，

所以.

选择条件③：的一个充分条件是，则，

又已知非空集合，

所以，

所以.

18. 已知函数.

（1）若的解集为，求不等式的解集；

（2）若，且，求的最小值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据题意可得：和方程的两根，利用韦达定理得出

，，将要解的不等式化简整理即可求解；

(2)由可得，然后利用基本不等式即可求解.

【小问1详解】

因为的解集为，

所以和方程的两根，由韦达定理可知：，

则有，，所以不等式可化为，

因为，所以不等式可化为，解得：，

所以不等式的解集为.

【小问2详解】

因为，也即，又因为，，

所以，

（当且仅当和同时成立时取等，也即时取等）

所以的最小值为.

19. 已知函数（其中，）的最小正周期为，当时，取到最大值.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）当时，若函数在区间上的值域为，求实数，的值.

【答案】（1），   

（2），

【解析】

【分析】（1）根据已知条件，结合三角函数的周期公式，求出，再结合当时，取到最大值，推出的解析式，再结合三角函数的单调性即可得出答案；

（2）结合（1）的结论，的取值范围，得出的范围，即可得出的值域，根据已知条件列出方程组求解即可得出答案.

【小问1详解】

函数（其中，）的最小正周期为，

，则，

又当时，取到最大值，

，，

解得，，

，，则，

令，，

解得，，

故函数的单调递增区间为，；

【小问2详解】

，，

，

，

函数在区间上的值域为，

，解得，.

20. 两社区和相距2km，现计划在两社区外以为直径的半圆弧（不含，两点）上选择一点建造口袋公园（如图所示），其对社区的噪音影响度与所选地点到社区的距离有关.口袋公园对社区的噪音影响度是所选地点到社区的距离的平方的反比例函数，比例系数为0.01；对社区的噪音影响度是所选地点到社区的距离的平方的反比例函数，比例系数为，对社区和社区的总噪音影响度为对社区和社区的噪音影响度之和.记点到社区的距离为，建在处的口袋公园对社区和社区的总噪音影响度为.统计调查表明：当口袋公园建在半圆弧的中点时，对社区和社区的总噪音影响度为0.05.

（1）将表示成的函数；

（2）判断半圆弧上是否存在一点，使得建在此处的口袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小？若存在，求出该点到社区的距离；若不存在，说明理由.

【答案】（1）   

（2）存在，当该点到社区的距离时，袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小.

【解析】

【分析】（1）利用勾股定理即可得出，再根据反比例函数定义和已知条件可解得，即可写出关于的函数；（2）利用整体代换和基本不等式确定的最小值，验证等号成立时的取值是否符合题意，即可判断得出结论并确定位置.

【小问1详解】

由为直径可得，所以

由题意可知，

又当口袋公园建在半圆弧的中点时，对社区和社区的总噪音影响度为0.05，

即时，，代入得，

所以，

即关于的函数为

【小问2详解】

口袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小，即的取值最小，

由（1）知

令，则可得

，当且仅当时，等号成立；

且，所以，

即，此时，即，解得.

因此，半圆弧上存在一点，且该点到社区的距离满足时，建在此处的口袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小.

21. 已知函数（且）为奇函数.

（1）求实数的值及函数的值域；

（2）若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围.

【答案】（1），的值域为   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据函数解析式可判断定义域，再根据奇函数性质利用可计算的值，将代入根据指数型函数值域得求法即可求得函数的值域；（2）将函数在区间上有两个不同的零点转化成方程在上有两个不相等的实数根，利用换元法根据二次函数根的分布情况即可求得实数的取值范围.

【小问1详解】

由题意可知，函数的定义域为，

由奇函数性质可知，，得；

所以，；

又因为，所以

因此

即函数的值域为.

【小问2详解】

由得，，

又函数在区间上有两个不同的零点，

即方程在区间上有两个不同的实数根；

整理得，

令，由得，

即在上有两个不相等的实数根；

所以，且，解得或

当时，需满足，解得，所以

当时，需满足，该不等式组无解；

综上可知，实数的取值范围时，

即

22. 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为“倒函数”.

（1）已知，，判断和是不是倒函数，并说明理由；

（2）若是定义在上的倒函数，当时，，方程是否有整数解？并说明理由；

（3）若是定义在上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上单调递增.记，证明：是的充要条件.

【答案】（1）函数为倒函数，函数不是倒函数，理由见解析；   

（2）方程没有整数解，理由见解析；   

（3）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）利用“倒函数”的定义判断函数、，可得出结论；

（2）分析可知当时，，则方程若存在整数解，则，构造函数，利用零点存在定理可得出结论；

（3）推导出函数的奇偶性、单调性，再利用函数的单调性、奇偶性结合充分条件、必要条件的定义证明可得结论.

【小问1详解】

函数的定义域为，对任意的，，

所以，函数为倒函数，

函数的定义域为，该函数的定义域不关于原点对称，

故函数不是倒函数；

【小问2详解】

当时，则，由倒函数的定义可得，

由满足倒函数的定义，

当时，函数、均为增函数，故函数在上为增函数，

当时，，，，当时，，

若函数有整数解，则，

设，则函数在上单调递增，

因为，，

故方程无整数解，

【小问3详解】

因为函数是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数，

所以，，

任取、且，则，所以，，，

所以，

，

所以，函数为上增函数，

因为，故函数为上的奇函数.

当时，即，则，所以，，

即“”“”；

若，则，所以，，即.

所以，“”“”.

因此，是的充要条件.

【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.