2022-2023学年江苏省南通市崇川区高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省南通市崇川区高一上学期期末数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了 已知角终边经过点，则的值为， 已知集合，则等于， 若，则“”是“”的，021B， 已知，则的值为， 已知幂函数的图象经过点，则， 已知，．等内容，欢迎下载使用。
2022~2023学年（上）高一期末质量监测数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知角终边经过点，则的值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的定义计算即可.【详解】因为角终边过点,所以,,,所以,故选：D.【点睛】本题考查三角函数的定义，是基础题.2. 已知集合，则等于（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】分别求出集合，再根据交集的定义即可得解.【详解】解：，，所以.故选：A.3. 若，则“”是“”的（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】结合三角函数性质，根据充分不必要条件的定义判断即可.【详解】解：当，时，；反之，当时，或，.所以，“”是“”的充分不必要条件.故选：A4. 心理学家有时用函数测定在时间t（单位：min）内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L表示在时间t内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min内能够记忆20个单词，则k的值约为（，）A. 0.021 B. 0.221 C. 0.461 D. 0.661【答案】A【解析】【分析】由题意得出，再取对数得出k的值.【详解】由题意可知，所以，解得故选：A5. 已知，则的值为（    ）A. 3 B.  C. 2 D. 【答案】C【解析】【分析】结合同角三角函数的基本关系式，先求得，然后求得，进而求得.【详解】由于，所以，两边乘以并化简得，由于，所以解得，所以，所以.故选：C6. 将函数的图象向右平移个长度单位，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的解析式为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据三角函数图象变换以及诱导公式求得正确答案.【详解】函数的图象向右平移个长度单位得到，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到.故选：D7. 已知函数的定义域为为偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数为偶函数，可得函数关于对称，从而可得出函数在上单调递减，再根据函数得单调性解不等式即可.【详解】解：因为函数为偶函数，所以函数关于对称，则，因为在上单调递增，所以函数在上单调递减，由不等式，得或，解得或，所以不等式的解集为.故选：C.8 设，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据基本不等式，结合指数函数的单调性、函数单调性的性质进行判断即可.【详解】因为，且，所以，即，因为函数是单调递增函数，所以函数是单调递增函数，所以当时，有，因为，所以有，由，因为函数是单调递减函数，所以函数是单调递减函数，因为，所以，因此，故选：A【点睛】关键点睛：根据等式的形式构造函数，利用指数函数的单调性是解题的关键.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知幂函数的图象经过点，则（    ）A. B. 的定义域为C. 的值域为D. 的解集为【答案】BCD【解析】【分析】根据幂函数的定义，结合幂函数的性质逐一判断即可.【详解】设，因为的图象经过点，所以，显然选项A不正确； 因为只有非负实数有算术平方根，所以定义域为，因此选项B正确；因为，所以有，因此选项C正确；由，所以选项D正确，故选：BCD10. 下列命题正确的是（    ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】AC【解析】【分析】根据不等式得性质即可判断ABC，再利用作差法即可判断D.【详解】解：对于A，若，则，故A正确；对于B，当时，，若，则，故B错误；对于C，若，则，故C正确；对于D，，当时，，此时，故D错误.故选：AC.11. 关于的不等式的解集可能是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】ACD【解析】【分析】分类讨论的值，再按照二次不等式求解集可.【详解】解：当时，则，当时，则，①若时，则，②若时，则，③若时，则，当时，则，故或综上，当，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，故选：ACD．12. 对于任意两个正数，记曲线与直线轴围成的曲边梯形的面积为，并约定和，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早发现．关于，下列说法正确的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】ABD【解析】【分析】根据所给新定义运算即可判断AB，取特殊值判断C，根据曲边梯形与梯形面积大小判断D.【详解】由题意，所以，当时，，当时，，当时，，当或时，也成立，综上，，对A，，，即，故A正确；对B，，而，所以，故B正确；对C，取，则，故C错误；对D，如图，因为，所以，即，故D正确.故选：ABD三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知扇形的周长为6，圆心角为，则该扇形的面积为__________．【答案】【解析】【分析】设扇形的弧长为，半径为，然后根据已知建立方程求出，，进而可以求解．【详解】解：设扇形的弧长为，半径为，则，且，则，，所以扇形面积为.故答案为：．14. 已知函数若，则的值为__________．【答案】或【解析】【分析】利用换元法，结合函数的解析式进行代入求解即可.【详解】令，即.当时，，即，当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，不符合题意，故答案为：或15. 已知，且，则的值为__________．【答案】##【解析】【分析】由，结合已知即可求解．【详解】解：且，，，则．故答案为：．16. 设函数，则在上的最小值为__________；若的定义域与值域都是，则__________．【答案】    ①.     ②. 或或【解析】【分析】将表示为分段函数的形式，画出的图象，结合二次函数的知识求得在上的最小值.对进行分类讨论，根据定义域与值域都是列式，化简求得.【详解】，画出的图象如下图所示，结合图象以及二次函数的性质可知：在上的最小值为.依题意，的定义域与值域都是，（1）当时，在上递减，所以，即，两式相减并整理得.（2）当时，在上的最小值为，因为的值域为，所以与矛盾.（3）当时，在递增，，所以，，两式相减并整理得与矛盾.（4）当时，在的最大值为，所以，区间为，所以的最小值为，所以，所以.（5）当时，在递减，，，两式相减并整理得，与矛盾.（6）当，递减，，，两式相减并整理得与矛盾.（7）当时，在的最小值为，所以，，所以的最大值为，解得（负根舍去），所以.（8）当时，在递增，，所以，由于，所以，与矛盾.综上所述，的值为或或.故答案为：；或或【点睛】本题的难点有两个，一个是是含有绝对值的函数，在处理时，利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，由此可画出的图象并研究其性质.第二个难点在于在上的值域为，解决的办法是分类讨论.四､解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步聚．17. 求值：（1）；．（2）．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据指数运算求得正确答案.（2）根据对数运算求得正确答案.【小问1详解】【小问2详解】.18. 已知，．（1）若，求；（2）从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答．问题：若__________，求实数的取值范围．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）解不等式可分别求得集合，由补集和交集定义可求得结果；（2）根据条件中的交集、并集结果都可以确定，分别在、和的情况下，根据包含关系可构造不等式求得结果.【小问1详解】由得：，即；当时，由得：，即，，.【小问2详解】由（1）知：；若选条件①，，若，则，即；当时，，不合题意；当时，，则，解得：；当时，，则，解得：（舍）；综上所述：实数的取值范围为；若选条件②，，；当时，，不合题意；当时，，则，解得：；当时，，则，解得：（舍）；综上所述：实数的取值范围为；若选条件③，，；当时，，不合题意；当时，，则，解得：；当时，，则，解得：（舍）；综上所述：实数的取值范围为.19. 求解下列问题：（1）已知，求的值．（2）已知，求的值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式求得正确答案.（2）求得，从而求得正确答案.【小问1详解】.【小问2详解】由两边平方得，由于，所以，所以，所以.20. 已知函数．（1）求函数的最小正周期､图象的对称中心及其单调减区间；（2）求函数在上的最值及其对应的的值．【答案】（1）答案见解析    （2）当或时，函数有最小值为，当时，函数有最大值为.【解析】【分析】（1）根据正弦函数的性质求解即可；（2）根据三角函数在给定区间上的最值分布求解即可.【小问1详解】最小正周期为,由解得，所以对称中心为，由，解得，所以函数的减区间为，【小问2详解】因为，所以，所以，所以当或，即或时，函数有最小值，当，即时，函数有最大值为.21. 已知函数是奇函数．（1）求实数的值；（2）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性求得正确答案.（2）根据的单调性化简不等式，对进行分类讨论，结合二次函数的性质求得的取值范围.【小问1详解】依题意可知是定义在上的奇函数，所以.经检验满足题意.【小问2详解】由（1）得，由于，所以在上单调递减，，所以不等式对任意都成立，所以对任意都成立，对任意都成立，当时，，不符合，当时，，由解得；由解得或当时，要使对任意都成立，则需，此不等式组无解.当，函数的开口向上，对称轴，要使对任意都成立，则需或，解得或，综上所述，的取值范围是.【点睛】根据函数的奇偶性求参数，如果函数是奇函数，可以用来求解，如果函数是定义在上的奇函数，则可用来求解.如果函数是偶函数，可以用来求解.一元二次不等式在某区间上恒成立问题，要注意对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.22. 已知指数函数满足．（1）求的解析式；（2）设函数，若方程有4个不相等的实数解．（i）求实数的取值范围；（i i）证明：．【答案】（1）    （2）（i）；（i i）证明详见解析【解析】【分析】（1）根据指数函数的知识求得的解析式.（2）利用换元法，结合指数函数二次函数的性质以及基本不等式求得的取值范围.结合图象、对称性以及放缩法证得.【小问1详解】设（且），由于，所以，由于且，所以解得，所以.【小问2详解】（i），方程有4个不相等的实数解．即①有4个不相等的实数解．令，则，，当且仅当时等号成立.所以①化为②，对于函数，，所以是偶函数，图象关于轴对称，当时，令，，，任取，，其中，，所以在上递增，根据复合函数单调性同增异减可知在上递增；由于是偶函数，所以在上递减.所以的最小值是.所以方程②在上有两个不同的实数根，所以，解得，所以的取值范围是.（i i）由于是偶函数，图象关于轴对称，所以不妨设，所以要证明，即证明，即证明.设方程②的两个不同的实数根为，则，，由整理得，解得（对应，所以舍去），所以，则，，由于，所以，即，所以．【点睛】本题的主要难点有两个，一个是根据方程的根的个数求参数的取值范围，涉及到了二次函数的性质、指数型复合函数以及函数的奇偶性.第二个难点是不等式的证明，首先根据奇偶性将所证明的不等式简化，然后通过解复杂的指数方程，再结合基本不等式、放缩法等知识来证得结论成立.基本不等式的变形：，右侧部分还可变形为.