2022-2023学年陕西省榆林中学高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年陕西省榆林中学高一上学期期末数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省榆林中学高一上学期期末数学试题 一、单选题1．设集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据集合补集的定义求出，再解绝对值不等式得到集合，最后求即可.【详解】集合，，又因为，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.解决此类问题，一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行集合的基本运算，属于基础题.2．已知扇形面积为8，扇形的圆心角为2 rad，扇形的周长为（    ）A． B． C．8 D．2【答案】A【分析】设扇形的半径为r，弧长为l，利用扇形的弧长和面积公式，求得，则可求出扇形的周长.【详解】解：设扇形的半径为r，弧长为l，已知扇形的圆心角为2 rad，则，扇形面积，所以扇形的周长，故选：A.3．下列说法不正确的是（   ）A．若“且”为假,则,至少有一个是假命题.B．命题“”的否定是“”.C．设是两个集合,则“”是“”的充分不必要条件.D．当时,幂函数在上单调递减.【答案】C【分析】对于A中，根据复合命题的真假判定方法，可判定为真命题；对于B中，根据全称命题的否定，可得是正确的；对于C中，根据充要条件的判定可得应为充要条件，所以不正确；对于D中，根据幂函数的性质，可得是正确的，即可得到答案.【详解】对于A中，根据复合命题的真假判定方法，可知若“且”为假，则至少有一个是假命题，故A正确；对于B中，根据全称命题的否定，可得命题“”的否定是“”，故B正确；对于C中，设是两个集合，则“”是“”的充要条件，故C不正确；对于D中，根据幂函数的性质，可知当时，幂函数在上单调递减是正确的，故D正确.故选：C.4．若函数(且)的图像恒过定点，且点在角θ的终边上，则（    ）A．－ B．－ C． D．【答案】C【分析】求出点的坐标，利用三角函数的定义以及诱导公式可求得的值.【详解】当，即时，，所以，所以，由诱导公式可得.故选：.5．2021年12月，考古工作者又公布了关于北京建城的一件重要文字证据。这次在琉璃河遗址新发现的铭文，不仅是A国建城最早的文字证据，更是北京建城最早的文字证据.考古学家对现场文物样本进行碳14年代学检测，检验出碳14的残留量约为初始量的69%.已知被测物中碳14的质量M随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量），据此推测该遗址属于以下哪个时期（参考数据：）（    ）A．西周 B．两汉 C．唐朝 D．元朝【答案】A【分析】由题意知，利用指对互化求解的值.【详解】由题意知，所以，故，距今时间大约为 ，故推测该遗址属于西周时期.故选：A.6．二次函数的图象顶点横坐标的取值范围为（，），则的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的图象顶点横坐标的取值范围为，求得的范围，从而可得的范围，从而得出函数的单调性，再根据函数所过的定点即可得出答案.【详解】解：因为二次函数的图象顶点横坐标的取值范围为，所以，即，所以：，则函数是减函数，又函数的图像是由函数的图像向下平移一个单位得到的，故函数是减函数且过原点.故选：.7．函数 ，若互不相等，且，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用三角函数、对数函数的图像和性质，画出函数的图像，再利用图像数形结合即可发现、、间的关系和范围，最后求得所求范围.【详解】函数的图像如图所示：设，由函数图像数形结合可知：，，．故选：C．8．已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称．给出下面四个结论：①将的图象向右平移个单位长度后得到函数图象关于原点对称；②点为图象的一个对称中心；③；④在区间上单调递增．其中正确的结论为（    ）A．①② B．②③ C．②④ D．①④【答案】C【解析】根据题设条件，结合三角函数的性质，求得函数的解析式，再结合三角函数的图象变换和三角函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】因为函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，所以 ，解得，因为，所以，因此，①将的图象向右平移个单位长度后函数解析式为，由，得，所以其对称中心为：，故①错；②由，解得，即函数的对称中心为；令，则，故②正确；③由，故③错；④由，得，即函数的增区间为，因此在区间上单调递增，故④正确.故选：C.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 二、多选题9．要得到函数到的图象，只需将函数的图象（    ）A．向左平移单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的B．向右平移单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的C．每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移单位长度D．每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移单位长度【答案】AD【分析】根据图象的两种变换方式即可求解;先平移再伸缩可判断A,B,先伸缩再平移可判断C,D.【详解】方式一：（先平移再伸缩）；将先向左平移单位长度得到，然后将图像上每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变得到，故A对，方式二：（先伸缩再平移）；将图像上每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变得到，再将向左平移单位长度得到，故D对，故选：AD10．下列命题为真命题的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BD【解析】分析的情况并判断A选项；根据作差法判断B选项；再根据不等式的性质分析CD选项，由此判断出真命题.【详解】A．当时，，故错误；B．因为，且，所以，所以，故正确；C．因为，所以，所以，故错误；D．因为，所以，又，且，所以，所以，故正确，故选：BD.【点睛】方法点睛：常见的比较大小的方法：（1）作差法：作差与作比较；（2）作商法：作商与作比较（注意正负）；（3）函数单调性法：根据函数单调性比较大小；（4）中间值法：取中间值进行大小比较.11．计算下列各式的值，其结果为1的有（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由商数关系、诱导公式、和差角公式及倍角公式依次化简求值即可求解.【详解】对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，，D正确.故选：ACD.12．设函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，且f(－2)＝－1，当x1，x2∈[0，3]且x1≠x2时，有＞0，下列命题正确的是（    ）A．f(2024)＝－1B．f(3)＝0C．y＝f(x)在[－9，－6]上是增函数D．函数y＝f(x)在[－9，9]上有4个零点【答案】ABD【分析】根据函数为偶函数得f(－3)＝f(3)，f(x＋6)＝f(x)＋f(3)赋值得到f(3)＝0可判断B正确；由以上判断可得f(x＋6)＝f(x)＋f(3)＝f(x)，即f(x＋6)＝f(x)，进而得到A正确；根据题意得到函数在[0，3]上为增函数，由周期性得到函数在[－6，－3]上是增函数，再由对称性得到函数在[－9，－6]上是减函数，C错误；通过赋值法以及结合函数的周期性得到函数零点个数为4个，D正确.【详解】由函数y＝f(x)为偶函数可得，f(－3)＝f(3)，因为f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，令x＝－3可得f(3)＝f(－3)＋f(3)＝2f(3)，所以f(3)＝0，B正确；所以f(x＋6)＝f(x)＋f(3)＝f(x)，即f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)为周期为6的函数，又f(－2)＝－1，所以f(2024)＝f(337×6＋2)＝f(2)＝f(－2)＝－1，A正确；由x1，x2∈[0，3]且x1≠x2时，有＞0，可知函数在[0，3]上为增函数，由周期性得到函数在[－6，－3]上是增函数，又x＝－6为对称轴，则函数在[－9，－6]上是减函数，C错误；因为f(3)＝0，所以f(－3)＝0，f(9)＝f(6＋3)＝0，f(－9)＝f(9)＝0，结合函数的周期为6及函数的增减性可得方程f(x)＝0在[－9，9]上仅有4个根，D正确．故选：ABD． 三、填空题13．幂函数在上单调递减，则______.【答案】4【分析】根据题意可得且，从而可求出的值.【详解】因为幂函数在上单调递减，所以且，由，得，，解得或，当时，不满足，所以舍去，当时，满足，综上，，故答案为：414．若，则__________．【答案】##0.8【分析】根据诱导公式化简原式可得，再将转化为展开化简即可求出答案.【详解】根据诱导公式，则故答案为：15．函数（）的部分图象如图所示，若将图象上的所有点向右平移个单位得到函数的图象，则函数__．【答案】【分析】根据函数图象求得和最小正周期，继而求得 ，利用点带入解析式求得，即得函数解析式，根据三角函数图象的平移变换可得答案.【详解】由函数图象可知， ，将代入函数解析式得，则，由于，所以，即，将图象上的所有点向右平移个单位得到函数的图象，则，故答案为：16．关于的方程，给出下列四个命题:①不存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；③不存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.其中正确命题的序号是____________.(写出所有正确命题的序号)【答案】②④【分析】将方程，转化为，令，转化函数与的交点情况，分，，，讨论求解.【详解】方程，可化为，令，则，，在同一坐标系中，作出其图像，如图所示：当时，交点的横坐标为，且在的值域中，令，解得，故方程恰有5个不同的实根；当，即时，图像有两个不同的交点，设交点的横坐标为，且，令，解得，故方程恰有2个不同的实根；当，即时，图像有两个不同的交点，设交点的横坐标为，且，令，令，解得，故方程恰有4个不同的实根；当，即时，图像有四个不同的交点，设交点的横坐标为，且，令，，，，解得，故方程恰有8个不同的实根；故答案为：②④ 四、解答题17．（1）计算：（2）已知，求的值．【答案】（1） （2）【分析】（1）根据指、对数的运算整理求解；（2）根据之间的平方关系运算求解.【详解】（1）原式；（2）因为，则，，所以．18．如图，在平面直角坐标系中，角、的终边分别与单位圆交于点、两点，且点在直线上，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）列方程组解出点坐标，可得，；利用点在圆上，可得，；（2）由得出的范围，求出，结合的范围求值即可．【详解】（1）根据题意可得，因为，所以，所以，.因为，，所以，所以，..（2）因为且，所以，所以.又，，所以，所以.19．已知．(1)判断函数的奇偶性，并加以证明；(2)证明函数在上为单调递减函数．(3)对于，，求，实数m的取值范围.【答案】(1)为奇函数，理由见解析(2)证明见解析(3) 【分析】（1）由函数的奇偶性定义进行判断，并证明；（2）利用函数单调性定义进行证明；（3）根据（1）（2）问得到在上单调递减，从而列出不等式组，求出结果.【详解】（1）为奇函数，理由如下：定义域为R，且，所以为奇函数；（2）任取，且，则，因为，所以，，故，，故函数在上为单调递减函数；（3）因为为奇函数，且函数在上为单调递减函数，所以在上单调递减，由变形为，故，解得：，所以实数m的取值范围是.20．北京冬奥会已于月日开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温，与冬奥会相关的周边产品也销量上涨.因可爱而闻名的冰墩墩更是成为世界顶流，在国内外深受大家追捧.对某商户所售的冰墩墩在过去的一个月内（以天计）的销售情况进行调查发现：冰墩墩的日销售单价（元/套）与时间（被调查的一个月内的第天）的函数关系近似满足（常数），冰墩墩的日销量（套）与时间的部分数据如表所示：（套） 已知第天该商品日销售收入为元，现有以下三种函数模型供选择：①，②，③(1)选出你认为最合适的一种函数模型，来描述销售量与时间的关系，并说明理由；(2)根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入（，）在哪天达到最低．【答案】(1)模型③最合适，理由见解析；(2)第天达到最低. 【分析】（1）结合表中数据及其增速较慢的特点，分别对指数型、二次函数型、幂函数型三种函数模型进行分析，即可选出最合适的一种函数模型；（2）由表中数据和第天日销售收入，分别求出第（1）问中选择的模型和中的参数，代入，化简后使用基本不等式求解.【详解】（1）模型③最合适，理由如下：对于模型①，为指数型函数模型，表格中对应的数据递增的速度较慢，故模型①不合适；对于模型②，为二次函数模型，其图象关于直线对称，有，与表中数据不符，故模型②不合适；对于模型③，幂函数型增长模型满足表格中对应数据较慢的递增速度，将表中数据，代入模型③，有，解得，∴，经验证，均满足表中数据，因此，使用模型③来描述销售量与时间的关系最合适.（2）∵第天冰墩墩的日销售单价（元/套），∴第天的日销售收入为（元），∴，∴，由（1）所选模型③，当且时，（元）当且仅当，即时，等号成立，∴在第天时，该商品的日销售收入达到最低元.21．已知函数，0˂ω˂4，且．(1)求ω的值及函数的单调递增区间；(2)求函数在区间的最小值和最大值．【答案】(1)，，(2)最小值－1；最大值2． 【分析】（1）利用二倍角公式化简可得，再由可得，再根据正弦函数的单调性可得答案；（2）根据的范围和正弦函数值域可得答案．【详解】（1），由知，则，或，，所以，或，，又，则，所以，令，，则，，则函数的单调递增区为，；（2）由（1）知，，则，当，即时，函数有最小值－1；当，即时，函数有最大值2．22．我们知道，指数函数（，且）与对数函数（，且）互为反函数.已知函数，其反函数为.(1)求函数，的最小值；(2)对于函数，若定义域内存在实数，满足，则称为“L函数”.已知函数为其定义域上的“L函数”，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1）利用换元法令，可得所求为关于p的二次函数，根据二次函数的性质，分析讨论，即可得答案.（2）根据题意，分别讨论在、和上存在实数，满足题意，根据所给方程，代入计算，结合函数单调性，分析即可得答案.【详解】（1）由题意得所以，，令，设则为开口向上，对称轴为的抛物线，当时，在上为单调递增函数，所以的最小值为；当时，在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为；当时，在上为单调递减函数，所以的最小值为；综上，当时，的最小值为，当时，的最小值为，当时，的最小值为（2）①设在上存在，满足，则，令，则，当且仅当时取等号，又，所以，即，所以，所以所以②设在存在，满足，则，即有解，因为在上单调递减，所以，同理当在存在，满足时，解得，所以实数的取值范围【点睛】解题的关键是理解新定义，并根据所给定义，代入计算，结合函数单调性及函数存在性思想，进行求解，属难题