2022-2023学年浙江省宁波市效实中学高一上学期期中数学试题（解析版）

效实中学2022学年第一学期期中试题

高一年级数学学科

考生须知：

1.本卷满分100分，考试时间120分钟；

2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；

3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；

4.考试结束后，只需上交答题卷.

第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）

一、选择题：本题共8小题.每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1. 集合的子集个数为（）

A. 3 B. 4 C. 6 D. 8

【答案】D

【解析】

【分析】直接列出集合的所有子集即可.

【详解】集合的子集有，，，，，，，共8个.

故选：D.

2. “”是“”的（）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

解不等式后，根据集合的包含关系可得解.

【详解】因为等价于或，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

3. 命题“，”的否定是（）

A. ， B. ， C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可解出.

【详解】命题“，”的否定为“，”．

故选：C.

4. 已知，则的取值范围为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据可得：，则，将不等式两边同时乘以即可求解.

【详解】因为，所以，则有，

将不等式的两边同时乘以可得：，

所以，

故选：.

5. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意求出集合S,T，再用并集运算即得解.

【详解】由解得，所以，

因为时，，所以，

所以，则，

所以.

故选：C.

6. 对于函数，下列表述中错误的是（）

A. 若的定义域为，则的定义域为

B. 若是偶函数，则的图象关于直线对称

C. 若是奇函数，则的图象关于点中心对称

D. 若，则的图象关于点中心对称

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性，对称性和定义域分别进行检验即可求解.

【详解】对于，因为的定义域为，则，所以，解得：，故函数的定义域为，故选项正确；

对于，因为是偶函数，所以关于轴对称，而函数向右平移一个单位得到关于直线对称，故选项错误；

对于，将函数的图象向右平移一个单位得到函数的图象，因为函数为奇函数，则其图象关于原点对称，则函数的图象关于点中心对称，故选项正确；

对于，因为，即，则函数的图象关于点中心对称，故选项正确，

综上：表述错误的是，

故选：.

7. 已知定义在上的单调函数，其值域也是，并且对于任意的，都有，则等于（）

A. 0 B. 1 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件可得“存在，使得”，再利用给定函数关系式，求出解析式即可计算作答.

【详解】由于在上单调，且值域为，则必存在，使得，

令得，，即，

于是，，则，

从而，有.

故选：D

8. 已知函数是定义在上的奇函数.并且当时，.若对任意的恒成立，则的最大值是（    ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 8

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数奇偶性以及所给的解析式确定函数的单调性，进而将不等式转化为，令，分离参变量，用基本不等式求解.

【详解】当时，单调递增且小于0，则在上单调递增，

若，则，

则原式⇔，令，

则上式⇔，

因为，当且仅当，

即即时取等，从而.

故选:D.

二、选择题：本题共4小题.每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列各组函数，表示同一函数的是（）

A. 与 B. 与

C. 与 D. 与

【答案】AC

【解析】

【分析】若两个函数是同一个函数，则函数的定义域以及函数的对应关系都得相同，所以只要逐一判断每个选项中定义域和对应关系是否都相同即可．

【详解】对于A选项，的定义域与的定义域均为，

且，∴是同一函数，故A正确；

对于B选项，的定义域为，的定义域为，

∴不是同一函数，故B错误；

对于C选项，的定义域与的定义域均为，且，

∴是同一函数，故C正确；

对于D选项，的定义域为，的定义域为R，∴不是同一函数．

故D错误；

故选：AC.

10. 下列关于函数解析式的叙述中，正确的是（）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若一次函数满足，则

D. 若奇函数满足当时，，则当时，

【答案】AB

【解析】

【分析】换元法可求A,构造方程组求解析式求B，根据一次函数的解析式求C，利用奇函数的定义求D.

【详解】对于A, ，且，

所以，A正确；

对于B，由得，

联立解得，B正确；

对于C，设，则，

即，

所以解得或，

所以或，C错误；

对于D，时，，且函数为奇函数，

所以，D错误，

故选:AB.

11. 下列选项正确是（）

A. 若，则的最小值为2

B. 若，则的最小值为

C. 若，则的最小值为

D. 若，则的最小值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用或构造基本不等式逐项分析即可.

【详解】对A，因为，所以，

所以，

当且仅当时取等号，故A正确；

对B，因为，

所以，

即，所以，

因为，由，

当且仅当时，取等号，即的最小值为，故B选项正确；

对C，因为，

所以，

当且仅当，即时取等号，故选项C不正确；

对D，因为，所以，

所以，

当且仅当时等号成立，故的最小值为，所以选项D正确．

故选：ABD.

12. 设，则下列选项中正确的有（）

A. 与的图象有两个交点，则

B. 与的图象有三个交点，则

C. 的解集是

D. 的解集是

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据题意作出分段函数的图象，数形结合求解.

【详解】函数图象图所示：

由图可知，若与有两个交点，则，故A正确；

若与有三个交点，则，故B正确；

若，则，故C正确；

若，则，

则，故D错误.

故选:ABC.

第Ⅱ卷（非选择题部分，共60分）

三、填空题：本题共4小题.每小题3分，共12分.

13. 不等式的解集为_______.

【答案】

【解析】

【分析】利用一元二次不等式解法求解.

【详解】由得，，整理得，解得或.

故答案为: .

14. 若函数是幂函数，且满足，则的值为________.

【答案】4

【解析】

【分析】根据幂函数表达式运算求解.

【详解】设幂函数为，

由，解得，

所以，则.

故答案为：4.

15. 表示不超过的最大整数，例如，.则函数的值域为________.

【答案】

【解析】

【分析】分离常数后求得，再判断的值域.

【详解】∵，

又，故，

则，

故答案为：

16. 若，且，则的最小值为________.

【答案】##

【解析】

【分析】利用基本不等式求解.

【详解】原式

，

当，且时取等,

故答案为:.

四、解答题：本题共6小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 计算：

（1）；

（2）已知，，求的值.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】(1)根据分数指数幂的运算进行化简即可；

(2)根据完全平方分别求出分子、分母即可求解

【小问1详解】

【小问2详解】

，，

，

，

.

18. 已知集合，.

（1）若，求；

（2）若为空集，求实数的取值范围.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根据分式不等式和不等式组的解集即可求解；（2）根据是否为空集，分类讨论比较参数范围即可求解.

【小问1详解】

时，，

，

.

【小问2详解】

①，即，此时显然成立，

②()：或，得：.

综上所述，的取值范围是.

19. 已知函数，.

（1）若函数的图象关于直线对称，求实数的值，并写出函数的单调区间；

（2）解关于的不等式.

【答案】（1）；单调递增区间为，单调递减区间为

（2）答案见解析.

【解析】

【分析】（1）利用二次函数的对称轴可求得；利用复合函数的单调性可求得的单调区间；

（2）将化简为一元二次不等式，确定其对应方程的两根，并讨论两根的大小，从而确定不等式解集.

【小问1详解】

由题意函数，，

由函数的图象关于直线对称，可得，则，

此时，定义域为，

在单调递增，在单调递减，

故的递增区间为，单调递减区间为：.

【小问2详解】

不等式即化简为：，

对于，其图象抛物线开口向上，且有两根和，

①时，此时两根相等，则的解集为.

②时，此时，则不等式解集为.

③时，此时，则.

综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

20. 设定义在上的偶函数和奇函数满足（其中），且.

（1）求函数和的解析式；

（2）若的最小值为，求实数的值.

【答案】（1），

（2）

【解析】

【分析】(1)由已知可得，结合奇函数和偶函数的性质变形求解即可；

(2)令，函数可化为关于函数，结合二次函数性质求其最小值，列方程求的值.

【小问1详解】

因为，所以，

因为函数为偶函数，函数为奇函数，所以，

即，

所以，，

又，，所以或(舍)，

从而，.

【小问2详解】

因为，，，

所以，

令，则：

所以，

因为，当且仅当时取等号，，

所以，所以.

21. 二十大的顺利召开，标志着我们党对长期执政的马克思主义政党建设的规律性认识达到了新的高度，也标志着中国共产党带领中国人民踏上了第二个百年奋斗目标的赶考之路.为了庆祝二十大的顺利闭幕，某地印刷厂拟将部分亚运会宣传册的生产线关闭，转而生产二十大纪念册.已知两种产品的售价（单位：元/册）都限制在的范围中，且在市场调研中，预期11月亚运会宣传册的销售量（单位：万册）与其售价（单位：元/册）的关系为，预期11月二十大纪念册的销售量（单位：万册）与其售价（单位：元/册）的关系为，求：

（1）若两种产品的售价都为5元/册，求总销售额；

（2）两种产品的售价分别定为多少时，可以获得最大的总销售额，并求此时最大总销售额.

【答案】（1）30万元

（2）元/册和元/册，万元

【解析】

【分析】（1）由两种产品的售价都为5元/册，先求出，，相加即可；

（2）①设亚运会宣传册的销售额为（万元）：当时，，当时，，分别求出最大值，②设二十大纪念册的销售额为（万元）：当时，，当时，分别求出最大值,把两类最大值相加即可.

【小问1详解】

当时，，此时销售额为（万元），

当时，，此时销售额为（万元），

所以总销售额（万元）.

【小问2详解】

①设亚运会宣传册的销售额为（万元）：

当时，，

令，

则，

在，即时取最大值，

当时，在时取最大值，

从而当时，最大，最大值为.

②设二十大纪念册的销售额为（万元）：

当时，在单调递增，

则在时取最大值，

当时，在上单调递减，

则小于，

从而当时，最大，最大值为.

综上所述，亚运会宣传册和二十大纪念册的售价应分别定为元/册和元/册，

最大的总销售额为万元.

22. 设函数.

（1）若，且在上恒成立，求取值范围；

（2）若常数满足，且在上有解，求的取值范围.

【答案】（1）

（2）答案见解析

【解析】

【分析】(1)分离参变量，进而可得，求二次函数在给定区间的最值即可求解，（2）分类讨论，函数在给定区间内的单调性和值域,即可求解.

【小问1详解】

原式变形为：，

即在上恒成立，

分离参数得：，

令，则，

于是，

因为在单调递减，所以时有最大值为，

因为在单调递增，所以时有最大值为，

得：.

【小问2详解】

即有解，

于是的取值范围即为在上的值域，

①：，所以，

②：在上单调递增，所以，

即，

③：

1° ，即时，在上单调递增，

所以，即.

2° ，即时，

，

当时，，所以，

所以，

综上所述，当时，的取值范围为；

当时，的取值范围为.