2022-2023学年浙江省温州市乐清外国语学校高一上学期期中数学试题

这是一份2022-2023学年浙江省温州市乐清外国语学校高一上学期期中数学试题，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年第一学期浙江省温州市乐清外国语学校高一期中考试数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若正数a、b满足，则ab的最大值为（    ）A.5   B.6   C.7   D.92.已知，，则的最小值为（    ）A.2   B.3   C.4   D.53.若，则的最小值等于（    ）A.6   B.9   C.4   D.14.已知，，且，则的最小值是（    ）A.10   B.15   C.18   D.235.下列各题中结论正确的是（    ）A.当时，    B.当时，C.当时，  D.当时，6.已知，则的最小值是（    ）A.   B.   C.   D.27.若，且，则的最小值为（    ）A.3   B.   C.   D.8.已知，且，若不等式恒成立.，则的最大值为（    ）A.3   B.4   C.5   D.6二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.设且，则下列不等式正确的是（    ）A.   B.C.   D.10.已知正实数a，b满足，则（    ）A.   B.   C.   D.11.已知a，b为正数，，则（    ）A.的最大值为   B.的最小值为3C.的最大值为  D.的最小值为12.若a，b均为正数，且，则下列结论正确的是（    ）A.的最大值为   B.的最小值为9C.的最小值为  D.的最小值为三、填空题（共4小题，满分20分）13.若，，，则的最小值为_________.14.若，则，的最小值为_________.15.a，b均为正实数，则的最小值为_________.16.若正实数x，y满足，则的最大值是_________.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.某工厂需要建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽分别为多少?18.已知x，y都是正数，且.（1）求的最小值；（2）求的最小值.19.已知正数a、b满足.（1）求的最小值；（2）求的最小值.20.已知x，y为正实数，且满足.（1）若恒成立，求m的最小值；（2）证明：.21.合肥一中德育处为了更好的开展高一社团活动，现要设计如图的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm.（1）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，并求最小值；（2）如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的2倍，那么怎样确定海报矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，并求最小值.22.已知正实数a、b满足.（1）求的最小值；（2）求的最小值；（3）求的最小值.参考答案一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.【分析】利用基本不等式即可得出的最大值.【解答】解：∵正数a，b满足，∴，当且仅当时取等号.则的最大值为9.故选：D.2.【分析】，由基本不等式可知，即可得最小值.【解答】解：因为，又因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立，故选：D.3.【分析】由，利用基本不等式即可求解.【解答】解：由，得，∵，当且仅当，即时，等号成立.故选：B.4.【分析】由题意化简可得，再化简，从而利用基本不等式求最值.【解答】解：∵，，，∴，∴，（当且仅当，即，时，等号成立）故选：C.5.【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，以及函数的单调性，即可求解.【解答】解：当时，，当且仅当，即时等号成立，∵且，∴的最小值为2不成立，故A、D错；当时，，，当且仅当时，等号成立，故B正确；当时，，因此当时，即时有最小值，而，故C错误，故选：B.6.【分析】化简，结合，利用基本不等式求最值即可.【解答】解：∵，∴，∴（当且仅当，即时，等号成立）.故选：A.7.【分析】先把转化为，再将，根据基本不等式即可求出.【解答】解：∵，且，∴，∴，当且仅当，即，时取等号，故的最小值为，故选：D.8.【分析】恒成立问题转化为最值问题，利用基本不等式求出最值，由此即可求解.【解答】解：，且，则，当且仅当时取等号，∴，∵，∴的最大值为3，故选：A.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.【分析】作差可知A正确，由基本不等式可知D正确；举例说明B、C错误即可.【解答】解：∵，∴，故A正确；当时，，，故B错误；当时，，，故C错误；∵，∴，，故，（当且仅当，即时，等号成立），故D正确；故选：AD.10.【分析】利用基本不等式依次判断各选项即可.【解答】解：对于A，B选项：由，即，解得，则，当且仅当时，取等号，∴A正确：则B选项错误；对于C选项：由，可得，那么，当且仅当时，取等号，∴C正确；对于D选项：，，∴，即，∴，即，当且仅当时，取等号；∴D正确；故选：ACD.11.【分析】对于A，直接利用公式，即可求解，对于B，根据已知条件，利用“1”代换来求解，对于C，利用公式，即可求解，对于D，利用选项A和选项B的结论，即可求解.【解答】解：对于A，∵，，∴，当且仅当时，等号成立，对于B，∵，当且仅当时，等号成立，故B正确，对于C，当时，即时等号成立，显然等号不成立，故C错误，对于D，∵，故D错误.故选：AB.12.【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，以及二次函数的性质，即可求解.【解答】解：∵a，b均为正数，且，∴由基本不等式可得，，解得，当且仅当，即，时等号成立，故A选项正确，，当且仅当，即时等号成立，故B选项正确，，，结合二次函数的性质可知，，故D选项正确，结合二次函数的性质，，故C选项错误.故选：ABD.三、填空题（共4小题，满分20分）13.【分析】由，，化简为，利用基本不等式求解即可.【解答】解：由，，，则（当且仅当，时，取“=”）即的最小值为2.故答案为：2.14.【分析】根据基本不等式即可求出.【解答】解：∵，∴，∴当且仅当时，等号成立，故答案为：24.15.【分析】利用换元法设，，代入所求式子整理后利用基本不等式即可求解.【解答】解：设，，解得：，，所以，当且仅当时，等号成立.所以的最小值为.故答案为：.16.【分析】由题意可将已知式变形，再利用基本不等式即可求得.【解答】解：由题意可得，所以有，当且仅当且时，取得最大值4.故答案为：4.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.【分析】先求出，再利用基本不等式求最值即可.【解答】解：设场地一边长为，则另一边长.因此新墙总长度，∵，当且仅当，即时取等号，∴当时，函数取得最小值.∵，，故当堆料场的宽为16m，长为32m时，可使砌墙所用的材料最省.18.【分析】（1）利用“1”的代换将式子变形，再利用基本不等式求出最小值即可；（2）先将所求式子中的1用代换，展则，从而利用基本不等式求出最小值即可.【解答】解：（1）由，，，得，当且仅当，时等号成立，所以的最小值为9.（2），又，，所以，所以，当且仅当，时等号成立，所以的最小值为3.19.【分析】（1）利用乘1法，展开后结合基本不等式即可求解；（2）先对已知式子进行变形，结合已知条件可得，利用基本不等式可求.【解答】解：（1）因为，所以.又因为a、b是正数，所以当且仅当时等号成立，故的最小值为9.（2）因为且a、b为正数，所以，，所以，，则当且仅当、时等号成立，故的最小值为16.20.【分析】（1）由，结合题意可得，进而求解；（2）先证明再根据即得证.【解答】解：（1）∵，，，∴由基本不等式得，当且仅当时取等号，∵恒成立，∴，故实数的最小值为.（2）证明：∵，当且仅当时取等号，得证.21.【分析】（1）根据矩形栏目面积确定高与宽的关系，可得整个矩形广告面积，再利用基本不等式，即可求得最值.（2）由题意得，，求得的范围，由（1）可得，函数确定为减区间，即可得到何时取得最小值.【解答】解：（1）设矩形栏目的高为，宽为，则，所以，广告的高为，宽为（其中，），广告的面积，当且仅当，即时，取等号，此时.故当广告矩形栏目的高为200cm，宽为100cm，时可使广告的面积最小为.（2）由题意得，，，解得，由（1）可得，当时，广告的面积最小为.故当广告矩形栏目的高为100cm，宽为200cm，可使广告的面积最小为.22.【分析】首先作下列变形：，即，，，，，（1），展开后利用基本不等式可求得最小值；（2），再利用基本不等式可求得最小值；（3），再利用基本不等式可求得最小值.【解答】解：，即，，，，，（1）因为、是正实数，所以当且仅当时等号成立，故的最小值为4；（2）因为，，所以，，则.当且仅当，时等号成立，故的最小值为25；（3）因为，，，所以当且仅当，时等号成立，故的最小值为.