2022-2023学年重庆市育才中学校高一上学期期末数学试题

这是一份2022-2023学年重庆市育才中学校高一上学期期末数学试题，共21页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
重庆市育才中学校高2025届2022－2023学年（上）期末考试数学试题（满分150分，考试时间120分钟）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．注意事项：1．答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效；3．考试结束后，将答题卡交回．第I卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1设集合，，则A∩B=（）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据交集的定义求解.【详解】因为，，则A∩B=，故选:D.2. 命题“”的否定形式是（）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题来判断.【详解】根据特称命题的否定是全称命题得，命题“”的否定形式是.故选：B.3. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】逐一判断每个选项中函数的奇偶性和单调性来得答案.【详解】对于A：既不是奇函数也不是偶函数，A错误；对于B：若，，则，则为定义域内的偶函数， B错误；对于C：若，，则，则为奇函数，但，则在定义域上不是增函数，C错误；对于D：若，则，则为奇函数，作出其函数图像如下：在定义域上单调递增，D正确.故选：D.4. 如果角的终边经过点，则（    ）A. － B.  C.  D. －【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义和弦化切的方法求解.【详解】由题可得，所以，故选:A.5. 函数为奇函数的一个充分不必要条件是（）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】通过求出，再逐一对照选项即可.【详解】若函数为奇函数，则，即当时，，A正确；另外不存在整数使，，BC不正确；是函数为奇函数的充要条件，D不正确.故选：A.6. 设，，，则a，b，c的大小关系是（）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先利用对数函数的单调性得到，的大小，再利用余弦的诱导公式和单调性得的范围比较即可．【详解】解：因为，，则，又因为，，则所以，故选：B．7. 生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的，则可推断该文物属于（）参考数据：参考时间轴：A. 宋 B. 唐 C. 汉 D. 战国【答案】D【解析】【分析】根据给定条件可得函数关系，取即可计算得解.【详解】依题意，当时，，而与死亡年数之间的函数关系式为，则有，解得，于是得，当时，，于是得：，解得，由得，对应朝代为战国，所以可推断该文物属于战国.故选：D8. 设函数是定义在上的奇函数：对任意，都有，且当时，，若函数在上恰有5个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由题意分析得函数的周期为4，作出函数图象，根据题意得得函数的图象与的图象在有5个不同的交点，作出图象，数形结合即可求解.【详解】因为函数是定义在上的奇函数，当时，，所以时，，又因为对任意，都有，所以，即，又因为，即，所以，所以，即函数以4为周期，又由函数在上恰有5个不同的零点，得函数的图象与的图象在有5个不同的交点，，当如图，要使两函数图象有5个交点，则，解得，当如图，要使两函数图象有5个交点，则，解得，综上，故选:C.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 下列说法正确的是（）A.  B. 第一象限的角是锐角C. 1弧度的角比1°的角大 D. 用弧度制量角时，角的大小与圆的半径有关【答案】AC【解析】【分析】对于AC，将角度转化为弧度即可判断；对于B，根据象限角的概念判断；对于D，根据弧度的定义来判断.【详解】对于A：，A正确；对于B：第一象限的角不一定是锐角，比如，B错误；对于C：1°的角为弧度，比1弧度的角小，C正确；对于D：用弧度制量角时，角的大小为弧长与半径的比值，当半径变化时，弧长也在变化，此时比值是不发生变化的，即角的大小与圆的半径无关，D错误.故选：AC.10. 函数)在一个周期内的图像如图所示，则（）A. 该函数的解析式为B. 是该函数图像的一个对称中心C. 该函数的减区间是D. 把函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移，可得到该函数图像【答案】ABD【解析】【分析】观察图像可得，再带点可得，则可确定A；计算时，是否为零来确定B；令，求出单调减区间来确定C；通过周期变换和平移变换得函数来确定D.【详解】对于A：由图观察可得，得，又，，即，代入点得，得，即，又，得，，A正确；对于B，当时，，是该函数图像的一个对称中心，B正确；对于C，令，解得，即的减区间是，C错误；对于D，函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍得，再纵坐标不变，再向左平移，可得，D正确.故选:ABD.11. 已知函数，且，下列结论正确的是（）A.  B.  C.  D. 【答案】BCD【解析】【分析】根据函数图象可得且，利用基本不等式求解即可.【详解】作出图象如下，因为，且，所以，由图象可知，，所以，所以，所以也即，A错误；，B错误；，当且仅当即时取得等号，C正确；因为,当且仅当时取得等号，由于，所以，D正确，故选:BCD.12. 已知函数的最小值为0，是自然对数的底数，则（    ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案】BC【解析】【分析】根据题意确定当，的值域是的子集，分类讨论的取值范围，结合函数的单调性与最值的关系求解.【详解】当时，，即，故当，的值域是的子集，即，当时，对勾函数在单调递减，单调递增，对于A, ，则对勾函数在单调递增，则在单调递减，所以，即，A错误；对于C, ，则对勾函数在单调递减，则在单调递增，所以，即，C正确；对于B,D，当时，为减函数，所以，即，故B正确，D错误；故选:BC.第Ⅱ卷三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知幂函数f(x)的图象经过(9,3)，则f(4)= __________【答案】2【解析】【详解】分析：设幂函数f（x）=xα，把点（9，3）代入解析式求出α，即可求出函数的解析式和f（4）的值．详解：设幂函数f（x）=xα，∵函数f（x）的图象经过（9，3），∴9α=3，解得，则f（x）= ，∴f（4）=2，故答案为2．点睛：本题考查幂函数的解析式的求法：待定系数法，属于基础题．14. 若，则____________．【答案】##【解析】【分析】令，得，再将代入，利用诱导公式计算即可.【详解】令，则，，故答案为：15. 如图，在Rt中，，以为圆心、为半径作圆弧交于点，若圆弧分的面积为(扇形部分是2份)，且弧度，则____________．【答案】【解析】【分析】设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出高，计算直角三角形的面积，由条件建立等式，解此等式求出与的关系，即可得出结论．【详解】解：设扇形部分的半径为，则扇形的面积为，直角三角形中，，的面积为，由题知圆弧分的面积为(扇形部分是2份)，，，．故答案为：．16. 已知函数在上单调，且将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后与原来的图象重合．当时，使得不等式成立的x的最大值为___________．【答案】【解析】【分析】根据单调函数知到此区间在相邻两个对称轴之间，求出的范围，根据平移得到的表达式，继而确定的值，再画给定区间的图像，可得.【详解】函数在上单调所以将函数f(x)图象向右平移个单位长度后与原来的图象重合．所以所以，当时，如图，满足不等式成立的x的最大值满足：故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算性质，对数的运算性质，特殊角的三角函数计算即可；（2）利用对数的运算性质计算即可.【小问1详解】【小问2详解】18. 已知对于成立；关于a的不等式成立．（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求b的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用列式计算；（2）解二次不等式得，再根据p是q的必要不充分条件得集合间的包含关系，进而可得b的取值范围．【小问1详解】对于成立，得，解得；即若p为真命题，a的取值范围为；【小问2详解】对于关于a的不等式成立，得，解得，若p是q的必要不充分条件，则，得.19. 新成民铁路起自成都南站(途经站点如图所示)，沿途经过四川省成都市、眉山市、乐山市、凉山彝族自泡州、攀枝花市，云南省楚雄彝族自治州、昆明市，终至昆明站，为国家1级双线电气化铁路，设计时速160公里，已于2022年12月26日全线正式开通运营．目前，成都到昆明的铁路列车运行时间由19个小时缩短到7.5个小时左右，将为西南地区的人员、物流往来构建起铁路运输大动脉，对促进西南地区的经济社会发展均具有十分重要的意义．现在已知列车的发车时间间隔t(单位：分钟)满足．经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为720人；当时，载客量会减少，减少的人数与(12－t)的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时的载客量为396人．记列车载客量为．（1）求的表达式；（2）若该线路每分钟的净收益为(元)，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值．【答案】（1）（2）时间间隔为3分钟时，该线路每分钟的净收益最大为元【解析】分析】（1）由题设，有且，求值，进而写出其分段函数的形式即可；（2）由（1）写出解析式，结合基本不等式与函数单调性讨论、求最大值即可．【小问1详解】解：由题可知，当时，，当，可设，又发车时间间隔为3分钟时的载客量为396人，，解得。此时，；【小问2详解】解：由（1）得：当时，，当且仅当，即等号成立，所以；当时，单调递减，则，综上，时间间隔为3分钟时，该线路每分钟的净收益最大为元.20. 已知．其中．（1）若，求；（2）已知，求函数的最大值g(a)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据同角三角函数的关系求出正余弦即可求解；(2)利用换元法可得，，讨论二次函数的单调性即可求出最值.【小问1详解】若，则，代入，得整理得解得，因为，所以当时，，舍去，当时，，所以.【小问2详解】因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，，当，当时有最大值为，当时，在单调递增，则当时，有最大值为，当时，在单调递减，则当时，有最大值为，所以.21. 已知函数满足且与的最小正周期相同．（1）求的值及g(x)的单调区间；（2）若在区间上恰好有2022个零点，求的取值范围．【答案】（1），g(x)的单调递增区间为，无减区间（2）【解析】【分析】（1）由题知，函数关于点对称，进而根据三角函数性质求得，的单调区间；（2）由题知，其最小正周期为，进而结合题意得【小问1详解】解：因为函数与的最小正周期相同，所以，，解得，所以，令，解得，所以，g(x)的单调递增区间为，无减区间；因为函数满足，所以，函数关于点对称，所以，即，因为，所以，综上，，g(x)的单调递增区间为，无减区间【小问2详解】解：由（1）知，故，所以的最小正周期为因为在区间上恰好有2022个零点，所以，区间内至少有个周期，至多（不能取到）所以，即，所以，的取值范围是22. 已知函数（1）若在[2，3]上的最小值为，求a的值；（2）证明：函数有且仅有一个零点，且【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】(1)根据函数的单调性即可求解；(2)根据零点的存在性定理确定，从而得到，根据在单调递减，可得，再证明，即可证明求解.【小问1详解】因为，所以在[2，3]单调递增，所以解得，【小问2详解】因为，所以，则在没有零点，由(1)可得在单调递增，，所以函数有且仅有一个零点，且，所以，则有，所以，因为在单调递减，所以，当时，，所以，所以，即，因为在单调递增，所以，所以，即，所以