2023届安徽省滁州市定远县民族中学高三上学期12月月考数学试题（解析版）

2023届安徽省滁州市定远县民族中学高三上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求出集合，用补集和交集的运算性质计算即可.

【详解】因为集合，所以．

又，所以．

故选：A．

2．设函数，若，，，则，，的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题可得为偶函数，且在上为增函数，由此可得，然后利用对数函数和指数函数的性质比较的大小，从而可比较出，，的大小

【详解】解：因为，所以为偶函数，

所以，

当时，在上为增函数，

因为，，

所以，

因为在上为增函数，

所以，

所以，

故选：A

【点睛】此题考查对数函数和指数函数的性质，考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查转化能力，属于基础题.

3．已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于的不等式在上恒成立，则正实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由奇偶性求得，，化简不等式，并用分离参数法变形为，设，换元后利用函数的单调性求得不等式右边的取值范围，从而可得的范围．

【详解】解：已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，则，

又①，则②，

由①②可得，

则不等式在上恒成立，转化为：在上恒成立，

因为，所以，即，

令，则，，，

则，在上是增函数，，

又在时是增函数，所以，则，

又在上恒成立，则．

则正实数的取值范围是.

故选：D．

4．函数的大致图像是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由排除两个选项，再由时，排除一个选项后可得正确选项．

【详解】∵，所以，故排除C，D，

当时，恒成立，排除A，

故选：B．

5．已知函数，是函数的一个零点，且是其图象的一条对称轴.若是的一个单调区间，则的最大值为

A．18 B．17 C．15 D．13

【答案】D

【分析】由已知可得，结合，得到（），再由是的一个单调区间，可得T，即，进一步得到，然后对逐一取值，分类求解得答案．

【详解】由题意，得，∴，

又，∴（）．

∵是的一个单调区间，∴T，即，

∵，∴，即．

①当，即时，，，∴，，

∵，∴，此时在上不单调，

∴不符合题意；

②当，即时，，，∴，，

∵，∴，此时在上不单调，

∴不符合题意；

③当，即时，，，∴，．

∵，∴，此时在上单调递增，

∴符合题意，故选D．

【点睛】本题主要考查正弦型函数的单调性，对周期的影响，零点与对称轴之间的距离与周期的关系，考查分类讨论的数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，结合选项逐步对系数进行讨论是解决该题的关键，属于中档题.

6．如图所示，平面向量，的夹角为60°，，点关于点的对称点，点关于点的对称点为点，则为（    ）

A． B． C．4 D．无法确定

【答案】B

【分析】首先根据条件转化向量，再利用向量数量积求模.

【详解】，

.

故选：B

7．在等差数列中，，其前n项和为，若，则（    ）

A．2021 B．-2021 C．-2022 D．2022

【答案】C

【分析】由等差数列前n项和公式可得数列为等差数列，根据可得公差为1，即可求解的值，即可得出结论.

【详解】解：因为数列为等差数列，故，则，

当时，，则，

所以数列为等差数列，设其公差为d．又，即，又，所以，所以，即．

故选：C.

8．已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数，都有，当时，，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令，根据，可得，即为偶函数，再根据当时，，利用导数判断函数在上得单调性，再根据，即，即，再根据函数的单调性即可得出答案.

【详解】解：因为，所以，

令，则，

所以为偶函数，

当时，，

所以，

所以函数在上单调递增，

根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知在上单调递减，

因为，

所以，

所以，

即，

解得或.

故选：C.

【点睛】本题重点考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，关键在于构造正确的函数，考查了利用导数判断函数在区间上的单调性，考查了数据分析能力，有一定的难度.

二、多选题

9．已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，，当时，都有；③.则下列选项成立的是（    ）

A． B．若，则

C．若， D．，，使得

【答案】ACD

【分析】根据条件判断函数的奇偶性、单调性，对于A，根据函数性质比较函数值大小；对于B，，等价于，求得参数范围；对于C，若，分类讨论求得不等式解集；对于D，根据函数的性质知，函数存在最大值，从而满足条件.

【详解】由①知函数为偶函数；由②知，函数在上单调递减；

则函数在上单调递增；

对于A，，故A正确；

对于B，，则，解得，故B错误；

对于C，若，由题知，则当时，，解得；当时，，解得，故C正确；

对于D，根据函数单调性及函数在R上的图形连续知，函数存在最大值，则只需，即可满足条件，故D正确；

故选：ACD

10．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法正确的有（    ）

A．

B．平面

C．向量与的夹角是60°

D．直线与所成角的余弦值为

【答案】ABD

【分析】利用空间向量法，根据空间向量的线性运算和数量积运算，及线面垂直的判定定理逐项分析即得.

【详解】以为空间一组基底，则，

，

所以，A选项正确；

由题可知四边形是菱形，所以，

又，

，

所以，即，

由于，平面，平面，

所以平面，B选项正确；

由题可知与的夹角为，也即与的夹角为，C选项错误；

，

，

所以.

，，

所以，

，

设直线与直线所成角为，

则，D选项正确.

故选：ABD.

11．关于函数，则下列命题正确的是（    ）

A．存在、使得当时，成立

B．在区间上单调递增

C．函数的图象关于点中心对称

D．将函数的图象向左平移个单位长度后与的图象重合.

【答案】AC

【分析】化简f(x)的解析式，利用余弦型或正弦型函数的图像与性质即可逐项判断﹒

【详解】，

A选项，周期为，根据f(x)图像的对称性知存在、使得当时，成立，A对；

B选项，在上单调递减，故在区间上单调递减，B错；

C选项，因为，所以函数的图象关于点中心对称，C对；

D选项，的图象向左平移个单位长度后为，D错；

故选：AC.

12．树人中学的“希望工程”中，甲､乙两个募捐小组暑假期间走上街头分别进行了为期两周的募捐活动.两个小组第1天都募得1000元，之后甲小组继续按第1天的方法进行募捐，则从第2天起，甲小组每一天得到的捐款都比前一天少50元；乙小组采取了积极措施，从第1天募得的1000元中拿出了600元印刷宣传材料，则从第2天起，第天募得的捐款数为元.若甲小组前天募得捐款数累计为元，乙小组前天募得捐款数累计为元（需扣除印刷宣传材料的费用），则（    ）

A．

B．甲小组募得捐款为9550元

C．从第7天起，总有

D．且

【答案】AC

【分析】利用等差数列求和公式求出甲小组两周的募捐的钱数，得到B错误；

利用等比数列求和公式及分组求和，得到乙小组两周募捐的钱数，得到D错误；

计算出，比较得到大小；

令，先计算出，再结合数列单调性得到答案.

【详解】由题可知且，

设代表第天甲小组募得捐款，且，

对于甲小组，，

所以，所以，

所以且，

所以，故选项B不正确；

设代表第天乙小组募得捐款，由题可知，，

所以

，

，故选项D错误；

因为，故该选项A正确；

选项C，令，所以，

而当时，，

所以数列为递增数列，因此，所以，故选项C正确.

故选：AC

三、填空题

13．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2021年为3000万吨，2022年增长率约为50％.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从______年开始，快递业产生的包装垃圾超过30000万吨.（参考数据：，）

【答案】

【分析】年后产生的垃圾为，得到不等式，解得答案.

【详解】年后产生的垃圾为，故，

即，即，即，故，

故年开始快递业产生的包装垃圾超过30000万吨.

故答案为：

14．在三角形中，已知，，若，则的值为__________．

【答案】或

【分析】由，解出A，B，C的正余弦值，将等式化简后代入，解出.

【详解】因为，，，，

所以，，，，

．

，

即，

所以，解得或.

故答案为：或．

15．如图所示，半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于､的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是___________

【答案】

【分析】由向量的线性运算得，因此，只要求得的最大值即可，这可由基本不等式得结论．

【详解】解：因为为的中点，所以，

从而.

又为定值，再根据，可得，所以当且仅当时，即为的中点时，等号成立，取得最小值是，

故答案为：.

16．若函数存在平行于轴的切线，则实数取值范围是______.

【答案】

【分析】求出导函数，只需有正解，分离参数可得，利用基本不等式即可求解.

【详解】函数定义域为，导函数为，

使得存在垂直于轴的切线，即有正解，可得有解，

因为，所以，当且仅当“，即”时等号成立，

所以实数的取值范围是

故答案为：

四、解答题

17．在中，角，，的对边分别为，，，已知，且，.

(1)求证：；

(2)求的面积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由已知条件结合正弦定理可得，，再由可得，化简后可得结论，

（2）由余弦定理结合（1）的结论可求得，从而可求出三角形的面积

【详解】（1）证明：，，所以，

根据正弦定理得，，

又

所以，即

（2）由余弦定理得，

由（1），得，结合可得.

即，解得或 （舍去），

所以

18．已知数列的前n项和为，.

（1）证明：为等比数列；

（2）设，若不等式对恒成立，求t的最小值.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】(1)利用得到的递推公式再构造数列证明即可.

(2)根据(1)可求得,进而求得,再用裂项求和求解进而求得t的最小值

【详解】解：（1）,

故为等比数列.

（2）令,则有,

所以,所以,

令,

令,

所以

.所以.

故t的最小值为.

【点睛】本题主要考查了根据递推公式证明等比数列的方法,同时也考查了裂项相消求和的方法与不等式的范围问题,属于中等题型.

19．第二届中国（宁夏）国际葡萄酒文化旅游博览会于2022年9月6—12日在银川市成功举办，某酒庄带来了葡萄酒新品参展，与采购商洽谈，并计划大量销往海内外.已知该新品年固定生产成本40万元，每生产一箱需另投入100元.若该酒庄一年内生产该葡萄酒万箱且全部售完，每万箱的销售收入为万元，

(1)写出年利润（万元）关于年产是（万箱）的函数解析式（利润销售收入成本）；

(2)年产量为多少万箱时，该酒庄的利润最大？并求出最大利润．

【答案】(1)

(2)年产量为29万箱时，该公司利润最大，最大利润为2370万元

【分析】（1）分和两种情况讨论，根据利润销售收入成本得到函数解析式；

（2）根据二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解.

【详解】（1）解：当时，，

当时，，

故；

（2）解：当时，，

对称轴为，开口向下，故，

当时，

，

当且仅当，即时，等号成立，

因为 ，

所以当时，利润最大，最大值为万元，

故年产量为万箱时，该公司利润最大，最大利润为万元.

20．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，且，，．

(1)求线段的长度；

(2)求异面直线与所成角的余弦值；

(3)若为的中点，证明：．

【答案】(1)

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）由已知角的三边作为空间向量的一组基底，由基底表示再进行模长计算即可；

（2）由基底表示、，再代入向量夹角公式计算即可；

（3）由计算即可得结果.

【详解】（1）因为，

所以，

∴，

所以线段的长度为．

（2）∵，，

∴，

故异面直线与所成角的余弦值为.

（3）因为为的中点，所以，

又∵，

∴，即．

21．已知向量，函数图象相邻两条对称轴之间的距离为.

（1）求的解析式；

（2）若且，求的值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）由题知，根据向量数量积运算求得，化简，由条件求得参数，从而写出解析式.

（2）由得，根据角的范围求得，从而有，求得结果.

【详解】（1）由题知，

，

又函数相邻两条对称轴之间的距离为.即，

则，

（2）由题知，，

则，又，则，

当时，，而，

因此，此时

则

22．已知函数在处的切线与直线平行.

(1)求实数的值，并判断函数的单调性；

(2)若函数有两个零点，且，求证：.

【答案】(1)，在上是单调递减，在上是单调递增；

(2)证明见解析

【分析】（1）求导函数，利用导数的几何意义求出，然后分析导函数的符号得出函数的单调性；

（2）由已知得，两式相减，得，即有，令构造函数，求导函数，分析导函数的符号，得出函数的单调性和范围可得证.

【详解】（1）函数的定义域：，由可得，

所以由题意可得，解得，

，

，

令，解得，故在上是单调递减；

令，解得，故在上是单调递增；

（2）由为函数的两个零点，得，

两式相减，可得即，，

因此，，

令，由，得，

则，构造函数，

则，

所以函数在上单调递增，故，即，

可知，故命题得证

【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，用导数证明有关函数零点的不等式，解题思路是对两个零点，引入参数，把有关的表达式表示为的函数，然后再由导数研究新函数得证结论