2023届北京市丰台区高三上学期数学期末试题（解析版）

2023届北京市丰台区高三上学期数学期末试题

一、单选题

1．已知全集，集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据补集概念求解即可.

【详解】因为，，

所以或.

故选：B

2．已知复数，则在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】先化简复数，求出共轭复数，即可得结论.

【详解】因为，

所以，

所以对应的点为在第三象限，

故选：C.

3．在的展开式中，常数项为（    ）

A． B．24 C． D．48

【答案】B

【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令的指数为求出，将的值代入通项求出展开式的常数项．

【详解】二项式展开式的通项为，令，解得，所以展开式的常数项为

故选：B

4．已知向量，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由可求出，再由充分性和必要性的定义即可得出答案.

【详解】若，则，解得：.

所以，而推不出.

故“”是“”的充分而不必要条件

故选：A.

5．下列函数是偶函数，且在区间上单调递增的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用函数奇偶性和在区间上单调递增逐项分析.

【详解】选项A由令的定义域为，

且，

由函数为二次函数开口向下，对称轴为轴，

所以在单调递减，故函数在区间上单调递减，

故A错误，

由的定义域为，关于原点对称

且，

所以为奇函数，故选项B错误，

由的定义域为，

且，

所以为奇函数，故C错误，

由的定义域为，

且，所以

为偶函数，

，且，

所以

，

因为，且，

因为在上单调递增，

所以，，

所以，

故，

所以在区间上单调递增，

故选：D.

6．已知抛物线过点，焦点为F．若点满足，则m的值为（    ）

A．2 B． C．2或 D．或

【答案】C

【分析】由抛物线过点，可求出，即可表示出，再由，即可求出m的值.

【详解】因为抛物线过点，

所以，

所以抛物线，则，

又因为，所以，解得：或.

故选：C.

7．已知函数，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】将不等式问题转化为函数图象问题，结合图象求得正确答案.

【详解】依题意，，

由解得或

画出的图象如下图所示，

由图可知，不等式的解集是.

故选：A

8．设双曲线的右焦点为F，过点F的直线l平行于双曲线C的一条渐近线，与另一条渐近线交于点P，与双曲线C交于点Q，若Q为线段的中点，则双曲线C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先根据题意得到直线，与另一条渐近线联立得到，根据为线段的中点得到，再代入双曲线方程求解即可.

【详解】由题知：，平行的一条渐近线为，

则直线，

，即.

因为为线段的中点，所以.

把代入得：，

化简得，即，则.

故选：C

9．如图，在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，平面，点M为底面上的动点，M到的距离记为d，若，则点M在底面正方形内的轨迹的长度为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【分析】在平面中求得点的轨迹方程，从而求得轨迹的长度.

【详解】由于平面平面，所以，

所以.

在正方形中，建立平面直角坐标系如下图所示，

，设，则，

，，，

所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆.

由令，解得，

则，由于，所以，

所以点的轨迹在底面正方形内的长度是.

故选：B

10．市场占有率指在一定时期内，企业所生产的产品在其市场的销售量（或销售额）占同类产品销售量（或销售额）的比重．一般来说，市场占有率会随着市场的顾客流动而发生变化，如果市场的顾客流动趋向长期稳定，那么经过一段时期以后的市场占有率将会出现稳定的平衡状态（即顾客的流动，不会影响市场占有率），此时的市场占有率称为“稳定市场占有率”．有A，B，C三个企业都生产某产品，2022年第一季度它们的市场占有率分别为：40%，30%，30%．经调查，2022年第二季度A，B，C三个企业之间的市场占有率转移情况如下图所示：

若该产品以后每个季度的市场占有率转移情况均与2022年第二季度相同，则当市场出现稳定的平衡状态，最终达到“稳定市场占有率”时，A企业该产品的“稳定市场占有率”为（    ）

A．45% B．48% C．50% D．52%

【答案】D

【分析】根据市场占有率转移情况求得正确答案.

【详解】最终达到“稳定市场占有率”时，A企业该产品的“稳定市场占有率”为：

.

故选：D

二、填空题

11．函数的定义域是___________．

【答案】且

【分析】根据题意得到求解即可.

【详解】由题知：且.

故答案为：且.

12．已知集合，，若为2个元素组成的集合，则实数m的取值范围是___________．

【答案】

【分析】集合表示直线上的点，集合表示圆上的点，根据直线和圆相交计算得到范围.

【详解】集合表示直线上的点，

集合表示圆上的点，圆心为，半径，

为2个元素组成的集合，故直线和圆相交，即，

解得.

故答案为：

13．已知函数，若，且在区间上有最小值无最大值，则___________．

【答案】

【分析】根据三角函数的对称性、最值求得正确答案.

【详解】由于若，且在区间上有最小值无最大值，

，则，

所以，

，

由于，所以的值为.

故答案为：

14．已知函数存在两个极值点，给出下列四个结论：

①函数有零点；     

②a的取值范围是；

③；             

 ④．

其中所有正确结论的序号是___________．

【答案】①④

【分析】求出函数定义域以及导函数.由可说明①正确；由已知，有两个不同的正数解，根据二次函数根的分布即可求出的范围，判断②；根据求根公式，解出，结合②中解出的的范围，可得到，即③错误；根据导函数得出函数的单调性，结合③的解析，可得，即④正确.

【详解】由已知可得，定义域为，.

对于①，因为，所以1是函数的一个零点，故①正确；

对于②，因为函数存在两个极值点，所以有两个不同的正数解，即方程有两个不同的正数解，

则应满足，解得，故②错误；

对于③，解方程可得，，因为，所以，由②知，所以，所以，故③错误；

对于④，由可得，即，所以，所以在上单调递增；解可得，或，所以在上单调递减，在上单调递减.

由③知，所以，故④正确.

故答案为：①④.

三、双空题

15．在等差数列中，公差d不为0，，且成等比数列，则___________；当___________时，数列的前n项和有最大值．

【答案】         

【分析】根据等比数列得到，解得，再计算，，得到答案.

【详解】成等比数列，故，即，

解得或（舍）.

，,，，

故时，有最大值.

故答案为：；

四、解答题

16．如图，已知正方体中，点是棱的中点．

(1)求证：平面；

(2)若点F是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接交于，连接，证明即可.

（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，平面的法向量为，根据向量的夹角公式计算得到答案.

【详解】（1）如图所示：连接交于，连接，

是中点，是的中点，故，

平面且平面，故平面；

（2）以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：

设正方形边长为，则，，，，

设平面的法向量为，则，

取得到，.

直线与平面所成角的正弦值为.

17．在中，．

(1)求A；

(2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．

条件①：；

条件②：；

条件③：．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)或；

(2)答案见解析.

【分析】（1）由正弦定理边化角可得，即可求出结果；

（2）若选①：根据已知可得为钝角，则为锐角，，三角形唯一，根据两角和的正弦公式可求出，根据正弦定理求出的值，根据即可求出面积；若选②：根据正弦定理可求出，为直角，三角形唯一确定，可求出，即可求出；若选③：由，可知或，有两解.

【详解】（1）由可得，.

因为，所以，又，所以或.

（2）若选①：.

因为，所以为钝角，为锐角，

又，

又，所以，即，所以存在且唯一确定.

则，由可得.

.

根据正弦定理可得，，

所以；

若选②：.

因为，所以，由正弦定理可得，，

因为，所以，所以存在且唯一确定.

则，所以，；

若选③：.

因为，所以，此时或，

所以，此时存在但不唯一.

18．非物质文化遗产（简称“非遗”）是优秀传统文化的重要组成部分，是一个国家和民族历史文化成就的重要标志．随着短视频这一新兴媒介形态的兴起，非遗传播获得广阔的平台，非遗文化迎来了发展的春天．为研究非遗短视频受众的年龄结构，现从各短视频平台随机调查了1000名非遗短视频粉丝，记录他们的年龄，将数据分成6组：，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)求a的值；

(2)从所有非遗短视频粉丝中随机抽取2人，记取出的2人中年龄不超过40岁的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列及数学期望；

(3)在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组粉丝年龄的平均数，估计非遗短视频粉丝年龄的平均数为m，若中位数的估计值为n，写出m与n的大小关系．（结论不要求证明）

【答案】(1)

(2)分布列详见解析，

(3)

【分析】（1）根据频率之和为求得.

（2）根据二项分布的知识求得分布列以及数学期望.

（3）根据平均数、中位数的求法求得，并比较出两者的大小关系.

【详解】（1），

解得.

（2）不超过40岁的人的频率为，

所以，的可能取值为，

，

，

，

所以的分布列为：

所以.

（3）岁.

，

所以.

19．已知椭圆过点，离心率为．

(1)求椭圆E的方程；

(2)设点，直线与椭圆E的另一个交点为C，O为坐标原点，B为椭圆E的右顶点．记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据过点和离心率计算得到椭圆方程.

（2）计算直线方程，联立方程得到点坐标，再计算，，相乘得到答案.

【详解】（1）椭圆过点，离心率为，

故，，，，椭圆方程为.

（2），直线：，联立方程，

得到，

方程的一个解为，故另外一个解为.

当时，，即，

，，，，得证

20．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数在区间上的最小值；

(3)证明函数只有一个零点．

【答案】(1)

(2)

(3)见解析

【分析】（1）对求导，求出，由点斜式方程即可求出答案；

（2）令，，得出在的单调性，结合零点存在性定理可得在上单调递增，在上单调递减，再比较的大小，即可得出答案.

（3）利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理，讨论，和时，的正负，即可得出证明.

【详解】（1）的定义域为，

故，，

所以曲线在点处的切线方程为：，

化简得：

（2）令，，

当时，，

所以在上单调递减，且，

，

所以由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使

又当时，；当时，；

所以在上单调递增，在上单调递减，

又因为

所以函数在区间上的最小值为.

（3），，

若，，

所以在区间上单调递增，又，，

结合零点存在定理可知，在区间有且仅有一个零点，

若，则，则，

若，因为，所以，

综上，函数在有且仅有一个零点.

【点睛】利用导数研究函数的零点，一方面利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题，转化为函数图象的交点问题，利用数形结合判断.

21．设为正实数，若各项均为正数的数列满足：，都有．则称数列为数列．

(1)判断以下两个数列是否为数列：

数列：3，5，8，13，21；

数列：，，5，10．

(2)若数列满足且，是否存在正实数，使得数列是数列？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．

(3)若各项均为整数的数列是数列，且的前项和为150，求的最小值及取得最小值时的所有可能取值．

【答案】(1)数列是，数列不是；

(2)不存在，理由见解析；

(3)答案见解析.

【分析】（1）根据定义验证是否恒成立，即可判断；

（2）假设存在，则由已知可推得.

当时，，这与假设矛盾，所以不存在；

（3）根据已知推出，进而推出，， ，，相加可推得.根据基本式，结合题意可得的最小值不小于30.进而得出的范围，得到所有可能的整数解.分情况讨论，得出数列，即可得到的所以可能的取值.

【详解】（1）根据定义，数列应满足，都有，

即恒成立.

对于数列：有，，，均满足，所以数列是数列；

对于数列，因为不满足，所以数列不是数列.

（2）不存在正实数，使得数列是数列.

说明理由如下：假设存在正实数，使得数列是数列，

则，都有，即恒成立.

因为，

所以，

当时，，这与假设矛盾.

所以，不存在正实数，使得数列是数列.

（3）因为数列是数列，所以.

所以，

所以，，，，，，

所以，

即，所以.

所以，

因为数列是整数列，所以的最小值不小于30.

假设，必有，解得，

因为，所以可取9，10，11，12.

当时，，存在满足条件的数列.

，，，，，，，，；

当时，，存在满足条件的数列.

，，，，，，，，，；

当时，，存在满足条件的数列.

，，，，，，，，，，；

当时，，存在满足条件的数列.

，，，，，，，，，，，.

以上都是的充分条件.

所以的最小值为30，此时的所有可能的取值为，，20，.