2023届广东省华南师范大学附属中学五校高三上学期期末联考数学试题（word版）

五校2022-2023高三上学期期末联考

数学卷

第 Ⅰ 卷（选择题）

一、单选题（每题5分，共40分）

1. 在复数范围内，方程的两根在复平面内对应的点关于（）

A. 直线对称 B. 直线对称 C. y轴对称 D. x轴对称

2. 已知集合，，则集合子集个数为（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3. 已知，，则的取值范围为（）

A.  B.  C.  D.

4. 有5人参加某会议，现将参会人安排到酒店住宿，要在a、b、c三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，则这样的安排方法共有（）

A. 96种 B. 124种 C. 150种 D. 130种

5. 已知数列的前n项和组成的数列满足，，，则数列的通项公式为（）

A.  B.

C.  D.

6. 函数（，）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（）

A. 函数的最小正周期是 B. 函数在单调递减

C. 函数的图象关于点成中心对称 D. 将函数的图象向左平移后得到关于y轴对称

7. 设，分别为双曲线（，）左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M，N两点，且，（如图），则该双曲线的离心率为（）

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数，，，有，其中，，则下列说法一定正确的是（）

A. 是的一个周期 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D.

二、多选题（每题5分，共20分；选对5分，漏选2分，错选0分）

9. 已知数据，，，…，的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是，，，，数据，，，…，的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是，，，，且满足，则下列结论正确的是（）

A.  B.

C.  D.

10. 向量满足，，，则的值可以是（）

A. 3 B. 6 C. 4 D.

11. 已知球O的半径为4，球心O在大小为的二面角内，二面角的两个半平面所在的平面分别截球面得两个圆，，若两圆，的公共弦AB的长为4，E为AB的中点，四面体得体积为V，则一定正确的是（）

A. O，E，，四点共圆 B.

C.  D. V的最大值为

12. 已知函数，则过点恰能作曲线的两条切线的充分条件可以是（）

A B.

C.  D.

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题（每题5分，共20分）

13. 若抛物线的准线与直线间的距离为3，则抛物线的方程为______.

14若，则______．

15. 已知a，b都是正数，则的最小值是______．

16. 如图正方体的棱长是3，E是上的动点，P、F是上、下两底面上的动点，Q是EF中点，，则的最小值是______．

四、解答题（共70分）

17. 已知，

（1）时，求的取值范围；

（2）若存在t，使得，求t的取值范围．

18. 已知数列，，…，，…满足，（），数列A的前n项和记为．

（1）写出的最大值和最小值；

（2）是否存在数列A，使得？如果存在，写出此时的值；如果不存在，说明理由．

19. 已知两个四棱锥与的公共底面是边长为2的正方形，顶点、在底面的同侧，棱锥的高，、分别为AB、CD的中点，与交于点E，与交于点F．

（1）求的长；

（2）求这两个棱锥的公共部分的体积．

20. 某次射击比赛过关规定：每位参赛者最多有两次射击机会，第一次射击击中靶标，立即停止射击，比赛过关，得4分；第一次未击中靶标，继续进行第二次射击，若击中靶标，立即停止射击，比赛过关，得3分；若未击中靶标，比赛未能过关，得2分．现有12人参加该射击比赛，假设每人两次射击击中靶标的概率分别为m，0.5，每人过关的概率为p．

（1）求p（用m表示）；

（2）设这12人中恰有9人通过射击比赛过关概率为，求取最大时p和m的值；

（3）在（2）的结果下，求这12人通过射击比赛过关所得总分的平均数．

21. 已知平面内两点，，动点P满足．

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）过定点的直线l交动点P的轨迹于不同的两点M，N（M在N的上方），点M关于y轴对称点为，求证直线过定点，并求出定点坐标．

22. 已知函数．

（1）若是的极值点，求a；

（2）若，分别是的零点和极值点，当时，证明：．

广东五校2022-2023高三上学期期末联考

数学卷

第 Ⅰ 卷（选择题）

一、单选题（每题5分，共40分）

1. 在复数范围内，方程的两根在复平面内对应的点关于（）

A. 直线对称 B. 直线对称 C. y轴对称 D. x轴对称

【答案】D

2. 已知集合，，则集合的子集个数为（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

3. 已知，，则的取值范围为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

4. 有5人参加某会议，现将参会人安排到酒店住宿，要在a、b、c三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，则这样的安排方法共有（）

A. 96种 B. 124种 C. 150种 D. 130种

【答案】C

5. 已知数列的前n项和组成的数列满足，，，则数列的通项公式为（）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

6. 函数（，）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（）

A. 函数的最小正周期是 B. 函数在单调递减

C. 函数的图象关于点成中心对称 D. 将函数的图象向左平移后得到关于y轴对称

【答案】B

7. 设，分别为双曲线（，）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M，N两点，且，（如图），则该双曲线的离心率为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

8. 已知函数，，，有，其中，，则下列说法一定正确的是（）

A. 是的一个周期 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D.

【答案】A

二、多选题（每题5分，共20分；选对5分，漏选2分，错选0分）

9. 已知数据，，，…，的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是，，，，数据，，，…，的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是，，，，且满足，则下列结论正确的是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

10. 向量满足，，，则的值可以是（）

A. 3 B. 6 C. 4 D.

【答案】AC

11. 已知球O的半径为4，球心O在大小为的二面角内，二面角的两个半平面所在的平面分别截球面得两个圆，，若两圆，的公共弦AB的长为4，E为AB的中点，四面体得体积为V，则一定正确的是（）

A. O，E，，四点共圆 B.

C.  D. V的最大值为

【答案】ACD

12. 已知函数，则过点恰能作曲线的两条切线的充分条件可以是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】AD

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题（每题5分，共20分）

13. 若抛物线的准线与直线间的距离为3，则抛物线的方程为______.

【答案】或

14. 若，则______．

【答案】

15. 已知a，b都是正数，则的最小值是______．

【答案】2

16. 如图正方体的棱长是3，E是上的动点，P、F是上、下两底面上的动点，Q是EF中点，，则的最小值是______．

【答案】##
 

四、解答题（共70分）

17. 已知，

（1）时，求的取值范围；

（2）若存在t，使得，求t的取值范围．

（1）化简，结合二倍角公式的逆用转化求解函数的解析式，推出范围即可．

（2）存在，使得，令，根据三角函数恒等变换确定的范围，再利用平方公式得，通过当时，当时，解方程，转化为函数问题，结合函数的单调性求解函数的值域，即可得到结果．

【小问1详解】

解：时，，由于，所以

所以．

【小问2详解】

解：由题意得，存在，使得，

令，因为，所以，即，

则，所以，

当时，方程为，此时不存在使得方程有解，

当时，，

则时，函数在上单调递减，此时，

时，函数在上单调递减，此时，

综上，t的取值范围为.

18. 已知数列，，…，，…满足，（），数列A的前n项和记为．

（1）写出的最大值和最小值；

（2）是否存在数列A，使得？如果存在，写出此时的值；如果不存在，说明理由．

【答案】（1）的最大值为3，最小值为-1

（2）不存在，理由见解析

【解析】

【分析】（1）利用与递推公式求出的可能值，从而求出的可能值，得到最大值与最小值；

（2）两边平方后，根据推出，从而求出，结合为整数，方程无解，故不存在数列A，使得.

小问1详解】

因为，（），

所以，解得或-1，

取，则，解得或-2，

取，则，解得：，

所以或或

故最大值3，最小值为；

【小问2详解】

因为，（），

所以整数，两边平方得：，

故

，

所以，

若存在数列A，使得，则，

又为整数，所以方程无解，

故不存在数列A，使得.

19. 已知两个四棱锥与的公共底面是边长为2的正方形，顶点、在底面的同侧，棱锥的高，、分别为AB、CD的中点，与交于点E，与交于点F．

（1）求的长；

（2）求这两个棱锥的公共部分的体积．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】(1)连接，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得出为的中点，进而求解即可；

(2)公共部分的体积可以看作四棱锥与四棱锥的体积差，根据棱锥体积公式求解即可.

【小问1详解】

连接，如图所示：

因为平面，平面，所以，又，

所以四边形是矩形，所以，且，

又分别为的中点，所以，且，

所以，且，所以四边形为平行四边形，

又对角线，所以为的中点，

由题意可知：在中，，

所以.

【小问2详解】

连接，交于点，过点作于，

由题意知，故，又，，

平面，所以平面，

因为平面，故，又，平面，

所以平面，即是四棱锥的高，

由（1）同理可得点为线段的中点，所以，且，

在中，，则，

所以，

因为，

所以.

20. 某次射击比赛过关规定：每位参赛者最多有两次射击机会，第一次射击击中靶标，立即停止射击，比赛过关，得4分；第一次未击中靶标，继续进行第二次射击，若击中靶标，立即停止射击，比赛过关，得3分；若未击中靶标，比赛未能过关，得2分．现有12人参加该射击比赛，假设每人两次射击击中靶标的概率分别为m，0.5，每人过关的概率为p．

（1）求p（用m表示）；

（2）设这12人中恰有9人通过射击比赛过关的概率为，求取最大时p和m的值；

（3）在（2）的结果下，求这12人通过射击比赛过关所得总分的平均数．

【答案】（1）

（2）

（3）

【解析】

【分析】(1)利用对立事件概率的计算公式，用相互独立事件概率的计算公式能求出每位大学生射击测试过关的概率.(2)求出，通过求导可求得取到最大值时的的值.(3)利用第二问的结论，设一位大学生射击测试过关所得分数为随机变量，的可能取值为，分别求出每一个随机变量的概率，由此可求得12个人通过射击过关所得分数的平均分.

【小问1详解】

每位大学生射击过关的概率为：

【小问2详解】

，，令，则或，因为，所以.令，令，所以在上单调递增，在上单调递减.所以当时，，此时，解得.所以当取最大时p和m的值分别为，.

【小问3详解】

设一位大学生射击过关测试所得分数为随机变量X，则的可能取值为，则，，，所以每位大学生测试过关所得分数的平均分为：.所以这12人通过射击过关测试所得分数的平均分为：.

21. 已知平面内两点，，动点P满足．

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）过定点的直线l交动点P的轨迹于不同的两点M，N（M在N的上方），点M关于y轴对称点为，求证直线过定点，并求出定点坐标．

【答案】（1）

（2）直线恒过定点.

【解析】

【分析】（1）直接由斜率关系计算得到；

（2）设出直线，联立椭圆方程，韦达定理求出，再结合三点共线，求出参数，得到过定点.

【小问1详解】

设动点，由已知有，

整理得，

所以动点的轨迹方程为；

【小问2详解】

由已知条件可知直线和直线斜率一定存在，

设直线方程，，，则，

由，可得，

则，即为，

，，

因为直线过定点，所以三点共线，即，即，

即，即，

即得，

整理，得，满足，

则直线方程为，恒过定点.

【点睛】椭圆对称轴上一点，椭圆的一条弦与此对称轴交与，夹在之间的椭圆的顶点为，则被对称轴平分成等比数列.

22. 已知函数．

（1）若是的极值点，求a；

（2）若，分别是的零点和极值点，当时，证明：．

【答案】（1）

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由题意，，由方程求的值；

（2）由已知得，，通过构造函数，利用导数判断单调性，证明不等式.

【小问1详解】

因为 所以

若是函数的极值点，则 ，即，

此时

设，则，，

所以存在，使得当时，，单调递减，

当时， ，单调递增，当时 ，单调递减，

所以当时，是的极值点.

【小问2详解】

因为若，分别是的零点和极值点，所以 ，，

，，所以

当时， ，则，，即，，

因为 所以当 即 时，成立，

当 时，若，则只需证明，

设，则，

设，

则 为增函数，且，

所以存在唯一，使得，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，故， 所以，单调递增，

所以， 等价于.

设 ，则

当 时，若 时，，，单调递减，

所以当 ，，所以当 时成立，

设，则 ，

当时，，单调递增，所以当时，，

即，成立.

综上，若，分别是的零点和极值点，当时，有.