2023届广西壮族自治区钦州市第四中学高三上学期10月考试数学（文）试题（解析版）

这是一份2023届广西壮族自治区钦州市第四中学高三上学期10月考试数学（文）试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届广西壮族自治区钦州市第四中学高三上学期10月考试数学（文）试题 一、单选题1．设实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】ABC均可举出反例，D选项，利用指数函数的单调性，不等式的性质和基本不等式证明出结论.【详解】若，则，故A错误；若时，，此时，故B错误；当时，，此时，故C错误；因为，所以，所以，又，当且仅当，即时等号成立，所以，故D正确.故选：D.2．已知､､，那么下列命题中正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若且，则 D．若且，则【答案】C【分析】根据不等式的性质，对选项逐一判断即可.【详解】对于选项A，当为0时不成立；对于选项B，当为负数是不成立；对于选项C，由且可得，所以故C正确；对于选项D，若且说明同号，当为正数时不成立.故选：C3．已知为互不相等的正数，，则下列说法正确的是（    ）A．与同号 B．与异号C．与异号 D．与同号【答案】D【分析】利用基本不等式判断出，由的大小不确定，判断出A、B不正确；分类讨论在和时，都有与同号.即可判断C、D.【详解】因为为互不相等的正数，所以.因为，所以，所以.所以.因为的大小不确定，所以的符号不确定.故A、B不正确；若，则，所以，，所以与同号.若，则，所以.因为为互不相等的正数，所以.所以与同号.综上所述：与同号.故C错误，D正确.故选：D4．已知正数x，y满足，则下列选项不正确的是（    ）A．xy的最大值是 B．的最小值是C．的最小值是4 D．的最大值是【答案】D【分析】根据题设条件和基本不等式，逐项判定，即可求解.【详解】由，可得，即，当且仅当时成立，所以A正确；由，当且仅当时成立，所以B正确；因为正数满足，由，当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确；由正数满足，可得，则，当且仅当时，即时，等号成立，即的最大值是，所以D错误.故选：D.5．若，下列命题正确的是（    ）A．若，则 B．，若，则C．若，则 D．，，若，则【答案】C【分析】利用特值法可判断ABD，利用不等式的性质可判断C.【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误；对于C，若，则，故C正确；对于D，当时，，故D错误，故选：C.6．已知，，，则，，的大小关系为（    ）．A． B．C． D．【答案】C【分析】利用指数函数的性质及对数函数的性质即可得到.【详解】∵，，，∴．故选：C.7．已知，，，则､､的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于均为正数，所以比较的大小即可【详解】解：因为，，所以，所以，因为，所以，所以，所以，故选：D【点睛】此题考查代数式比较大小，利用了作差法，属于基础题8．一种在恒温大棚里种植的蔬菜的株高（单位：cm）与温度（单位：℃，）满足关系式，市场中一吨这种蔬菜的利润（单位：百元）与，的关系为，则的最大值为（    ）A．1095.4 B．995.4 C．990.4 D．895.4【答案】A【分析】代入y得，结合均值不等式即可得最大值.【详解】，当且仅当时，等号成立.故选：A.9．对于实数，“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac＞bc”必须有c＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B【解析】不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件． 10．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，现有椭圆的蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若面积的最大值为34，则椭圆的长轴长为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可知为圆的一条直径，利用勾股定理得出，再利用基本不等式即可求即解.【详解】椭圆的蒙日圆的半径为.因为，所以为蒙日圆的直径，所以，所以.因为，当时，等号成立，所以面积的最大值为：.由面积的最大值为34，得，得，故椭圆的长轴长为.故选：C11．已知，，设，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用作差法判断的正负即可得出结果.【详解】由题意可知，当且仅当时，等号成立；即.故选：A12．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则当取最大值时，，的值分别是（   ）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，，，，根据，利用余弦定理得到，进而得到，再利用基本不等式求解.【详解】解：不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，，，．设，．．则，，∴，．因为，所以，即．∴，∴，∴，则，当且仅当，时取等号．故选：A． 二、填空题13．若a，b为正实数，且，则的最小值为______【答案】【分析】由已知可得，，利用基本不等式即可求解【详解】解：，且，，则，当且仅当且，即，时取得最小值故答案为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题关键是对应用条件的配凑，1的代换是求解条件配凑的关键14．若，则的最小值是___________.【答案】2【分析】根据，结合已知解不等式即可得出答案.【详解】解：因为，所以，则，所以，解得或（舍去），当且仅当，即时，取等号，所以的最小值是2.故答案为：2.15．设，，且，则的最小值为___________.【答案】【分析】由得到，再将化为积为定值的形式，根据基本不等式可求得结果.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.16．已知，若，则的最小值为___________．【答案】【分析】根据条件，化简所给的等式，得到，然后根据积为常数，和有最小值，进行恒等变形，利用基本不等式求的最小值.【详解】因为，所以，整理可得，由已知，则，可得，即，所以，所以，所以，当且仅当是取到等号，又，所以取到最小值.故答案为：. 三、解答题17．已知不等式的解集为或（其中）．(1)求实数，的值；(2)解关于的不等式．【答案】(1)(2) 【分析】(1)根据不等式与对应方程的根的关系求解；(2)分式不等式转化为一元二次不等式求解即可.【详解】（1）由题意可得的解集为或，则且1和为方程的两个根．则，解得．（2）不等式化为，转化为，即所以，解集为．18．已知关于x的不等式的解集为或．(1)求实数a，b的值；(2)若正实数x，y满足，，求t的最小值．【答案】(1)实数a，b的值分别为1，4(2)． 【分析】（1）根据一元二次不等式解的结果，利用韦达定理得到关于的方程，解出即可；（2）利用基本不等式中乘“1”法得到的最值，最后注意取等条件.【详解】（1）由题意,1,4为方程的根，所以，解得，∴实数a，b的值分别为1，4．（2）由（1）知，∵x＞0，y＞0，x＋y＝2，∴，当且仅当，即，时，等号成立．∴t的最小值为．19．已知x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，求：(1)xy的最小值；(2)x+y的最小值..【答案】(1)64(2)18 【分析】（1）利用基本不等式构建不等式即可得结果；（2）将变形为分式型，利用“1”的代换和基本不等式可得结果.【详解】（1）∵， ， ，∴ ，当且仅当时取等号，∴ ∴，当且仅当时取等号，故的最小值为64.（2）∵，则 ，又∵， ，∴，当且仅当时取等号，故的最小值为18.20．（1）已知，求的最大值；（2）已知、是正实数，且，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据x的范围，可得，原式转化为，结合基本不等式，即可得结果；（2）根据基本不等式，“1”的妙用，即可求解.【详解】（1）因为，，，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，函数（）的最大值为；（2）、是正实数，且，，则，当且仅当且时取等号，此时取得最小值.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查“1”的妙用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.21．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业公司扩大生产提供（）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，公司在收到政府（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中为工厂工人的复工率（），公司生产万件防护服还需投入成本（万元）．(1)将公司生产防护服的利润（万元）表示为补贴（万元）的函数（政府补贴万元计入公司收入）；(2)当复工率时，政府补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大？并求出最大值．【答案】(1)，，(2)当复工率时，政府补贴2万元才能使公司的防护服利润达到最大值60万元 【分析】(1)根据题意得，代入化简即可；(2)根据题意，代入，再结合均值不等式即可求解.【详解】（1）由题意得，即，，.（2）由，得，因，当且仅当时取等号，所以.故当复工率时，政府补贴2万元才能使公司的防护服利润达到最大值60万元.22．已知的内角，，的对边分别为，，，且满足．（1）求；（2）若，为边的中点，求的最小值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接利用正弦定理及余弦定理，求出的值．（2）根据三角形的面积公式和平面向量基本定理，利用基本不等式即可求得的最小值．【详解】解：（1）中，内角，，的对边分别为，，，且．利用正弦定理得：，整理得：，即，由于，所以：．（2）因为的面积为，解得；在中，,两边同平方得：，当且仅当时，等号成立，所以，即的最小值为．