2023届四川省成都市玉林中学高三上学期9月诊断性评价数学（文）试题（解析版）

这是一份2023届四川省成都市玉林中学高三上学期9月诊断性评价数学（文）试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届四川省成都市玉林中学高三上学期9月诊断性评价数学（文）试题 一、单选题1．如果复数为纯虚数，那么实数的值为.A．－2 B．1 C．2 D．1或 －2【答案】A【详解】试题分析：由题意得【解析】复数相关概念2．已知集合，集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别求出集合A、B，然后根据并集的运算求解即可.【详解】，，所以，故选：B.3．已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正弦函数的有界性确定命题的真假性，由指数函数的知识确定命题的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于，所以命题为真命题；由于在上为增函数，，所以，所以命题为真命题；所以为真命题，、、为假命题.故选：A．4．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于该思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为4、2，则输出的n的值是（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据程序框图中的循环结构,模拟程序运行即可求解.【详解】根据程序框图中循环可知:当,不满足,执行循环,,不满足,继续执行循环体,,满足,结束循环体,输出.故选:B5．甲乙两名篮球运动员最近场比赛的得分如下茎叶图所示，若甲、乙的平均数相等，则=（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据茎叶图结合平均数的公式运算求解.【详解】由茎叶图可得：甲的得分为：；乙的得分为：.由题意可得：，整理得.故选：C.6．已知数列满足，，则（    ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】根据递推公式求解即可.【详解】由可得,所以,又有,所以.故选：B.7．若且，则向量与的夹角为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】结合平面向量的数量积运算及模长运算即可求解与的夹角.【详解】因为，所以又因为，所以，及，所以所以与的夹角表示为，则所以与的夹角为.故选：A.8．函数在区间上的大致图像为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据奇偶性排除A，D，根据，函数值的正负可选出选项.【详解】由题可得是偶函数，排除A,D两个选项，当时，，，当时，，，所以当时，仅有一个零点.故选：C【点睛】此题考查函数的奇偶性和零点问题，解题时要善于观察出函数的一个零点，再分别讨论，函数值的正负便可得出选项.9．已知的一个极值点为，若，则实数的值为（    ）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】先求导,令导数为零,即可求参.【详解】已知,则,因为极值点为,可得,即得,则,则故选:.10．若且，则的最小值等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】巧用常数的关系即可求解的最小值.【详解】因为且，所以当且仅当，即，时等号成立.故选：D.11．已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】函数的零点直接求解即可，函数的零点利用零点存在性定理求解即可，从而可得答案【详解】解：令，则，得，即，令，则，得，即，因为函数在上为增函数，且，所以在区间存在唯一零点，且，综上，，故选：B12．已知定义在R上的函数满足，对于，，当时，都有，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题设知在R上递增，将不等式转化为，利用单调性求解集即可.【详解】由题设时，即在R上递增，又，而等价于，所以，即，可得.故不等式解集为.故选：B 二、填空题13．某班有42位同学，学号依次为01、02、…、42，现采用系统抽样方法抽取了一个容量为6的样本，且随机抽得的第一个学号为03，则抽得的最大的学号是____________【答案】38【分析】利用系统抽样直接求得.【详解】从42位同学中采用系统抽样方法抽取了一个容量为6的样本，抽样距为7，第一个学号为03，所以抽取的6个样本的学号依次为03，10，17，24，31，38.故答案为：38.14．若函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围是________．【答案】【分析】根据二次函数在区间上的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】二次函数图象开口向上，对称轴为直线，因为函数在区间上是单调增函数，则，解得.故答案为：.15．的值等于_________．【答案】【分析】根据指数和对数的运算性质计算即可．【详解】原式＝．故答案为：．16．已知为R上的偶函数，且是奇函数，则下列结论正确的是________．（填序号）①的图象关于点对称；②的图象关于直线对称；③的周期为；④的周期为.【答案】①④【分析】是上的偶函数，它图象上的点的横坐标向左平移个单位长度之后变成了奇函数，则为周期函数，题目的关键就是找的周期，利用偶函数和奇函数的性质，以及赋值法，即可得到，利用周期函数的性质，即可判断四个结论的正确与否.特别的，是平移以后的奇函数，改变的是对应关系，所以应该将其看成是，而不是，所以有，即.【详解】为偶函数，所以：，为奇函数，所以：，所以：，即：，即：，所以：，所以：是周期为的周期函数，又：，所以：时，有，即：，所以：，所以：为的图象的一个对称点，故：①④正确，②③错误.故答案为：①④. 三、解答题17．已知．(1)判断的奇偶性并予以证明；(2)求使的取值范围．【答案】(1)奇函数，证明见解析(2) 【分析】（1）直接用奇偶性的定义判断即可.（2）因为，所以，结合单调性解不等式即可求解.【详解】（1）函数，则，即        则的定义域关于原点对称且所以为奇函数.（2）由题知，在上为增函数.因为，所以                  则，     解得18．为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济”的举措．某市城管委对所在城市约6000个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品等，各类商贩所占比例如图．(1)该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩经营点中随机抽取100个进行政策问询．如果按照分层抽样的方式随机抽取，请问应抽取小吃类、果蔬类商贩各多少家？(2)为了更好地了解商户的收入情况，工作人员还对某果蔬经营点最近40天的日收入进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如下． （ⅰ）请根据频率分布直方图估计该果蔬经营点的日平均收入（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（ⅱ）若从该果蔬经营点的日收入超过200元的天数中随机抽取两天，求这两天的日收入至多有一天超过250元的概率．【答案】(1)小吃类商贩家，果蔬类商贩家(2)（ⅰ）元（ⅱ） 【分析】（1）先通过扇形统计图计算出小吃类所占的比例，然后根据百分比计算出小吃类和果蔬类商贩各多少家；（2）（i）根据频率分布直方图，利用每组数据区间的中间值乘以该组的频率求和得出平均数；（ii）根据频率分布直方图，计算出日收入超过元的天数及日收入在，的天数，然后利用古典概型的计算方法计算概率.【详解】（1）由题意知，小吃类所占比例为，按照分层抽样的方式随机抽取，应抽取小吃类商贩（家），果蔬类商贩（家）．（2）（ⅰ）该果蔬经营点的日平均收入为元．（ⅱ）该果蔬经营点的日收入超过200元的天数为：，天，其中超过250元的有2天，记日收入超过250元的2天为，，其余4天为，，，随机抽取两天的所有可能情况为：，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中至多有一天超过250元的对立事件为：共1种．所以这两天的日收入至少有一天超过250元的概率为．19．如图，四棱锥中，平面，，，，为上一点，且．（1）证明：平面平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）证明出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）计算出，利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积.【详解】（1）平面，平面，，在直角梯形中，，，， ，所以，为等腰直角三角形，且，，，在中，，，，由余弦定理可得，，则，，平面，平面，平面平面；（2），由（1）可知平面，所以三棱锥的高为，平面，、平面，，，，，，，【点睛】方法点睛：证明面面垂直常用的方法：（1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可.20．某公司为改善营运环境，年初以万元的价格购进一辆豪华客车．已知该客车每年的营运总收入为万元，使用年所需的各种费用总计为万元．（1）该车营运第几年开始赢利（总收入超过总支出，今年为第一年）；（2）该车若干年后有两种处理方案：①当赢利总额达到最大值时，以万元价格卖出；②当年平均赢利总额达到最大值时，以万元的价格卖出．问：哪一种方案较为合算？并说明理由．【答案】（1）第3年开始赢利；（2）方案②合算．理由见解析.【解析】（1）设该车年开始盈利，可构造不等关系，结合可求得解集，由此得到结果；（2）由二次函数最值和基本不等式求最值分别求得两种方案的盈利总额，通过比较盈利总额和所需时长，得到方案②合算．【详解】（1）客车每年的营运总收入为万元，使用年所需的各种费用总计为万元，若该车年开始赢利，则，即，，，该车营运第年开始赢利．（2）方案①赢利总额，时，赢利总额达到最大值为万元．年后卖出客车，可获利润总额为万元．方案②年平均赢利总额（当且仅当时取等号）．时年平均赢利总额达到最大值万元．年后卖出客车，可获利润总额为万元．两种方案的利润总额一样，但方案②的时间短，方案②合算．【点睛】关键点点睛：本题考查建立拟合函数模型求解实际问题，解题关键是能够根据已知条件构造出合适的函数模型，结合二次函数性质和基本不等式求得函数的最值.21．已知，．(1)当时，求在上的最小值；(2)若，证明：存在唯一的极值点且．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）由导数即可求出函数的单调性，进而可求出最值.（2）求出，当时显然不符合题意，当令，求出导函数，即可得到在为增函数，根据零点存在性定理可得，使得，即有唯一的极小值点，根据，得到，结合的取值范围及三角函数的性质计算可得.【详解】（1）的定义域为R当，，则． 令，解得当时，当时，即的单调递减区间为，单调递增区间为．所以函数在上的最小值为（2）由题意知，则．当时，由，，知．故在无极值点．                            当时，，令，则由，，知．所以在为增函数．∵，∴，使得．且时，单调递减；时，单调递增，所以有唯一的极小值点．又由得．即∴由，得．故．22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．(1)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；(2)已知点，若直线l与曲线C交于A，B两点，求的值．【答案】(1)直线l：， C：；(2) 【分析】(1)直接将参数方程中的t消去即可得出直线的普通方程，结合公式，计算即可得出曲线的直角坐标方程；(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程可得关于t的一元二次方程，结合t的几何意义化简计算即可求解.【详解】（1）将直线l的参数方程中的参数t消去，得；即为，把，代入，得，即曲线C的直角坐标方程为．所以直线l：，C：；（2）易知点在直线上，把直线l的参数方程（t为参数），代入，整理得．，设直线l与曲线C的交点A，B对应的参数分别为，，则，，得同号，所以．