数学八年级上册12.2 三角形全等的判定测试题

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专题12.2 全等三角形判定二（AAS、HL）（知识解读）-2022-2023学年八年级数学上册《同步考点解读·专题训练》（人教版）【直击考点】 【学习目标】1. 掌握和会用“AAS”和“斜边、直角边”条件判定两个三角形全等． 2. 使学生经历探索三角形全等的过程，体验操作、归纳得出数学结论的方法． 3. 通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生敢于面对困难、克服困难的能力．【知识点梳理】考点 1  判定全等三角形（角角边）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）． 注意：两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“SSA”不能判定全等．在△CAB与△C′AB中CA＝C′AAB＝AB∠B＝∠B△CAB与△C′AB不全等． 考点2  判定全等三角形（直角边、斜边）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）． 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”．【典例分析】【考点1  判定全等角形（AAS）】【典例1】1．如图，AD，BC相交于点O，∠OAB＝∠OBA，∠C＝∠D＝90°．求证：△AOC≌△BOD．【变式1－1】2．已知：如图，点E、F在CD上，且∠A=∠B，ACBD，CF=DE．求证：ΔAEC≌ΔBFD．【变式1－2】3．如图，已知∠D＝∠B，DF⊥AC，BE⊥AC．(1)求证：AD∥BC；(2)若AE＝CF，求证：△AFD≌△CEB．【变式1－3】4．已知，如图，AB＝AE，ABDE，∠ECB＝65°，∠D＝115°，求证：ABC≌EAD．【考点2  判定全等角形（HL）】【典例2】5．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2．【变式2－1】6．如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC=DF，AB=DE．求证：CE=BF．【变式2－2】7．如图，，分别是的高，且，求证：．【变式2－3】8．如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF．【考点3  全等角形判定综合】【典例3】9．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE长．【变式3－1】10．如图，中，，点P在AB上，，，垂足分别为D，E，已知，求BE的长．【变式3－2】11．王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点和分别与木墙的顶端重合．（1）求证：；（2）求两堵木墙之间的距离．【变式3－3】12．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；(1)若B、C在DE的同侧（如图1所示）且AD＝CE．求证：AB⊥AC；(2)若B、C在DE的两侧（如图2所示），且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
参考答案：1．见解析【分析】根据∠OAB＝∠OBA可得OA=OB，再通过AAS即可进行证明．【详解】证明：∵∠OAB＝∠OBA，∴OA＝OB，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（AAS）【点睛】本题主要考查了用AAS证明三角形的全等，通过∠OAB＝∠OBA得到OA=OB是解题的关键．2．见解析【分析】利用平行线的性质得到∠C=∠D，然后再利用等式的性质得到CE=DF，再利用AAS证明ΔAEC≌ΔBFD即可．【详解】证明：∵AC∥BD，∴∠C=∠D，∵CF=DE，∴CF+EF=DE+EF，即CE=DF，在△AEC和△BFD中，∴ΔAEC≌ΔBFD（AAS）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，熟记判定三角形全等的方法是解题的关键．3．(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）证明∠A＝∠C，根据内错角相等，两直线平行即可进行证明；（2）根据AAS即可证明△AFD≌△CEB．（1）证明：∵DF⊥AC，BE⊥AC．∴∠AFD＝90°，∠BEC＝90°，∵∠D＝∠B，∴∠A＝∠C，∴；（2）∵AE＝CF，∴AE﹣EF＝CF﹣EF，∴AF＝CE，在△AFD和△CEB中，，∴△AFD≌△CEB（AAS）．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和三角形全等的判定，熟练掌握平行线的性质和三角形的判定定理是解题的关键．4．见解析【分析】由∠ECB＝65°得∠ACB＝115°，再由ABDE，证得∠CAB＝∠E，再结合已知条件AB＝AE，可利用AAS证得△ABC≌△EAD．【详解】解：∵∠ECB＝65°，∴∠ACB＝115°，又∵∠D＝115°，∴∠ACB＝∠D，∵ABDE，∴∠CAB＝∠E，∴在△ABC和△EAD中，，∴△ABC≌△EAD(AAS)．【点睛】本题是全等三角形证明的基础题型，在有些条件还需要证明时，应先把它们证出来，再把条件用大括号列出来，根据全等三角形证明的方法判定即可，解题关键是掌握全等三角形证明的方法．5．证明见详解【分析】要证角相等，可先证明全等．即证Rt△ABC≌Rt △ADC，进而得出角相等．【详解】证明：∵AB⊥BC，AD⊥ DC，∴∠B=∠D=90°，∴△ABC与△ACD为直角三角形，在Rt △ABC和Rt△ADC中，∵  ，∴Rt△ABC≌Rt △ADC（HL），∴∠1= ∠2．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定及性质；熟练掌握全等三角形的性质及判定是十分必要的，是正确解题的前提．6．见解析【分析】先根据直角三角形全等的判定方法证得Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），则BC=EF，即CE=BF．【详解】证明：∵AB⊥CD，DE⊥CF，∴∠ABC=∠DEF=90°．在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．∴BC=EF．∴BC﹣BE=EF﹣BE．即：CE=BF．【点睛】本题考查三角形全等的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL（直角三角形）．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．7．证明见解析.【分析】根据高的定义求出∠BEC=∠CDB=90°，根据全等三角形的判定定理HL推出即可；【详解】证明：∵，分别是的高，∴，在和中，，∴．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．8．证明见解析．【分析】在Rt△ABC和Rt△DEF中，由BF=EC可得BC=EF，又因为AB=DE，所以Rt△ABC≌Rt△DEF．【详解】解：∵BF=EC，∴BF+FC=FC+EC，即BC=EF，∵∠A=∠D=90°，∴△ABC和△DEF都是直角三角形，在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．【点睛】本题考查掌握直角三角形全等的判定方法．9．（1）见解析；（2）7【分析】（1）此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；（2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF了．【详解】解：（1）∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠EBA，在△ABE和△AFC中，∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△BEA≌△AFC．∴EA=FC，BE=AF．∴EF=EB+CF．（2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠ABE，在△ABE和△AFC中，∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△BEA≌△AFC．∴EA=FC=3，BE=AF=10．∴EF=AF﹣CF=10﹣3=7．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题．10．2【分析】已知CD的长，求BE的长，可通过证明△BEC和△ACD全等来得出．这两个三角形中已知的条件只有一组直角，根据∠ABC=∠BAC=45°，因此∠ACB=90°，AC=BC，我们发现∠DAC和∠BCE同为∠ACD的余角，因此∠DAC=∠BCE，这样就构成了△ACD和△BCE全等的条件，两三角形全等．这样就能求出BE、CD的关系就能得出BE的长．【详解】解：，，，，，，在和中，，≌，．【点睛】此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．11．（1）证明见解析；（2）两堵木墙之间的距离为．【分析】（1）根据同角的余角相等可证，然后利用AAS即可证出；（2）根据题意即可求出AD和BE的长，然后根据全等三角形的性质即可求出DC和CE，从而求出DE的长．【详解】（1）证明：由题意得：，，∴，∴，∴在和中，∴；（2）解：由题意得：，∵，∴，∴，答：两堵木墙之间的距离为．【点睛】此题考查的是全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．12．(1)见解析(2)AB⊥AC，见解析 【分析】（1）由已知条件，证明Rt△ABD≌Rt△CAE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE＝90°，即可证明AB⊥AC；（2）同（1），先证Rt△ABD≌Rt△CAE，从而可得结论.【详解】（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE， ∴∠ADB＝∠AEC＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACE中，∵，∴Rt△ABD≌Rt△CAE．∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC．∵∠DAB+∠DBA＝90°，∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°．∠BAC＝180°﹣（∠BAD+∠CAE）＝90°．∴AB⊥AC．（2）AB⊥AC．理由如下：同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE．∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC，∵∠CAE+∠ECA＝90°，∴∠CAE+∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°，∴AB⊥AC．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是利用三角形全等的性质证明∠BAD+∠CAE＝90°．