人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质课时训练

专题12.4 角平分线的性质与判定（专项训练）-2022-2023学年八年级数学上册《同步考点解读·专题训练》（人教版）

1．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为 （ ）

A． B．2 C．3 D．2

2．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　）

A．8 B．6 C．4 D．2

3．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）

A．一处 B．两处 C．三处 D．四处

4．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是(　　)

A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等

C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等

D．以上均不正确

5．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（    ）

A．10 B．7 C．5 D．4

6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

7．如图，的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（    ）．

A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶5

8．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是（    ）

A．15 B．30 C．45 D．60

9．如图，点是的中点，，平分，下列结论∶①②③④,四个结论中成立的是（  ）

A．①②④ B．①②③ C． ②③④ D．①③

10．如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（  ）

A．24 B．30 C．36 D．42

11．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是_____．

12．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝4，△ABC的面积是_____．

13．如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC=PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．

14．如图，是平分线上的一点，若，证明：

15．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．

求证：（1）CF＝EB；

（2）AB＝AF＋2EB．

16．如图，△ABC中，AD平分，且平分BC，于E，于F．

(1)证明：；

(2)如果，，求AE、BE的长．

参考答案：

1．C

【详解】解：过点P作PB⊥OM于B，

根据题意得：当PQ⊥OM时，PQ最小，即PB的长，

∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，

∴PB=PA=3，

∴PQ的最小值为3．

故选C．

【点睛】本题考查角平分线的性质；垂线段最短．

2．C

【详解】过点P作PE⊥BC于E，

∵AB∥CD，PA⊥AB，

∴PD⊥CD，

∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，

∴PA=PE，PD=PE，

∴PE=PA=PD，

∵PA+PD=AD=8，

∴PA=PD=4，

∴PE=4．

故选：C．

3．D

【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行求解即可．

【详解】解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，

∴△ABC内角平分线的交点满足条件；

如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，

过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，

∴PE＝PF，PF＝PD，

∴PE＝PF＝PD，

∴点P到△ABC的三边的距离相等，

∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；

综上，到三条公路的距离相等的点有4个，

∴可供选择的地址有4个．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线的性质是解题的关键．

4．A

【分析】过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得CE=CF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB

【详解】如图所示：过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，

∵两把完全相同的长方形直尺，

∴CE=CF，

∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），

故选A．

【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．

5．C

【详解】如图，过点E作EF⊥BC交BC于点F，根据角平分线的性质可得DE＝EF＝2，所以△BCE的面积等于，

故选：C．

6．A

【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．

【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，

∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，

∴DE＝CD，

∴S△ABD＝AB•DE＝×10•DE＝15，

解得DE＝3，

∴CD＝3．

故选：A．

【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．

7．C

【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为点，先根据角平分线的性质定理可得，再根据三角形的面积公式即可得．

【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为点，

由角平分线的性质定理得：，

的三边长分别是20，30，40，

，

故选：C．

【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．

8．B

【分析】如图，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质可得DE＝CD＝4，根据三角形面积公式即可得答案．

【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E．

由作图可知，AP平分∠CAB，

∵，

∴BC⊥AC，

∵BC⊥AC，DE⊥AB，

∴DE＝CD＝4，

∴S△ABD＝AB•DE＝×15×4＝30，

故选：B．

【点睛】本题考查尺规作角平分线，角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题．

9．A

【分析】过E作EF⊥AD于F，易证得Rt△AEF≌Rt△AEB，得到BE＝EF，AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；而点E是BC的中点，得到EC＝EF＝BE，则可证得Rt△EFD≌Rt△ECD，得到DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，也可得到AD＝AF＋FD＝AB＋DC，∠AED＝∠AEF＋∠FED＝∠BEC＝90°，即可判断出正确的结论．

【详解】解：过E作EF⊥AD于F，如图，

∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，

∴BE=EF，AE=AE，

∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)

∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；

而点E是BC的中点，

∴EC＝EF＝BE，所以③错误；

∵EC＝EF，ED=ED，

∴Rt△EFD≌Rt△ECD，

∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；

∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④正确；

∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确，

综上：①②④正确，

故选：A．

【点睛】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，也考查了三角形全等的判定与性质．

10．B

【分析】过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，根据角平分线的性质得到DE=CD=4，根据三角形的面积公式即可得到结论．

【详解】如图，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，

∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，

∴DE=CD=4，

∴四边形的面积

 故选B.

【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．

11．4

【详解】∵CD平分∠ACB交AB于点D，

∴∠DCE=∠DCF，

∵DE⊥AC，DF⊥BC，

∴DF=DE=2，

∴S△BCD=BC×DF÷2=4×2÷2=4．

故答案为：4．

考点：角平分线的性质．

12．42

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE＝OD＝OF），从而可得到的面积等于周长的一半乘以2，代入求出即可．

【详解】如下图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，

∴OE＝OF＝OD＝4，

∵的周长是21，OD⊥BC于D，且OD＝4，

∴

＝42，

故答案为：42．

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键．

13．见解析.

【分析】到OA、OB距离相等的点在∠AOB的平分线上，到C，D距离相等的点在线段CD的垂直平分线上，所以P点是∠AOB的平分线与线段CD的垂直平分线的交点．

【详解】解：如图所示，∠AOB的平分线与线段CD的垂直平分线的交点P就是所求的点：

【点睛】本题考查了作图−应用与设计作图，角平分线的判定以及线段垂直平分线的判定，到两条相交直线距离相等的点在这两条相交直线夹角的平分线上；到两点距离相等的点，在这两点连线的垂直平分线上．

14．见详解.

【分析】过点D作于点G，于点H，利用结合补角的定义可证，由AAS可证，由全等的性质可得结论.

【详解】解：过点D作于点G，于点H，则

是平分线上的一点

在和中

即

【点睛】本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，灵活利用角平分线上的点到角两边的距离相等这一性质是解题的关键.

15．（1）见解析；（2）见解析．

【分析】（1）由AD为角平分线，利用角平分线定理得到DE=DC，再由BD=DF，利用HL得到三角形FCD与三角形BDF全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；

（2）利用AAS得到三角形ACD与三角形AED全等，利用全等三角形对应边相等得到AC=AE，由AB=AE+EB，等量代换即可得证．

【详解】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴DE=DC，

在Rt△CFD和Rt△EBD中，

，

∴Rt△CFD≌Rt△EBD（HL），

∴CF=EB；

（2）在△ACD和△AED中，

，

∴△ACD≌△AED（AAS），

∴AC=AE，

∴AB=AE+EB=AC+EB=AF+FC+EB=AF+2EB．

【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

16．(1)见解析

(2)AE=4，BE=1

【分析】（1）连接BD、CD，先由垂直平分线性质得BD=CD，再由角平分线性质得DE=CF，然后证Rt△BED≌Rt△CFD（HL），即可得出结论；

（2）证明Rt△AED≌Rt△AFD（HL），得AE=AF，则CF=AF-AC=AE-AC，又因为BE=AB-AE，由（1）知BE=CF，则AB-AE= AE-AC，代入AB、AC值即可求得AE长，继而求得BE长．

【详解】（1）证明：如图，连接BD、CD，

∵且平分BC，

∴BD=CD，

∵AD平分，于E，于F，

∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°，

在Rt△BED与Rt△CFD中，

，

∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），

∴BE=CF；

（2）解：∵AD平分，于E，于F，

∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°，

在Rt△AED与Rt△AFD中，

，

∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），

∴AE=AF，

∴CF=AF-AC=AE-AC，

由（1）知：BE=CF，

∴AB-AE=AE-AC

即5-AE=AE-3，

∴AE=4，

∴BE=AB-AE=5-4=1，

【点睛】本题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质定义和线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．