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中考数学新导向复习第五章四边形第26课正方形课件（带答案）
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这是一份中考数学新导向复习第五章四边形第26课正方形课件（带答案），共13页。PPT课件主要包含了考点知识，是直角，有一组邻边相等，有一个角是直角，一组邻边相等，一个角是直角，互相垂直平分且相等，互相垂直，例题与变式，过关训练等内容，欢迎下载使用。
1.正方形的定义：有一组邻边__________且有一个角__________的平行四边形是正方形．
2．正方形的性质：正方形既是__________________的矩形，又是__________________的菱形，因此，它既有__________的性质，又有________的性质．
3．正方形的判定：(1)有__________________的矩形是正方形．(2)有________________的菱形是正方形．(3)对角线______________________的四边形是正方形． (4)对角线________________的矩形是正方形． (5)对角线__________________的菱形是正方形．
【例1】如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点， AF平分∠DAE，求证：BE＋DF＝AE.
【考点1】正方形的性质
证明：延长CB到G，使GB=DF，连接AG， ∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB. ∴△ADF≌△ABG. ∴∠AFD=∠G，∠GAB=∠DAF=∠EAF. 又∵AB∥CD, ∴∠AFD =∠EAF +∠BAE=∠GAB +∠BAE =∠GAE. ∴∠G=∠GAE. ∴AE=GE=GB+BE=DF+BE.
【变式1】如图，已知点E为正方形ABCD的边BC 上一点，连接AE，过点D作DG⊥AE，垂足为G， 延长DG交AB于点F，求证：BF＝CE.
证明：在正方形ABCD中， ∠DAF=∠ABE=90°，DA=AB=BC， ∵DG⊥AE，∴∠FDA+∠DAG=90°. 又∵∠EAB+∠DAG=90°，∴∠FDA=∠EAB. 在Rt△DAF与Rt△ABE中，DA=AB，∠FDA=∠EAB， ∴Rt△DAF≌Rt△ABE. ∴AF=BE. 又AB=BC，∴BF=CE.
【考点2】正方形的判定
【例2】如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A，C两点 作l1∥l2，作BM⊥l2于点M，DN⊥l2于点N，直线MB，DN分别交l1于G，P点，求证：四边形PGMN是正方形．
证明：l1∥l2，BM⊥l1，DN⊥l2， ∴∠GMN=∠P=∠N=90°， ∴四边形PGMN为矩形. ∵AB=AD，∠M=∠N=90°, ∠ADN+∠NAD=90°，∠NAD+∠BAM=90°， ∴∠ADN=∠BAM. 又∵AD=BA，∴Rt△ABM≌Rt△DAN（HL），∴AM=DN. 同理AN=DP. ∴AM+AN=DN+DP，即MN=PN． ∴四边形PGMN是正方形．
【变式2】已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°， CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F， 求证：四边形CFDE是正方形．
证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴DE=DF，∠DFC=90°，∠DEC=90°. 又∵∠ACB=90°， ∴四边形DECF是矩形. ∵DE=DF， ∴矩形DECF是正方形．
【考点3】正方形的综合应用
【例3】如图，BF平行于正方形ABCD的对角线AC,点E在BF上，且AE＝AC，CF∥AE，求∠BCF的度数．
解：过点A作AO⊥FB的延长线于点O， 连接BD，交AC于点Q， ∵四边形ABCD是正方形，∴BQ⊥AC. ∵BF∥AC，∴AO∥BQ, 且∠QAB=∠QBA=45°. ∴AO=BQ=AQ= AC， ∵AE=AC，∴AO= AE. ∴∠AEO=30°. ∵BF∥AC，∴∠CAE=∠AEO=30°. ∵BF∥AC，CF∥AE，∴∠CFE=∠CAE=30°. ∵BF∥AC，∴∠CBF=∠BCA=45°. ∴∠BCF=180°－∠CBF－∠CFE=180°－45°－30°=105°.
【变式3】已知：如图，在正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于点G，DG交OA于点F，求证：OE＝OF.
证明：在正方形ABCD中，对角线是垂直平分的，所以AO=OD， AC垂直BD,∠AFG=∠OFD（对顶角），DG垂直AE，所以∠AFG+∠GAF=∠AEO+∠GAF,得∠OFD=∠AEO，△DOF≌△AOE.所以OE=OF.
1．顺次连接正方形四边中点所得的四边形一定是( )A．正方形 B．矩形C．菱形 D．等腰梯形
3．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为( )
2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是( )A．当AB＝BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC＝90°时，它是矩形D．当AC＝BD时，它是正方形
4．如图，正方形OABC的两边OA，OC分别在x轴、 y轴上，点D(5，3)在边AB上，以C为中心，把 △CDB旋转90°，求旋转后点D的对应点D′的坐标．
解：∵点D（5，3）在边AB上， ∴BC=5，BD=5－3=2，①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′=2， 所以，D′(－2，0），②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2， 所以，D′(2，10），综上所述，点D′的坐标为(2，10）或(－2，0）．
5．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在 CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，求 CH 的长．
解：连接AC,CF， ∵正方形ABCD和正方形CEFG中， BC=1，CE=3， ∴AC= ，CF= ，∠ACD=∠GCF=45°. ∴∠ACF=90°. 由勾股定理，得AF= . ∵H是AF的中点, ∴CH= AF=12× = .
6．如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP＝BM，连接NP，BP.(1)求证：四边形BMNP是平行四边形；(2)线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．
解：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠C， 在△ABM和△BCP中， ∴△ABM≌△BCP（SAS）. ∴AM=BP，∠BAM=∠CBP.∵∠BAM+∠AMB=90°，∴∠CBP+∠AMB=90°.∴AM⊥BP. ∵将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN， ∴AM⊥MN，且AM=MN. ∴MN∥BP. ∴四边形BMNP是平行四边形.
1.正方形的定义：有一组邻边__________且有一个角__________的平行四边形是正方形．
2．正方形的性质：正方形既是__________________的矩形，又是__________________的菱形，因此，它既有__________的性质，又有________的性质．
3．正方形的判定：(1)有__________________的矩形是正方形．(2)有________________的菱形是正方形．(3)对角线______________________的四边形是正方形． (4)对角线________________的矩形是正方形． (5)对角线__________________的菱形是正方形．
【例1】如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点， AF平分∠DAE，求证：BE＋DF＝AE.
【考点1】正方形的性质
证明：延长CB到G，使GB=DF，连接AG， ∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB. ∴△ADF≌△ABG. ∴∠AFD=∠G，∠GAB=∠DAF=∠EAF. 又∵AB∥CD, ∴∠AFD =∠EAF +∠BAE=∠GAB +∠BAE =∠GAE. ∴∠G=∠GAE. ∴AE=GE=GB+BE=DF+BE.
【变式1】如图，已知点E为正方形ABCD的边BC 上一点，连接AE，过点D作DG⊥AE，垂足为G， 延长DG交AB于点F，求证：BF＝CE.
证明：在正方形ABCD中， ∠DAF=∠ABE=90°，DA=AB=BC， ∵DG⊥AE，∴∠FDA+∠DAG=90°. 又∵∠EAB+∠DAG=90°，∴∠FDA=∠EAB. 在Rt△DAF与Rt△ABE中，DA=AB，∠FDA=∠EAB， ∴Rt△DAF≌Rt△ABE. ∴AF=BE. 又AB=BC，∴BF=CE.
【考点2】正方形的判定
【例2】如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A，C两点 作l1∥l2，作BM⊥l2于点M，DN⊥l2于点N，直线MB，DN分别交l1于G，P点，求证：四边形PGMN是正方形．
证明：l1∥l2，BM⊥l1，DN⊥l2， ∴∠GMN=∠P=∠N=90°， ∴四边形PGMN为矩形. ∵AB=AD，∠M=∠N=90°, ∠ADN+∠NAD=90°，∠NAD+∠BAM=90°， ∴∠ADN=∠BAM. 又∵AD=BA，∴Rt△ABM≌Rt△DAN（HL），∴AM=DN. 同理AN=DP. ∴AM+AN=DN+DP，即MN=PN． ∴四边形PGMN是正方形．
【变式2】已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°， CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F， 求证：四边形CFDE是正方形．
证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴DE=DF，∠DFC=90°，∠DEC=90°. 又∵∠ACB=90°， ∴四边形DECF是矩形. ∵DE=DF， ∴矩形DECF是正方形．
【考点3】正方形的综合应用
【例3】如图，BF平行于正方形ABCD的对角线AC,点E在BF上，且AE＝AC，CF∥AE，求∠BCF的度数．
解：过点A作AO⊥FB的延长线于点O， 连接BD，交AC于点Q， ∵四边形ABCD是正方形，∴BQ⊥AC. ∵BF∥AC，∴AO∥BQ, 且∠QAB=∠QBA=45°. ∴AO=BQ=AQ= AC， ∵AE=AC，∴AO= AE. ∴∠AEO=30°. ∵BF∥AC，∴∠CAE=∠AEO=30°. ∵BF∥AC，CF∥AE，∴∠CFE=∠CAE=30°. ∵BF∥AC，∴∠CBF=∠BCA=45°. ∴∠BCF=180°－∠CBF－∠CFE=180°－45°－30°=105°.
【变式3】已知：如图，在正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于点G，DG交OA于点F，求证：OE＝OF.
证明：在正方形ABCD中，对角线是垂直平分的，所以AO=OD， AC垂直BD,∠AFG=∠OFD（对顶角），DG垂直AE，所以∠AFG+∠GAF=∠AEO+∠GAF,得∠OFD=∠AEO，△DOF≌△AOE.所以OE=OF.
1．顺次连接正方形四边中点所得的四边形一定是( )A．正方形 B．矩形C．菱形 D．等腰梯形
3．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为( )
2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是( )A．当AB＝BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC＝90°时，它是矩形D．当AC＝BD时，它是正方形
4．如图，正方形OABC的两边OA，OC分别在x轴、 y轴上，点D(5，3)在边AB上，以C为中心，把 △CDB旋转90°，求旋转后点D的对应点D′的坐标．
解：∵点D（5，3）在边AB上， ∴BC=5，BD=5－3=2，①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′=2， 所以，D′(－2，0），②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2， 所以，D′(2，10），综上所述，点D′的坐标为(2，10）或(－2，0）．
5．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在 CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，求 CH 的长．
解：连接AC,CF， ∵正方形ABCD和正方形CEFG中， BC=1，CE=3， ∴AC= ，CF= ，∠ACD=∠GCF=45°. ∴∠ACF=90°. 由勾股定理，得AF= . ∵H是AF的中点, ∴CH= AF=12× = .
6．如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP＝BM，连接NP，BP.(1)求证：四边形BMNP是平行四边形；(2)线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．
解：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠C， 在△ABM和△BCP中， ∴△ABM≌△BCP（SAS）. ∴AM=BP，∠BAM=∠CBP.∵∠BAM+∠AMB=90°，∴∠CBP+∠AMB=90°.∴AM⊥BP. ∵将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN， ∴AM⊥MN，且AM=MN. ∴MN∥BP. ∴四边形BMNP是平行四边形.
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