初中数学5.2 二次函数的图象和性质课时练习

这是一份初中数学5.2 二次函数的图象和性质课时练习，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
二次函数——图像与性质姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 一、选择题（共14题）1、 如图，为二次函数 的图像，则下列说法： ① ； ② ； ③ ； ④ ，其中正确有（ ）个． A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 2、 抛物线 的顶点坐标是（　　　） A ． (1 ， 4) B ． (1 ， -4) C ． (-1 ， 4) D ． (-1 ， -4) 3、 设 A （﹣ 2 ， y 1 ）， B （ 1 ， y 2 ）， C （ 2 ， y 3 ）是抛物线 y ＝ x 2 ﹣ 2 x + c 上的三点， y 1 ， y 2 ， y 3 的大小关系为（　　　） A ． y 1 ＞ y 2 ＞ y 3 B ． y 1 ＞ y 3 ＞ y 2 C ． y 3 ＞ y 2 ＞ y 1 D ． y 3 ＞ y 1 ＞ y 2 4、 已知二次函数 ，当 时， 随 的增大而减小，则实数 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 5、 由二次函数 ，可知（　　） A ．其图象的开口向下 B ．其图象的对称轴为直线 x ＝﹣ 3 C ．其最小值为 1 D ．当 x ＜ 3 时， y 随 x 的增大而增大 6、 在同一平面直角坐标系中，一次函数 与二次函数 的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 7、 若抛物线经过原点，则m等于（    ）A.－1    B.1    C.3      D.3或－18、 要得到二次函数的图象，需将的图象（    ）A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位B．向右平移2个单位，再向上平移2个单位C．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位9、 函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1(a≠0)的图象可能是(    )10、 小强从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）；（2） ；（3）；（4） ； （5）. 你认为其中正确信息的个数有______A．2个    B．3个  C．4个       D．5个11、 抛物线的部分图像如图所示，若y>0，则的取值范围是(   )A．        B．  C．        D．12、 如图所示是二次函数图象的一部分，图象过点（3，0），二次函数图象对称轴为，给出四个结论：①；②；③；④，其中正确结论是（    ）A．②④     B．①③   C．②③     D．①④    13、 如图，抛物线 y ＝﹣ x 2 +1 与 x 轴交于 A ， B 两点， D 是以点 C (0 ，﹣ 3) 为圆心， 2 为半径的圆上的动点， E 是线段 BD 的中点，连接 OE ，则线段 OE 的最大值是（ ） A ． 2 B ． C ． 3 D ． 14、 在平面直角坐标系中，若点 P 的横坐标和纵坐标相等，则称点 P 为完美点．已知二次函数 的图象上有且只有一个完美点 ，且当 时，函数 的最小值为 最大值为 1 ，则 m 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 二、填空题（共3题）1、 若点 A （﹣ 2 ， y 1 ）和 B （ 1 ， y 2 ）是二次函数 图象上的两点，则 y 1 __ y 2 （填 “ ＜ ”“ ＝ ” 或 “ ＞ ” ）． 2、 若 m ， n （ m ＜ n ）是关于 x 的一元二次方程（ x ﹣ a ）（ x ﹣ b ）﹣ 3 ＝ 0 的两根，且 a ＜ b ，则 m ， n ， a ， b 的大小关系是 ___ （用 “ ＜ ” 连接）． 3、 已知抛物线 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c （ a ， b ， c 是常数）， a ＋ b ＋ c ＝ 0 ．下列四个结论： ① 抛物线与 x 轴一定有两个不同的交点； ② 若抛物线经过点（－ 1 ， 0 ），则 b ＝ 0 ； ③ 若 b ＝ c ，则方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 一定有根 x ＝－ 2 ； ④ 点 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 1 ， y 1 ）在抛物线上，若 0 ＜ a ＜ c ，则当 x 1 ＞ x 2 ＞ 1 时， y 1 ＞ y 2 ． 其中正确的是 ____________ （填写序号）． 三、解答题（共3题）1、 已知抛物线y＝4x2－11x－3．(1)求它的对称轴；(2)求它与x轴、y轴的交点坐标。2、 如图，已知二次函数的图象经过A(2，0)、B(0，-6)两点.  (1)求这个二次函数的解析式；  (2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积．(3) 若抛物线的顶点为D，在轴上是否存在一点P，使得⊿PAD的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．  (第24题)   3、 如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值． ============参考答案============一、选择题1、 B 【分析】根据开口方向可判断 ① ，根据对称轴可判断 ② ，根据特殊点可判断 ③ ，根据抛物线与 x 轴的交点可判断是． 【详解】解： ①∵ 抛物线开口向下， ∴ a <0 ，故 ① 错误； ②∵ 抛物线与 x 轴交点横坐标分别是 -1 和 3 ， ∴ ， ∴ ，故 ② 正确； ③∵ x =1 时， y >0 ， ∴ ，故 ③ 正确； ④ 抛物线与 x 轴有 2 个交点， ∴ ，故 ④ 错误． 故选 B ． 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数 y = ax 2 + bx + c （ a ≠0 ）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点、抛物线与 x 轴交点的个数确定． 2、 B 【分析】已知抛物线顶点式 ，顶点坐标是 ( h ， k ) ． 【详解】解： ∵ 抛物线 是顶点式， ∴ 顶点坐标是 (1 ， -4) ． 故选： B ． 【点睛】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标，熟练掌握抛物线 的顶点坐标为 ( h ， k ) 是解题的关键． 3、 B 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据各点到对称轴的距离的大小关系求解． 【详解】解： ∵ y ＝ x 2 ﹣ 2 x + c ， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线 x ＝ 1 ， ∵1 ﹣（﹣ 2 ）＞ 2 ﹣ 1 ＞ 1 ﹣ 1 ， ∴ y 1 ＞ y 3 ＞ y 2 ． 故选： B ． 【点睛】本题考查二次函数的函数值与对称轴之间的关联，了解知识点并知道如何利用二次函数的对称性比较函数值大小是解题关键． 4、 C 【分析】先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线 ，则当 时， 的值随 的增大而减小，由于 时， 的值随 的增大而减小，于是可得到实数 的取值范围． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线 ， ∵ ， ∴ 抛物线开口向下， ∴ 当 时， 的值随 的增大而减小， ∵ 时， 的值随 的增大而减小， ∴ ． 故选： C ． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数的图像与系数的关系．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 5、 C 【分析】由解析式可知 a ＞ 0 ，对称轴为 x =3 ，最小值为 0 ，在对称轴的左侧 y 随 x 的增大而减小，可得出答案． 【详解】由二次函数 ，可知： A ： ∵ a ＞ 0 ，其图象的开口向上，故此选项错误； B ． ∵ 其图象的对称轴为直线 x ＝ 3 ，故此选项错误； C ．其最小值为 1 ，故此选项正确； D ．当 x ＜ 3 时， y 随 x 的增大而减小，故此选项错误． 故选： C ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值及对称轴两侧的增减性是解题的关键．属于基础题目． 6、 A 【分析】先由一次函数 y = ax + b 图象的得到字母系数的正负，再与二次函数 图象相比较看是否一致． 【详解】解： A. 由直线可知， ，由抛物线可知，开口向上 ，对称轴 ，故该选项正确，符合题意； B. 由直线可知， ，由抛物线可知，，开口向上 ，对称轴 ，故该选项不正确，不符合题意； C. 由直线可知， ，由抛物线可知，，开口向上 ，对称轴 ，故该选项不正确，不符合题意； D. 由直线可知， ，由抛物线可知，，开口向上 ，对称轴 ，故该选项不正确，不符合题意． 故选： A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和一次函数的性质，掌握一次函数与二次函数图象的性质是解题的关键． 7、 C8、 D9、 C10、 C11、 B12、 B13、 B 【解析】 【分析】 连接 AD ，令 y ＝ 0 ，则 ，得 OE 是 △ ABD 的中位线，当 A 、 C 、 D 三点共线，且点 C 在 AD 之间时， AD 最大，即可求解． 【详解】 解：连接 AD ，如图， 令 y ＝ 0 ，则 ，解得 ，则 A （ −4 ， 0 ）， B （ 4 ， 0 ）， ∴ O 是线段 AB 的中点， ∵ E 是线段 BD 的中点， ∴ OE 为 △ ABD 的中位线， ∴ ， 设圆的半径为 r ，则 r ＝ 2 ， 当 A 、 C 、 D 三点共线，且点 C 在 AD 之间时， AD 最大，此时 OE 最大， ， ∴ 线段 OE 的最大值是 ． 故选： B ． 【点睛】 本题主要考查的是抛物线与 x 轴的交点以及三角形中位线的性质，解题的关键是根据圆的基本性质，确定 AD 的最大值． 14、 B 【分析】 根据完美点的概念令 ax 2 +4 x + c = x ，即 ax 2 +3 x + c =0 ，由题意方程有两个相等的实数根，求得 4 ac =9 ，再根据方程的根为 = ，从而求得 a =-1 ， c =- ，所以函数 y = ax 2 +4 x + c - =- x 2 +4 x -3 ，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据 y 的取值，即可确定 x 的取值范围． 【详解】 解：令 ax 2 +4 x + c = x ，即 ax 2 +3 x + c =0 ， 由题意， △=3 2 -4 ac =0 ，即 4 ac =9 ， 又方程的根为 = ， 解得 a =-1 ， c =- ， 故函数 y = ax 2 +4 x + c - =- x 2 +4 x -3 ， 如图，该函数图象顶点为（ 2 ， 1 ），与 y 轴交点为（ 0 ， -3 ），由对称性，该函数图象也经过点（ 4 ， -3 ）． 由于函数图象在对称轴 x =2 左侧 y 随 x 的增大而增大，在对称轴右侧 y 随 x 的增大而减小，且当 0≤ x ≤ m 时，函数 y =- x 2 +4 x -3 的最小值为 -3 ，最大值为 1 ， ∴2≤ m ≤4 ， 故选： B ． 【点睛】 本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合的数学思想得出是解题关键． 二、填空题1、 ＜ 【分析】本题需先根据已知条件得出二次函数的图象的对称轴为 y 轴，再根据图象上的点距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小． 【详解】 ∵ 二次函数 ， ∴ 该抛物线开口向下，且对称轴为 y 轴． ∵ A （﹣ 2 ， y 1 ）， B （ 1 ， y 2 ）在二次函数 的图象上， 点（﹣ 2 ， y 1 ）离对称轴的距离大于点（ 1 ， y 2 ）离对称轴的距离， ∴ y 1 ＜ y 2 ． 故答案为：＜． 【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能根据对称轴和二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键． 2、 a ＜ m ＜ n ＜ b 【分析】 m 、 n 可以看做函数 y = （ x - a ）（ x - b ）与直线 y =3 的两个交点的横坐标， a 、 b 可以看做函数 y = （ x - a ）（ x - b ）与 x 轴的两个交点的横坐标，由此画出函数图象，观察图象即可求解． 【详解】 解：如图： ∵ m ， n （ m ＜ n ）是关于 x 的一元二次方程（ x - a ）（ x - b ） -3=0 的两根， ∴ m 、 n 可以看做函数 y = （ x - a ）（ x - b ）与直线 y =3 的两个交点的横坐标， a 、 b 可以看做函数 y = （ x - a ）（ x - b ）与 x 轴的两个交点的横坐标， 由图像可知： a ＜ m ＜ n ＜ b ， 故答案为 a ＜ m ＜ n ＜ b ． 【点睛】 本题考查函数与方程思想，能将方程转化为函数与直线、 x 轴的交点问题是解题的关键． 3、 ② 【分析】由 即可判断 ① ；由题意得 a - b + c =0 ，解方程组可判断 ② ；由抛物线与 x 的交点可判断 ③ ；由 0 ＜ a ＜ c 可得抛物线开口向上， ＞ 1 ，从而可得抛物线与 x 轴两个交点在直线 x =1 的右侧，从而判断 ④ ． 【详解】解： ∵ 当 x =1 时， a + b + c =0 ， ∴ ， ∴ 抛物线与 x 轴一定有公共点， 且当 a ≠ c 时，抛物线与 x 轴一定有两个不同的公共点．故 ① 不正确； 当抛物线过（ -1 ， 0 ）时， a - b + c =0 ， ∵ a + b + c =0 ， 两式相减得， 2 b =0 ， ∴ b =0 ， 故 ② 正确， 当 b = c 时，由 a + b + c =0 得， a +2 c =0 ， ∴ a =-2 c ， 当 x =-2 时， ， 故 ③ 不正确， ∵0 ＜ a ＜ c ， ∴ ＞ 1 ，抛物线开口向上， ∴ 抛物线对称轴在点（ 1 ， 1 ）右侧， ∵ 对称轴 x =- 位置不确定， 跟对称轴的位置关系不确定， ∴ 和 的大小无法确定，故 ④ 不正确． 故答案为： ② ． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质． 三、解答题1、  (1)x=；(2)与x轴的交点坐标为(3，0)、(，0)，与y轴交于点(0，－3)  2、 解：(1)把A(2，0)、B(0，-6)代入    得:   ···················· 1分    解得························· 2分    ∴这个二次函数的解析式为.·········· 3分   (2) ∵该抛物线对称轴为直线  ············ 4分　    ∴点C的坐标为(4，0)              ∴AC=OC－OA=4－2=2························ 5分   ∴　·············· 6分(3) 存在在轴上取一点P，要使⊿PAD的周长（PA＋PD+AD）最小，因为AD定长，则要使PA＋PD最小．设点D关于轴对称的对称点，过点A、的直线与轴的交点便是点P．∵抛物线   ∴抛物线的顶点D的坐标为：（4, 2）················ 7分    ∴点D关于轴对称的对称点的坐标为：（－4, 2）········ 8分设过点A、的直线表达式为：，则　　　　解得：   ∴过点A、的直线表达式为：············ 9分当时,      ∴在轴上存在一点P 使得⊿PAD的周长最小········· 10分3、 （1）∵点A（－1，0）在抛物线y=x2 + bx－2上，∴× (－1 )2 + b× (－1) –2 = 0，解得b =∴抛物线的解析式为y=x2－x－2. y=x2－x－2= ( x2 －3x－ 4 ) =(x－)2－,∴顶点D的坐标为 (, －). （2）当x = 0时y = －2,    ∴C（0，－2），OC = 2。当y = 0时，  x2－x－2 = 0，   ∴x1 = －1, x2 = 4,  ∴B (4,0)∴OA = 1,    OB = 4,    AB = 5.∵AB2 = 25,    AC2 = OA2 + OC2 = 5,    BC2 = OC2 + OB2 = 20,∴AC2 +BC2 = AB2.       ∴△ABC是直角三角形.（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小。解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E.∵ED∥y轴, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM∴△C′OM∽△DEM. ∴∴，∴m =．解法二：设直线C′D的解析式为y = kx + n ,则，解得n = 2,  .∴ .∴当y = 0时， ， .  ∴.