2023届河南省开封市高三第一次模拟考试文科数学试题（解析版）

这是一份2023届河南省开封市高三第一次模拟考试文科数学试题（解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

开封市2023届高三年级第一次模拟考试
文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设命题，，则是（ ）
A. ， B. ，
C ， D. ，
3. 若是纯虚数，则实数（ ）
A. B. C. D.
4. 已知中，为边上一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A B. C. D.
6. 如图为甲，乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图，已知两位同学的平均成绩相等，则甲同学成绩的方差为（ ）

A. 4 B. 2 C. D.
7. 已知则x＋2y的最大值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
8. 设是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则满足的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 已知数列的前项和，若，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，则（ ）
A. 有最大值4 B. 有最大值3 C. 有最小值4 D. 有最小值3
11. 如图，在正方体中，点M，N分别是，的中点，则下述结论中正确的个数为（ ）

①∥平面； ②平面平面；
③直线与所成的角为； ④直线与平面所成的角为．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
12. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.若函数为“不动点”函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知点、、，则______.
14 已知函数，则______.
15. 3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6cm，下底直径为9cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为______cm．

16. 在数列中，，.记是数列的前项和，则______.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 同时从甲、乙、丙三个不同地区进口某种商品的数量分别为、、（单位：件），工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取件样品进行检测.
（1）求抽取件商品中，来自甲、乙、丙各地区的数量；
（2）设抽取的件商品分别用、、、、、、表示，现从中再随机抽取件做进一步检测.
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设为事件“抽取的件商品来自不同地区”，求事件发生的概率.
18. 在中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，已知，．
（1）求的值；
（2）若，求．
19. 如图，△ABC是正三角形，在等腰梯形ABEF中，，.平面ABC⊥平面ABEF，M，N分别是AF，CE的中点，.

（1）证明：平面ABC；
（2）求三棱锥N－ABC的体积.
20. 已知函数，.
（1）若是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围；
（2）当时，求在上最小值.
21. 图1所示的椭圆规是画椭圆的一种工具，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D为旋杆上的一点且在M，N两点之间，且.当滑标M在滑槽EF内做往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出椭圆，记该椭圆为.如图2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.

（1）求椭圆的方程；
（2）以椭圆的短轴为直径作圆，已知直线l与圆相切，且与椭圆交于A，B两点，记△OAB的面积为S，若，求直线l的斜率.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4－4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为曲线上一点的坐标．
（1）将曲线的参数方程化为普通方程；
（2）过点任意作两条相互垂直的射线分别与曲线交于点A，B，以直线的斜率为参数，求线段的中点的轨迹的参数方程，并化为普通方程．
[选修4－5：不等式选讲]
23. 已知函数．
（1）当时，求的最小值；
（2）若，时，对任意使得不等式恒成立，证明：．


开封市2023届高三年级第一次模拟考试
文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集的定义计算即可.
【详解】由题知，，
由交集的定义得，，
故选：C.
2. 设命题，，则是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】先仔细审题，抓住题目中的关键信息之后再动，原题让我们选择一个全称命题的否定，任意和存在是一对，要注意互相变化，大于等于的否定是小于.
【详解】，的否定是，.
故选：D
3. 若是纯虚数，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的除法化简复数，根据纯虚数的概念可得出关于实数的等式与不等式，即可得解.
【详解】为纯虚数，则，解得.
故选：D.
4. 已知中，为边上一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的线性运算即可求得.
【详解】在中，.
因为，所以.
所以.
故选：A
5. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由侧面展开图求得母线长后求得圆锥的高，再由体积公式计算．
【详解】设圆锥母线长为，高为，底面半径为，
则由得，所以，
所以．
故选：B．
6. 如图为甲，乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图，已知两位同学的平均成绩相等，则甲同学成绩的方差为（ ）

A. 4 B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由平均数相等求出，再求方差.
【详解】由可得，，即甲同学成绩的方差为
故选：B
7. 已知则x＋2y的最大值为（ ）
A 2 B. 3 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】作出可行域，根据简单线性规划求解即可．
【详解】作出可行域如图：

由可得：，
平移直线经过点时，有最大值，
由解得，
．
故选：C
8. 设是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则满足的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用的奇偶性、单调性可得，再解不等式可得答案.
【详解】因为是定义域为的偶函数，所以，
又在上单调递减，所以在上单调递增，
若，则，解得.
故选：D.
9. 已知数列的前项和，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用与的关系可求得的通项公式，进而可求得的值.
【详解】当时，；
当时，.
也满足，故对任意的，，
因此，.
故选：B.
10. 已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，则（ ）
A. 有最大值4 B. 有最大值3 C. 有最小值4 D. 有最小值3
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆方程求得，，，再由椭圆的定义可得，设，所以，利用对应函数单调性即可求解．
【详解】由椭圆可得，，，所以，，
因为点在上，所以，
设，，即，则
所以，
由对应函数单调性可知，
当时，有最大值，最大值为
即时，最大值为，
当时，有最小值，最小值为
即，时，最小值为，
综上所述：最小值为，最大值为
故选：A．
11. 如图，在正方体中，点M，N分别是，的中点，则下述结论中正确的个数为（ ）

①∥平面； ②平面平面；
③直线与所成的角为； ④直线与平面所成的角为．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量的性质，结合空间向量夹角公式逐一判断即可.
【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为，

，
由正方体的性质可知：平面，则平面的法向量为，
，因为，所以，而平面，
因此∥平面，故①对；
设平面的法向量为，，，
所以有，
同理可求出平面的法向量，
因为，所以，因此平面平面，故②正确；
因为，，
所以，
因为异面直线所成的角范围为，所以直线与所成的角为，故③正确；
设直线与平面所成的角为，
因为，平面的法向量为，
所以，
所以直线与平面所成的角不是，因此④错误，
一共有个结论正确，
故选：C
12. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.若函数为“不动点”函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意列出关于和的等式，然后分离参数，转化为两个函数有交点.
【详解】题意得若函数为不动点函数，则满足
，即，即
设，
令，解得
当时，，所以在上增函数
当时，，所以在上为减函数
所以
当时，
当时，
所以的图象为：

要想成立，则与有交点，所以，
对应区间为
故选：B.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知点、、，则______.
【答案】
【解析】
【分析】计算出向量、的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值.
【详解】由题意可得，，因此，.
故答案为：.
14. 已知函数，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用辅助角公式将函数化简，再代入计算可得.
【详解】∵函数，
即，
∴.
故答案为：.
15. 3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6cm，下底直径为9cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为______cm．

【答案】
【解析】
【分析】由已知，根据题意，以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设出双曲线方程，并根据离心率表示出之间的关系，由题意底直径为6cm，所以双曲线过点，下底直径为9cm，高为9cm，所以双曲线过点，代入双曲线方程即可求解方程从而得到喉部（最细处）的直径.
【详解】
由已知，以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，
设双曲线方程为，
由已知可得，，且，
所以，所以双曲线方程为，
底直径为6cm，所以双曲线过点，
下底直径为9cm，高为9cm，所以双曲线过点，代入双曲线方程得：
，解得： ，
所以喉部（最细处）的直径为 cm.
故答案为：.
16. 在数列中，，.记是数列的前项和，则______.
【答案】
【解析】
【分析】对为奇数、为偶数两种情况讨论，求出数列前项中奇数项和偶数项的和，相加可得出的值.
【详解】当为奇数时，，所以，数列的奇数项成以为首项，公差为的等差数列，
所以，；
当为偶数时，，
所以，.
因此，.
故答案为：.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 同时从甲、乙、丙三个不同地区进口某种商品的数量分别为、、（单位：件），工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取件样品进行检测.
（1）求抽取的件商品中，来自甲、乙、丙各地区的数量；
（2）设抽取的件商品分别用、、、、、、表示，现从中再随机抽取件做进一步检测.
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设为事件“抽取的件商品来自不同地区”，求事件发生的概率.
【答案】（1）分别为件、件、件
（2）（i）答案见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）利用分层抽样可计算得出所抽取的件商品中，来自甲、乙、丙各地区的数量；
（2）（i）利用列举法可列举出所有的基本事件；
（ii）列举出事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得的值.
【小问1详解】
解：由已知，从甲、乙、丙三个不同地区进口某种商品的数量之比为，
由于采用分层抽样的方法从中抽取件商品，
因此应从甲、乙、丙三个不同地区进口某种商品中分别抽取件、件、件.
【小问2详解】
解：（i）从抽取的件商品中随机抽取件商品的所有可能结果为：、、、
、、、、、、、、、、、、、
、、、、；
（ii）不妨设抽取的件商品中，来自甲地区的是、、，来自乙地区的是、，
来自丙地区的是、，
则从抽取的件商品中随机抽取的件商品来自相同地区的所有可能结果为：、
、、、、、、、、、、、、、、，共种，
所有的基本事件共种，故.
18. 在中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，已知，．
（1）求的值；
（2）若，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先由三角形内角和的关系将代换，再由正弦定理将边化角，求得角A，B的关系，解出的值；
（2）由第一问求得的的值，根据余弦定理公式展开列方程求解即可.
【小问1详解】
因为，
所以，
得，
因为，
由正弦定理，可得，
又，所以，
又因为A，B均为三角形内角，
所以，即，
又因为，即，
即，
又，得；
【小问2详解】
若，则，
由（1）知，
由余弦定理可得
，即，
所以或，
当时，，则，即为等腰直角三角形，
又因为，此时不满足题意，所以．
19. 如图，△ABC是正三角形，在等腰梯形ABEF中，，.平面ABC⊥平面ABEF，M，N分别是AF，CE的中点，.

（1）证明：平面ABC；
（2）求三棱锥N－ABC的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）2
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，，证明平面平面，原题即得证；
（2）取AB的中点O，连接OC，OE，设，由勾股定理即可求出，进而可求解三棱锥N－ABC的体积.
【小问1详解】
取CF的中点D，连接DM，DN，
∵M，N分别是AF，CE的中点，∴，，
又∵平面ABC，平面ABC，∴平面ABC.
又，∴，同理可得， 平面ABC.
∵平面MND，平面MND，，
∴平面平面ABC.
∵平面MND，∴平面ABC.
【小问2详解】
取AB的中点O，连接OC，OE.
由已知得OAEF且OA=EF，∴OAFE是平行四边形，∴OEAF且OE=AF
∵△ABC是正三角形，∴OC⊥AB，
∵平面ABC⊥平面ABEF，平面平面ABEF＝AB，∴OC⊥平面ABEF，
又平面ABEF，∴OC⊥OE.
设，，
在Rt△COE中，由，解得，即.
由题意∠FAB＝60°，M到AB的距离即为M到平面ABC的距离
又平面ABC，∴.

20. 已知函数，.
（1）若是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围；
（2）当时，求在上的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知可得：即可求解.
（2）结合导数和隐零点替换即可求解最值.
【小问1详解】
由已知可得：恒成立，
即恒成立，又的最小值为-2，所以，
则有.
【小问2详解】
当时，，
所以，
令，在上单调递减，
又因为，，
所以存在使得，即，从而
则有
x



正
负

递增
递减
则有最大值为：，
所以，
则在上单调递减，所以最小值为.
21. 图1所示的椭圆规是画椭圆的一种工具，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D为旋杆上的一点且在M，N两点之间，且.当滑标M在滑槽EF内做往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出椭圆，记该椭圆为.如图2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.

（1）求椭圆的方程；
（2）以椭圆的短轴为直径作圆，已知直线l与圆相切，且与椭圆交于A，B两点，记△OAB的面积为S，若，求直线l的斜率.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由，，即可得到椭圆的长半轴长和短半轴长，进而可求解.
（2）分类讨论直线斜率是否存在，当斜率不存在时不满足题意，故设，联立方程，表达出即可求解.
【小问1详解】
由题意可得，，
所以椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1，所以椭圆的方程为：.
【小问2详解】
若直线l的斜率不存在，依题意，，带入方程可得，
此时，所以直线l斜率一定存在，设，
l与圆相切，所以，即，
联立可得，
由得，，，
，
由得，即，即，解得或
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4－4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为曲线上一点的坐标．
（1）将曲线的参数方程化为普通方程；
（2）过点任意作两条相互垂直的射线分别与曲线交于点A，B，以直线的斜率为参数，求线段的中点的轨迹的参数方程，并化为普通方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据曲线的参数方程为（为参数），消去参数求解；
（2）设的斜率为，方程为，则的方程为：，分别与抛物线方程联立，求得A，B的坐标，再利用中点坐标求解.
【小问1详解】
解：因为曲线的参数方程为（为参数），
消去参数可得：，将点代入可得，
所以曲线的普通方程为：；
【小问2详解】
由已知得：，的斜率存在且不为0，
设的斜率为，方程为，则的方程为：，
联立方程可得：，
同理可得：，
设，所以
所以，
所以即为点轨迹的普通方程．
[选修4－5：不等式选讲]
23. 已知函数．
（1）当时，求的最小值；
（2）若，时，对任意使得不等式恒成立，证明：．
【答案】（1）2； （2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）分段求解的最小值和范围，即可求得结果；
（2）转化为，结合二次函数在区间上的最值，利用不等式，即可证明.
【小问1详解】
当时，，
当，，；
当，，；
当，，；
∴当时，的最小值为2．
【小问2详解】
，，当时，
可化为，
令，，，∴
∴，
当且仅当时取得等号；
又当时，，
故.