2022-2023学年安徽省怀宁县高三上学期12月第一次模拟考试数学试卷（解析版）

这是一份2022-2023学年安徽省怀宁县高三上学期12月第一次模拟考试数学试卷（解析版），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
怀宁县2022-2023学年高三上学期12月第一次模拟考试
数 学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知i是虚数单位，则复数z=2-i4+2i在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知等差数列的前项和为，,则使取得最小值时的值为( )
A．7 B．6 C．5 D．4
4．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，给出下列关于的结论：
①它的图象关于直线对称；②它的最小正周期为
③它的图象关于点对称；④它在上单调递增.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
4．新型冠状病毒疫情期间，位党员需要被安排到个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，其中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有( ) 种不同安排方法．
A.114 B.125 C.96 D.72
5.已知函数有且仅有两个不同的零点,则（　　）
A．当时,, B．当时,,
C．当时,, D．当时,,

6．在长度为1的线段上任取A、B两点，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，则的最小值是（ ）.
A．1 B． C．2 D．
10．已知椭圆的左右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，且，则椭圆的离心率=（　　）
A． B． C． D．
11．下列大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
12．若等边边长为2，边的高为，将沿折起，使二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．


第II卷 非选择题部分（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.
13．若曲线f（x）＝excosx﹣mx，在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为，则实数m＝_____．
14． 的展开式中的系数为__________.（用数字作答）
15．已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于交、两点，若，则的离心率为__________．
16．已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17—21题为必考题，每个考生都必须作答.22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17．（12分）已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝，n∈N*.
(1)求证：数列为等比数列．
(2)求数列{an}的通项公式.







18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
（1）求角；
（2）若，边上的中线，求边的长.
19．如图，四棱锥中，底面是边长为3的菱形，.面，且.在棱上，且，为棱的中点.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.



20．为研究一种新药的耐受性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现症状的试验，该试验的设计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个周期．假设每只白鼠给药后当天出现症状的概率均为，且每次给药后是否出现症状与上次给药无关．
（1）从试验开始，若某只白鼠连续出现次症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率；
（2）若在一个给药周期中某只白鼠至少出现次症状，则在这个给药周期后，对其终止试验，设一只白鼠参加的给药周期数为，求的分布列和数学期望．
21．（12分）已知函数 =x﹣1﹣alnx．
（1）若 ，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n，﹤m，求m的最小值．






22．已知点F是抛物线C：的焦点，P是其准线l上任意一点，过点P作直线PA，PB与抛物线C相切，A，B为切点，PA，PB与x轴分别交于Q，R两点．
（Ⅰ）求焦点F的坐标，并证明直线AB过点F；
（Ⅱ）求四边形ABRQ面积的最小值．











1．已知集合，集合，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由，
所以，
故选：B.
2．已知i是虚数单位，则复数z=2-i4+2i在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】
因为z=2-i4+2i=6-8i20=310-2i5,对应点为，在第四象限，选D.
3．已知，则a、b、c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题, ,且,.
故.
故选：C
4．随着社会发展对环保的要求，越来越多的燃油汽车被电动汽车取代，为了了解某品牌的电动汽车的节能情况，对某一辆电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：
记录时间
累计里程
（单位：公里）
平均耗电量（单位：公里）
剩余续航里程
（单位：公里）
2020年1月1日
5000
0.125
380
2020年1月2日
5100
0.126
246
（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，）
下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是（ ）
A．等于 B．到之间 C．等于 D．大于
【答案】D
【解析】
由题意可知：
故该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计值大于12.6.
故选：D.
5．函数的部分图象大致是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
根函数是奇函数，排除D，
根据x取非常小的正实数时，排除B，
是满足的一个值，故排除C，
故选：A．
6．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取一个灯球，则这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设大灯下缀2个小灯为个，大灯下缀4个小灯有个，
根据题意可得，解得，
则灯球的总数为个，
故这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为，故选B．
7．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
圆得到即圆心，半径，
设在圆上，则
，，
即，
所以实数的取值就是圆上的点到原点的距离取值，
且，，则，
因此实数的取值范围为
故选：D.
8．某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内应填（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
当，进入循环，
第一次循环后，．，
第二次循环后，．，
第三次循环后，．，
第四次循环后，．，
第五次循环后，．，满足条件，
应跳出循环，故判断框内应填写“？”．
故选：C．
9．已知等差数列的前项和为，,则使取得最小值时的值为( )
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【解析】
等差数列{an}中，
∵a4+a7+a10=9，S14﹣S3=77，
∴，
解得a1=﹣9，d=2．
∴
=n2﹣10n
=（n﹣5）2﹣25，
∴当n=5时，Sn取得最小值．
故选C．
10．已知椭圆的左右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，且，则椭圆的离心率=（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
椭圆的左右焦点分别为，过且斜率为的直线为
联立直线与椭圆方程
消后，化简可得
因为直线交椭圆于A，B，设
由韦达定理可得
且，可得，代入韦达定理表达式可得

即
化简可得
所以
故选：D．
11．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，给出下列关于的结论：
①它的图象关于直线对称；②它的最小正周期为
③它的图象关于点对称；④它在上单调递增.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
【答案】B
【解析】
将函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数的图象.
令，求得，不是最值，故的图象不关于直线对称，故①不正确；
它的最小正周期为，故②正确；
当时，，故的图象关于点对称，故③正确；
在上，，没有单调性，故④错误，
故选：B.
12．若等边边长为2，边的高为，将沿折起，使二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

由题意可知：三棱锥中有，，则
二面角的平面角为即有，
三棱锥的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，
设底面的外接圆圆心为，半径为，
三棱锥的外接球球心为，半径为，则
在等腰中有：，
且，，
解得：即的外接圆的半径，
因为外接球为三棱柱的外接球，根据对称性可得，
所以在中：，
即，
所以四面体的外接球的表面积
故选：C
第II卷 非选择题部分（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.
13．若曲线f（x）＝excosx﹣mx，在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为，则实数m＝_____．
【答案】2
【解析】
f′（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣m．
∴．
∴m＝2．
故答案为：2
14．已知数列满足，，令，则数列的前2020项的和__________．
【答案】
【解析】
，
是等比数列，，





故答案为：
15．世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称，新型病毒可能造成“持续人传人”.通俗点说就是存在A传B，B又传C，C又传D，这就是“持续人传人”.那么A、B、C就会被称为第一代、第二代、第三代传播者.假设一个身体健康的人被被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.95，0.9，0.85，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，试计算，小明参加聚会，仅和感染的10个人其中一个接触，感染的概率有多大_______.
【答案】0.915
【解析】
设事件A，B，C为和第一代、第二代、第三代传播者接触，事件D为小明被感染，则由已知得：p(A)=0.5，p(B)=0.3，p(C)=0.2，p(D|A)=0.95，p(D|B)=0.90，p(D|C)=0.85，从而，小明被感染的概率由概率公式可得：
p(D)=p(D|A)p(A)+p(D|B)p(B)+p(D|C)p(C)=0.95×0.5+0.90×0.3+0.85×0.2
=0.915
故答案为：0.915
16．已知双曲线的右焦点为，过作一条渐近线的垂线，垂足为，在第一象限，线段交双曲线于点，如果，则双曲线的离心率等于________.
【答案】
【解析】
由题意知，与渐近线 垂直，则斜率为，因为，
则直线方程为，与联立得 ，解得 ，
即，由，可得，因为在双曲线上，则
，整理得，，即.
故答案为: .
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
（Ⅰ），
，
由正弦定理可得：，，
，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，
，，由正弦定理得：，
由，故为锐角，，
．
【答案】（1）证明见解析；是，，，，；（2）.
【解析】
证明：（1）由堑堵的性质得：四边形是矩形，底面，平面，，
又，，平面，面，四棱锥为阳马，
四面体为鳖臑，四个面的直角分别是，，，.
（2），由（1）知阳马的体积：
，当且仅当时，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，
，，
设平面的法向量，则，取，得，
设平面的法向量，则，取，得，
设当阳马体积最大时，二面角的平面角为，则，
当阳马体积最大时，二面角的余弦值为.

19．已知动圆的圆心为点，圆过点且与被直线截得弦长为．不过原点的直线与点的轨迹交于两点，且．
（1）求点的轨迹方程；
（2）求三角形面积的最小值．
【答案】（1）．（2）16
【解析】
（1）设，圆的半径
圆到直线的距离
由于圆被直线截得弦长为，所以
即，化简得，
所以点的轨迹方程为．
（2）由知（或）
解法一：设直线的方程为
由消去得
即
，
由即，即
由于，所以，
所以解得
所以直线方程为恒过定点
三角形面积

当时，
所以三角形面积的最小值为16．
解法二：设

直线的方程为，则直线的方程为
由，解得即，
所以
同理可得
三角形面积

下面提供两种求最小值的思路：
思路1：利用基本不等式
，
当且仅当即时，
所以三角形面积的最小值为16．
思路2：用导数
不妨设，则，
当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增
所以当时，
所以三角形面积的最小值为16．20.（1）记一轮投球，甲命中为事件，乙命中为事件，相互独立，由题意，，甲的得分的取值为，，
，
，
（2）由（1），，
同理，经过2轮投球，甲的得分取值：记，，，则，，，，由此得甲的得分的分布列为：

－2
－1
0
1
2






∴，
∵，，
∴，，∴，
代入得：，∴，∴数列是等比数列，公比为，首项为，∴．
∴．
21.（Ⅰ），
当时，，，，无零点；
当时，，，单调递减，
又，，有唯一零点；
当时，，，又，，有唯一零点；综上所述：在有两个零点．
（Ⅱ）（i），
由（Ⅰ）知：在无极值点；在有极小值点，即为，在有极大值点即为，又，，，，可知，，同理在有极小值点，…，在有极值点．由得：，，，，，
而，，故有，

在是增函数，，
即；
（ii）由（i）知：，，
，由在递增得：，当为偶数时，不妨设，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，即，结论成立；
当为奇数时，设，
，，
从开始相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值，
即，结论也成立．综上，对一切，成立．

18.证明：（1）由堑堵的性质得：四边形是矩形，底面，平面，，
又，，平面，面，四棱锥为阳马，
四面体为鳖臑，四个面的直角分别是，，，.
（2），由（1）知阳马的体积：
，当且仅当时，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量，则，取，得，
设平面的法向量，则，取，得，设当阳马体积最大时，二面角的平面角为，则，当阳马体积最大时，二面角的余弦值为
19.（1）设，圆的半径
圆到直线的距离
由于圆被直线截得弦长为，所以
即，化简得，
所以点的轨迹方程为．
（2）由知（或）
设直线的方程为
由消去得即，
由即，即由于，所以，所以解得所以直线方程为恒过定点三角形面积当时，
20.（1）记一轮投球，甲命中为事件，乙命中为事件，相互独立，由题意，，甲的得分的取值为，，
，
，
（2）由（1），，
同理，经过2轮投球，甲的得分取值：记，，，则，，，，由此得甲的得分的分布列为：

－2
－1
0
1
2






∴，
∵，，
∴，，∴，
代入得：，∴，∴数列是等比数列，公比为，首项为，∴．
∴．
21.（Ⅰ），
当时，，，，无零点；
当时，，，单调递减，
又，，有唯一零点；
当时，，，又，，有唯一零点；综上所述：在有两个零点．
（Ⅱ）（i），
由（Ⅰ）知：在无极值点；在有极小值点，即为，在有极大值点即为，又，，，，可知，，同理在有极小值点，…，在有极值点．由得：，，，，，
而，，故有，

在是增函数，，


（2）取中点，连接，∵是的菱形，
∴，又面，
∴分别以、、为、、轴正方向建立空间直角坐标系如图所示.
则、、、、.
∴、.
设面的一个法向量，
则由可得，
不妨令，则解得，，
∴.
显然面的一个法向量，
∴，
∴二面角的余弦值为.

18．（1）证明见解析，；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式.
试题解析：（1）证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得.
（2）由（1）知：，所以，
因为当时，，所以，于是=，
所以.

19．（1）；（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）利用“正难则反”思想，计算一个给药周期也没有参加完的概率，则至少能参加一个给药周期的概率为；
（2）先计算出一个给药周期内至少出现次症状的概率，然后根据题目条件确定随机变量的可能取值，分别计算每一个值所对应的概率，列出分布列并求出数学期望.
【详解】
解：（1）设“一只白鼠至少能参加一个给药周期”为事件，则的对立事件为一个给药周期也没有参加完．
设一次给药出现症状为事件，则一个给药周期也没有参加完的概率为，
所以一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率为．
（2）设事件为“在一个给药周期中某只白鼠至少出现次症状”，
则，
则随机变量的取值为．
，
，
，
所以X的分布列为








所以随机变量的数学期望为．
【点睛】
本题考查概率的乘法公式及加法公式，考查随机变量的分布列及数学期望计算，难度一般.解答时易错点如下：
（1）每次给药相互独立；
（2）在解答第（2）小题时，注意若前一个给药周期能通过，才可以参加下一个给药周期.
20．（Ⅰ），证明见解析；（Ⅱ）3.
【分析】
（Ⅰ）解法一：，设，写出直线PA，PB的方程，然后由点P在PA，PB上，得到直线AB的方程求解；解法二：，设AB直线方程 为，联立，分别写出过A和过B的切线方程，求得点p的坐标，再由点P在直线上求解；
(II)由(I)知，代入C：得，通过韦达定理以及弦长公式，点到直线的距离求解三角形的面积，利用函数的单调性求解最小值即可．
【详解】
（Ⅰ）解法一：，
设，则即
同理．
又P在PA，PB上，则，
所以．
所以直线AB过焦点F．
解法二：，
设AB直线方程 为，
则由，得，
所以，
过A的切线方程为，
过B的切线方程为，
所以交点P的坐标为
因为P在直线上，所以，
所以即直线过焦点F．
(II)由(I)知，代入C：得，
则，
则，
P到AB的距离，所以，
由（Ⅰ）知，则，
所以，令，
则，
，则成立，
所以在上是增函数，
所以的最小值是3，即四边形ABRQ面积的最小值为3．