2022-2023学年变式题 2022年高考全国甲卷数学（文科）高考真题变式题（解析版）

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2022年高考全国甲卷数学（文科）高考真题变式题
【原卷 1 题】 知识点 交集的概念及运算

【正确答案】
A

1-1（基础） 集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

1-2（基础） 设集合，，则集合（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

1-3（基础） 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

1-4（巩固） 已知集合，那么集合（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

1-5（巩固） 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

1-6（巩固） 已知集合，集合，则
A. B. C. D.
【正确答案】 A

1-7（巩固） 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

1-8（提升） 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

1-9（提升） 已知集合M=x|x−1b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，点P为椭圆上一点，若∠F1PF2=，且F1PF2内切圆的半径为1，则C的方程为（　　）
A.=1 B.=1 C.+y2=1 D.=1
【正确答案】 A

11-7（提升） 已知椭圆，其左右焦点分别为，其离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，已知的内切圆的面积为，则该椭圆的长轴长为（ ）
A.2 B.4 C.6 D.12
【正确答案】 D

11-8（提升） 若用周长为24的矩形截某圆锥，所得截线是椭圆，且与矩形的四边相切．设椭圆在平面直角坐标系中的方程为，若的离心率为，则椭圆的方程为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

11-9（提升） 已知椭圆C：＝1(a>b>0)与直线y＝x＋3只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆C的方程为（ ）
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
【正确答案】 B

11-10（提升） 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，离心率为，点为第一象限内椭圆上一点，三角形的面积为，其内切圆的半径为，则的方程为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

【原卷 12 题】 知识点 比较指数幂的大小,对数函数单调性的应用,由基本不等式证明不等关系

【正确答案】
A

12-1（基础） 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

12-2（基础） 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

12-3（基础） ，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 C

12-4（基础） 已知，，，则正数，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

12-5（巩固） 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

12-6（巩固） 设，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

12-7（巩固） 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

12-8（巩固） 若a＝log54，b＝log43，c，则（　　）
A.b＞c＞a B.b＞a＞c C.a＞b＞c D.c＞b＞a
【正确答案】 C

12-9（提升） 设，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

12-10（提升） 实数，，分别满足，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

12-11（提升） 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

12-12（提升） 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 A

【原卷 13 题】 知识点 向量垂直的坐标表示

【正确答案】


13-1（基础） 已知向量．若，则______________．
【正确答案】 或

13-2（基础） 已知向量，，若，则______.
【正确答案】 1

13-3（基础） 已知向量，若，则______．
【正确答案】 1.

13-4（巩固） 已知向量，，若，则______．
【正确答案】

13-5（巩固） 已知向量，．若，则______．
【正确答案】

13-6（巩固） 已知向量，，，若，则______．
【正确答案】 3

13-7（提升） 已知向量，，若，则______．
【正确答案】

13-8（提升） 菱形中，，则实数的值为___________
【正确答案】 或或或4

13-9（提升） 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

13-10（提升） 已知向量，若，则______.
【正确答案】

【原卷 14 题】 知识点 由圆心（或半径）求圆的方程

【正确答案】


14-1（基础） 已知半径为3的圆的圆心到y轴的距离等于半径，圆心在直线x-3y＝0上，则此圆的方程为______．
【正确答案】 或

14-2（基础） 圆过点，，则周长最小的圆的方程为______．
【正确答案】

14-3（基础） 圆心在直线上，且与轴相切于点的圆的标准方程为___________.
【正确答案】

14-4（巩固） 圆心在直线上，且过点､的圆的标准方程为___________.
【正确答案】

14-5（巩固） 圆心为，且截直线所得弦长为的圆的方程为___________.
【正确答案】

14-6（巩固） 已知△的三个顶点分别是点A（4，0），，，则△的外接圆的方程为______．
【正确答案】

14-7（巩固） 经过，两点，并且在x轴上截得的弦长等于6，则这个圆的方程是______．
【正确答案】 或

14-8（提升） 在平面直角坐标系xOy中，A为直线上在第一象限内的点，，以线段AB为直径的圆C（C为圆心）与直线l相交于另一个点D，，则圆C的方程为_________.
【正确答案】

14-9（提升） 已知圆C的圆心为C(1，1)，且经过直线上的点P，则周长最小的圆C的方程是________________.
【正确答案】

14-10（提升） 已知圆E的圆心为，直线：，：与圆E分别交于点A，B与C，D，若四边形ABCD是正方形，则圆E的标准方程为________．
【正确答案】

【原卷 15 题】 知识点 求双曲线的离心率或离心率的取值范围

【正确答案】


15-1（基础） 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率是____.
【正确答案】

15-2（基础） 已知双曲线的焦点到它的渐近线的距离为，则C的离心率为______．
【正确答案】

15-3（基础） 已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则其离心率为_________．
【正确答案】

15-4（基础） 已知双曲线的右顶点为.若到的一条渐近线的距离为，则的离心率为___________.
【正确答案】

15-5（巩固） 已知点和分别是双曲线的左、右焦点，过作双曲线C一条渐近线的垂线，垂足为H，且，则双曲线C的离心率为______．
【正确答案】 或

15-6（巩固） 已知直线与双曲线无交点，则该双曲线离心率的最大值为_________.
【正确答案】

15-7（巩固） 若过点作斜率为1的直线与双曲线的两条渐近线交点M，N，若，则此双曲线C的离心率是___________．
【正确答案】

15-8（巩固） 已知为双曲线的右焦点，过点作的渐近线的垂线，垂足为，且满足（为坐标原点），则双曲线的离心率为______
【正确答案】 或

15-9（提升） 已知双曲线的左焦点为，过且与双曲线的一条渐近线垂直的直线与另一条渐近线交于点，交轴于点，若为的中点，则双曲线的离心率为__________．
【正确答案】

15-10（提升） 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点为的渐近线与圆的一个交点，为坐标原点，若直线与的右支交于点，且，则双曲线的离心率为______．
【正确答案】

15-11（提升） 在平面直角坐标系xOy中，F为双曲线C：的一个焦点，过F的直线l与C的一条渐近线垂直．若l与C有且仅有一个交点，则C的离心率为______．
【正确答案】

15-12（提升） 已知双曲线C：（），以C的焦点为圆心，3为半径的圆与C的渐近线相交，则双曲线C的离心率的取值范围是________________．
【正确答案】

【原卷 16 题】 知识点 余弦定理解三角形,基本（均值）不等式的应用

【正确答案】


16-1（基础） 在中，角，，的对边分别为，，，，若的面积为，则周长的最小值为______________．
【正确答案】 6

16-2（基础） 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2，b2，c2成等差数列，则的最小值为_____.
【正确答案】

16-3（基础） 已知的面积为，则边长的最小值为__________.
【正确答案】

16-4（巩固） 已知中，，若，则周长的最大值为__________.
【正确答案】 或

16-5（巩固） 已知分别为锐角的内角的对边，若，则面积的最大值为_________．
【正确答案】

16-6（巩固） 在中，，已知BC边上的中线，则面积的最大值为______.
【正确答案】

16-7（巩固） 在△中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则当角C取最大值时，△的面积为__________．
【正确答案】

16-8（提升） 2022年3月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于构建更高水平的全民健身公共服务体系的意见》，再次强调持续推进体育公园建设．如图，某市拟建造一个扇形体育公园，其中，千米．现需要在，OB，上分别取一点D，E，F，建造三条健走长廊DE，DF，EF，若，，则的最大值为______千米．

【正确答案】 #

16-9（提升） 在中，内角、、的对边分别为、、，，，且，则的最大值为___________.
【正确答案】
16-10（提升） 如图所示，在平面四边形中，已知，则的最大值为_______．

【正确答案】 56

16-11（提升） 在如图所示的四边形区域ABCD中，，，，现园林绿化师计划在区域外以AD为边增加景观区域ADM，当时，景观区域ADM面积的最大值为__________．

【正确答案】

【原卷 17 题】 知识点 计算古典概型问题的概率,卡方的计算

【正确答案】


17-1（基础） 2022年北京冬奥组委会发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会已签约200家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式.为了解该200家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对200家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有100家，余下的企业中，每天销售额不足30万元的企业占，统计后得到如下列联表：

销售额不少于30万元
销售额不足30万元
合计
线上销售时间不少于8小时
75

100
线上销售时间不足8小时



合计


200

1、完成上面的列联表；
2、根据列联表，判断能否有99.5%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关.
附：

0.1
0.05
0.01
0.005

2.706
3.841
6.635
7.879

【正确答案】 1、答案见解析 2、有99.5%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关

17-2（基础） 如今大家对运动越来越重视，讨论也越来越多，时常听到有人说“有氧运动”和“无氧运动”，有氧运动主要的作用是健身，而无氧运动主要的作用是塑形，一般的健身计划都是有氧运动配合无氧运动以达到强身健体的目的.某健身机构对其60位会员的健身运动进行了一次调查，统计发现有氧运动为主的有42人，30岁以下无氧运动为主的有12人，占30岁以下调查人数的.
1、根据以上数据完成如下列联表；

有氧运动为主
无氧运动为主
总计
30岁以下

12

30岁及以上



总计
42

60

2、能否有的把握认为运动方式与年龄有关？
附：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式：，其中.
【正确答案】 1、答案见解析 2、没有的把握认为运动方式与年龄有关

17-3（基础） 为了助力北京2022年冬奥会、冬残奥会，某校组织全校学生参与了奥运会项目知识竞赛. 为了解学生的竞赛成绩(竞赛成绩都在区间内)的情况，随机抽取n名学生的成绩，并将这些成绩按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.其中，，三组的频率成等比数列，且成绩在的有16人.

1、求n的值；
2、在这n名学生中，将成绩在的学生定义为“冬奥达人”，成绩在的学生定义为“非冬奥达人”.请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“是否是冬奥达人与性别有关”？并说明你的理由.

男生
女生
合计
冬奥达人
30


非冬奥达人

36

合计



参考公式：，其中.
临界值表：

0.050
0.025
0.010
0.001

3.841
5.024
6.635
10.828
【正确答案】 1、
2、列联表见解析，有，理由见解析

17-4（巩固） 某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业"项目，并且在甲､乙两个学校的高一学生中做用户测试，经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们“向量数量积”知识点掌握情况进行调查，样本调查结果如下表：

甲校
乙校
使用AI作业
不使用AI作业
使用AI作业
不使用AI作业
基本掌握
32
28
50
30
没有掌握
8
14
12
26
试用频率估计概率，并假设每位学生是否掌握“向量数量积”'知识点相互独立.
1、从两校高一学生中随机抽取1人，估计该学生对“向量数量积”知识点基本掌握的概率；
2、完成下面列联表，并分析是否有的把握认为基本掌握“向量数量积”知识点与使用AI作业有关

使用AI作业
不使用AI作业
合计
基本堂握



没有掌握



合计



附：














【正确答案】 1、0.7 2、表格见解析，有的把握认为基本掌握“向量数量积"知识点与使用AI作业有关

17-5（巩固） 2019年10月1日，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式在北京天安门广场隆重举行，央视对阅兵式进行了直播.为了解市民在直播中观看阅兵式的情况，某机构随机抽取了800名市民，数据统计如下表：

观看阅兵式
未观看阅兵式
合计
男
300
200
500
女
200
100
300
合计
500
300
800
（1）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否观看阅兵式与性别有关”？
（2）经统计，抽取的500名观看阅兵式的市民中有高三学生5名，其中3名男生，2名女生，若从这5名高三学生中随机抽取两人接受采访，求抽取的两名学生性别不同的概率.
附表及公式：，其中.
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【正确答案】 （1）不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否观看阅兵式与性别有关”（2）

17-6（巩固） 某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，对我校80名学生调查得到部分统计数据如下表，记为事件：“学习成绩优秀且不使用手机”；为事件：“学习成绩不优秀且不使用手机”，且已知事件的频率是事件的频率的2倍.

不使用手机
使用手机
合计
学习成绩优秀人数

12

学习成绩不优秀人数

26

合计



1、求表中的值，并补全表中所缺数据；
2、运用独立性检验思想，判断是否有的把握认为中学生使用手机对学习有影响？
参考数据：，其中.












【正确答案】 1、，表格答案见解析；
2、有的把握认为中学生使用手机对学习有影响.

17-7（巩固） 大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如下表所示：

喜欢盲拧
不喜欢盲拧
总计
男
23

30
女

11

总计


50
表（1）
并邀请其中20名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如下表（2）所示.
成功完成时间（分钟）




人数
10
4
4
2
表（2）
（Ⅰ）将表（1）补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？
（Ⅱ）现从表（2）中成功完成时间在和这两组内的6名男生中任意抽取2人对他们的盲拧情况进行视频记录，求2人成功完成时间恰好在同一组内的概率.
附参考公式及参考数据：，其中.

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【正确答案】 （Ⅰ）能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢盲拧与性别有关；（Ⅱ）.

17-8（提升） 某手机商家为了更好地制定手机销售策略，随机对顾客进行了一次更换手机时间间隔的调查.从更换手机的时间间隔不少于3个月且不超过24个月的顾客中选取350名作为调查对象，其中男性顾客和女性顾客的比为，商家认为一年以内（含一年）更换手机为频繁更换手机，否则视为未频繁更换手机.现按照性别采用分层抽样的方法从中抽取105人，并按性别分为两组，得到如下表所示的频数分布表：
事件间隔（月）







男性
x
8
9
18
12
8
4
女性
y
2
5
13
11
7
2
（1）计算表格中x，y的值；
（2）若以频率作为概率，从已抽取的105名且更换手机时间间隔为3至6个月（含3个月和6个月）的顾客中，随机抽取2人，求这2人均为男性的概率；
（3）请根据频率分布表填写列联表，并判断是否有以上的把握认为“频繁更换手机与性别有关”.

频繁更换手机
未频繁更换手机
合计
男性顾客



女性顾客



合计



附表及公式：
P（）
0.100
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828

【正确答案】 （1），（2）（3）填表见解析；没有以上的把握认为“频繁更换手机与性别有关”

17-9（提升） 随着经济的高速发展，南昌市居住环境及人文环境进一步得到改善.目前已基本依水建成赣江西岸绿道､赣江东岸绿道､乌沙河绿道､玉带河桃花河绿道､抚河故道绿道､幸福渠绿道､艾溪湖瑶湖绿道等城市主干绿道.新建提升20个公园，精心打造100条景观路，织起一张“四横七纵六环”的“绿道网”.另外，位于凤凰洲赣江边的省文化中心的建成已成为展示江西历史文化的地标建筑.省文化中心由省博物馆､省图书馆､省科技馆三馆组成，三个主体建筑由北向南排列，分别隐喻历史､现在与未来，反映出文化发展的路径，描述了探索知识的故事与旅程.作为江西省文化的新地标，城市的新客厅，成为加快推动江西文化强省建设的一个亮丽缩影，成为丰富江西省人民群众精神文化需求的重要阵地.

1、相比老年人而言，青年人更喜欢在闲暇时间选择去省文化中心参观､学习.已知某区青年人的男女比例为3：2，现采用分层抽样的方法从中抽取100名作为样本，对这100位青年是否在闲暇时间去省文化中心进行统计，得条形图如下所示.


男
女
合计
去省文化中心



不去省文化中心



合计



完成下列2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为青年人选择去省文化中心与性别有关？
2、现有甲､乙､丙､丁四位青年人，他们每个周末都选择去省文化中心，将他们想去的场馆情况汇总如下：
场馆
图书馆
科技馆
博物馆
意向
甲､乙､丙
甲､乙､丁
乙､丙､丁
若每人只能从已登记的选择意向中随机选取一个场馆，且每个场馆至多有两人选择，求甲､乙两人选择去同一个场馆的概率.
附：

0.100
0.050
0.025
0.010
，
其中.

2.706
3.841
5.024
6.635
【正确答案】 1、列联表答案见解析，没有90%的把握认为青年人选择去省文化中心与性别有关
2、

17-10（提升） 江西新高考改革自2021年执行，在取消文理科后实行“”考试模式，即除语数外三科，学生需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科任选3科参加高考．上饶市某学校为了解学生对全理（选择物理、化学、生物）的选择是否与性别有关，从该校高一年级的500名男生和400名女生中按比例共抽取90人进行模拟选科，经统计，选择全理的人数比不选全理的人数多10人．

选择全理
不选择全理
合计
男生

15

女生



合计



1、完成上面的列联表并判断是否有99.5%的把握认为选择全理与性别有关；
2、为了解学生选科的理由，随机选取了男生4名，女生2名进行座谈，再从中抽取2名代表作问卷调查，求至少抽到一名女生的概率．
附：，其中．

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【正确答案】 1、填表见解析；有99.5%的把握认为选择全理与性别有关
2、

【原卷 18 题】 知识点 由递推关系证明数列是等差数列,求等差数列前n项和的最值,等比中项的应用,利用an与sn关系求通项或项

【正确答案】
（1）证明见解析；    
（2）-78

18-1（基础） 已知数列的前项和为.
（1）求出的通项公式；
（2）求数列前n项和最小时n的取值
【正确答案】 （1）；（2）当或时，数列前n项和取得最小值.

18-2（基础） 记为公差不为0的等差数列的前n项和，已知，且，，成等比数列．
1、求数列的通项公式；
2、求，并求的最小值．
【正确答案】 1、
2、，最小值为

18-3（基础） 设等比数列的公比，且满足，，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：对任意正整数n，均成立，求数列的前n项和的最大值.
【正确答案】 （1）；（2）49.

18-4（巩固） 公差非零的等差数列的前n项和为，若是，的等比中项，．
1、求；
2、数列为等差数列，，数列的公差为，数列的前n项和为，是否存在最大或者最小值？如果存在求出最大或者最小值，如果不存在请说明理由．
【正确答案】 1、60 2、存在最大值66

18-5（巩固） 已知等比数列的各项均为正数，且
1、求数列的通项公式；
2、设，求数列的最大项.
【正确答案】 1、；
2、.

18-6（巩固） 在数列{an}中，（n∈N*），.
1、求；
2、设为的前n项和，求的最小值．
【正确答案】 1、
2、当n为偶数时，取得最小值为－242；当n为奇数时，取最小值为－243

18-7（巩固） 已知数列的前n项积.
1、求数列的通项公式；
2、记，数列的前n项为，求的最小值.
【正确答案】 1、 2、

18-8（提升） 已知正项数列的前项和为，且.
（1）求；
（2）求证：数列是等差数列.
（3）令，问数列的前多少项的和最小？最小值是多少？
【正确答案】 （1），；（2）证明见解析；（3）数列的前9或前10项的和最小，最小值为

18-9（提升） 设数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和的最大值及此时的值；
（3）求数列的前项和．
【正确答案】 （1）； （2）当，取得最大值； （3）.

18-10（提升） 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答．
设等差数列的前n项和为，且,．
1、求的最小值；
2、若数列满足____________，求数列的前10项和．
【正确答案】 1、 2、答案见解析

【原卷 19 题】 知识点 证明线面平行,求组合体的体积

【正确答案】


19-1（基础） 如图所示，在直三棱柱中，D是的中点．

1、证明：平面；
2、设，求三棱锥的体积．
【正确答案】 1、证明见解析 2、.

19-2（基础） 已知四棱锥中，，平面，点为三等分点（靠近点），，，.

1、求证：平面；
2、求三棱锥的体积．
【正确答案】 1、证明见解析 2、

19-3（基础） 如图，已知在长方体中，，，点E是的中点.

1、求证：平面EBD；
2、求三棱锥的体积.
【正确答案】 1、证明见解析 2、1

19-4（巩固） 如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，梯形满足，，，为的中点．

1、求证：平面；
2、若，求三棱锥的体积．
【正确答案】 1、证明见解析； 2、

19-5（巩固） 如图所示，在直三棱柱中，

1、当P为的中点时，求证：平面；
2、当时，求三棱锥的体积.
【正确答案】 1、证明见解析 2、

19-6（巩固） 如图，在三棱柱中，侧棱平面，，，，，点是的中点．

1、求证：平面；
2、求三棱锥的体积．
【正确答案】 1、证明见解析； 2、4.

19-7（提升） 如图，在四棱柱中，点M是线段上的一个动点，E，F分别是的中点.

1、设G为棱上的一点，问：当G在什么位置时，平面平面？
2、设三棱锥的体积为，四棱柱的体积为，求.
【正确答案】 1、G为中点时，平面平面； 2、

19-8（提升） 已知正三棱柱中，，是的中点.

1、求证：平面；
2、点是直线上的一点，当与平面所成的角的正切值为时，求三棱锥的体积．
【正确答案】 1、证明见解析 2、

19-9（提升） 如图，等腰梯形ABCD中，AD＝DC＝BC＝2，AB＝4，E为AB的中点，将△ADE沿DE折起、得到四锥P－DEBC，F为PC的中点，M为EB的中点

1、证明：FM平面PDE；
2、证明：DE⊥PC；
3、当四棱锥P－DEBC的体积最大时，求三棱锥E－DCF的体积．
【正确答案】 1、证明见解析； 2、证明见解析； 3、.

【原卷 20 题】 知识点 已知切线（斜率）求参数,两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题,函数单调性、极值与最值的综合应用

【正确答案】


20-1（基础） 已知函数，，曲线与曲线在处的切线互相平行．
（1）求的值；
（2）求证：在上恒成立．
【正确答案】 （1）；（2）证明见解析．

20-2（基础） 已知函数， ．
（1）若与的图象在公共点处有相同的切线，求切线方程；
（2）若为整数，且恒成立，求的最小值.
【正确答案】 （1）；（2）2

20-3（基础） 设a，b∈R，|a|≤1.已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）=exf（x）.
1、求f（x）的单调区间；
2、已知函数y=g（x）和y=ex的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，
（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0；
（ii）若关于x的不等式g（x）≤ex在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围.
【正确答案】 1、单调递增区间为（﹣∞，a），（4﹣a，+∞），单调递减区间为（a，4﹣a）
2、（i）证明见解析；（ii）[﹣7，1]

20-4（巩固） 已知函数与在公共点处有相同的切线．
1、求a，b的值；
2、当时．恒成立，求实数k的取值范围．
【正确答案】 1、，；
2、.

20-5（巩固） 已知函数， .
（1）若函数与在x=1处的切线平行，求函数在处的切线方程；
（2）当时， 若恒成立，求实数a的取值范围.
【正确答案】 （1）；（2）.

20-6（巩固） 已知函数.
(1)若函数与函数在处有相同的切线,求实数的值;
(2)当时, ,求实数的取值范围.
【正确答案】 （1）.
（2）.

20-7（提升） 已知定义在正实数集上的函数，（其中e为常数，）,若这两个函数的图象有公共点，且在该点处的切线相同．
（1）求实数的值；
（2）当时, 恒成立，求实数的取值范围.
【正确答案】 （1）（2）实数的取值范围是

20-8（提升） 设函数，
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，曲线与有两条公切线，求实数的取值范围；
（3）若对恒成立，求实数的取值范围.
【正确答案】 （1）的单调递增区间为，单调递减区间为（2） （3）

20-9（提升） 已知函数，．
当时，，求实数a的取值范围；
当时，曲线和曲线是否存在公共切线？并说明理由．
【正确答案】 （1）；（2）存在公共切线，理由详见解析.

【原卷 21 题】 知识点 抛物线的焦半径公式,根据抛物线上的点求标准方程,抛物线中的参数范围问题,抛物线中的定值问题

【正确答案】


21-1（基础） 已知抛物线C∶y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，三角形AOB(点O为坐标原点)的面积为2.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设不经过原点的直线与抛物线交于P，Q两点，设直线OP，OQ的倾斜角分别为α和β，证明：当时，直线恒过定点.
【正确答案】 （1）；（2）证明见解析.

21-2（基础） 已知抛物线：的焦点为，为抛物线上一点，为坐标原点，的外接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的周长为.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点，设不垂直于轴的直线与抛物线交于不同的两点，，若，证明直线过定点并写出定点坐标.
【正确答案】 （1）（2）证明见解析,恒过定点

21-3（基础） 已知抛物线，点F为其焦点，且点F到其准线l的距离为4.
1、求抛物线T的方程；
2、设l与x轴的交点为A，过x轴上的一个定点的直线m与抛物线T交于B，C两点.记直线AB，AC的斜率分别为，，若，求直线m的方程.
【正确答案】 1、 2、

21-4（巩固） 已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在第一象限且为抛物线C上一点，点N（5，0）在点F右侧，且△MNF恰为等边三角形．
（1）求C的方程；
（2）若直线l：x＝ky+m与C交于A，B两点，∠AOB＝120°（其中O为坐标原点），求实数m的取值范围．
【正确答案】 （1）；（2）.

21-5（巩固） 已知抛物线，点为其焦点，点、在抛物线上，且直线过点，.
1、求抛物线的方程；
2、过焦点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点、和、，点、分别为、的中点，求面积的最小值.
【正确答案】 1、； 2、.

21-6（巩固） 已知抛物线C：，F为抛物线C的焦点，是抛物线C上点，且；
1、求抛物线C的方程；
2、过平面上一动点作抛物线C的两条切线PA，PB（其中A，B为切点），求的最大值.
【正确答案】 1、； 2、.

21-7（巩固） 设点，动圆经过点F且和直线相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线E．
1、求曲线E的方程；
2、过点F的直线交曲线E于A，B两点，另一条与直线平行的直线交x轴于点M，交y轴于点N，若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，求点M的横坐标．
【正确答案】 1、 2、

21-8（提升） 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到点的距离为．
1、求抛物线的方程及点的坐标；
2、设斜率为的直线过点且与抛物线交于不同的两点、，若且，求斜率的取值范围．
【正确答案】 1、抛物线方程为，点的坐标为 2、

21-9（提升） 设抛物线C：（）的焦点为F，抛物线C上一点A的横坐标为，过点A作抛物线C的切线，与x轴交于点D，与y轴交于点E，与直线l：交于点M.当时，.
1、求抛物线C的方程；
2、若B为y轴左侧抛物线C上一点，过B作抛物线C的切线，与直线交于点P，与直线l交于点N，求面积的最小值，并求取到最小值时的值.
【正确答案】 1、 2、,

21-10（提升） 已知抛物线的焦点为F，A，B是该抛物线上不重合的两个动点，O为坐标原点，当A点的横坐标为4时，．
1、求抛物线C的方程；
2、以AB为直径的圆经过点，点A，B都不与点P重合，求的最小值．
【正确答案】 1、； 2、11.

21-11（提升） 如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于第一象限的点，且，过点（不同于焦点F）的直线与抛物线E交于A，B，过A作抛物线的切线交y轴于M，过B作的平行线交y轴于N．

1、求抛物线方程及直线的斜率；
2、记为与y轴围成三角形的面积，是否存在实数使，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由．
【正确答案】 1、； 2、存在；

【原卷 22 题】 知识点 求直线与抛物线的交点坐标,普通方程与极坐标方程的互化,参数方程化为普通方程

【正确答案】


22-1（基础） 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
1、当时，判断曲线与曲线的位置关系：
2、当时，求曲线与曲线的公共点的直角坐标．
【正确答案】 1、相交 2、

22-2（基础） 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线E的极坐标方程为．
1、求曲线C的普通方程和直线E的直角坐标方程；
2、求曲线C与直线E交点的极坐标．
【正确答案】 1、曲线C的普通方程为，直线E的直角坐标方程为；
2、，

22-3（基础） 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
1、求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
2、若直线与曲线C相交于A，B两点，求｜AB｜．
【正确答案】 1、， 2、

22-4（巩固） C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ.
1、把C1的参数方程化为极坐标方程；
2、求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ0，可得f（x）≤1.
又∵f（x0）=1，f'（x0）=0，
故x0为f（x）的极大值点，由（1）知x0=a.
另一方面，由于|a|≤1，故a+1