2022-2023学年甘肃省兰州市第五十八中学（兰炼一中）高三上学期第一次模拟考试数学（理科）试卷

这是一份2022-2023学年甘肃省兰州市第五十八中学（兰炼一中）高三上学期第一次模拟考试数学（理科）试卷，共15页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上， 直线l1， eq \f等于等内容，欢迎下载使用。

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兰州市第五十八中学（兰炼一中）2022-2023学年度第一次模拟考试
数学试卷（理科）
考试时间：120分钟；总分150分
题号
一
二
三
总分
得分




注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、 单选题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知全集U＝{x∈Z|0 A．M∩(∁UN)　　 B．∁U(M∩N)
C．∁U(M∪N)　　 D．(∁UM)∩N
2． 若i是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为(　 　)
A．－　　 B．　　
C．i　　 D．－i
3． 直线l1：ax＋2y－1＝0与l2：x＋(a－1)y＋a2＝0平行，则a＝(　 　)
A．－1　　 B．2
C．－1或2　　 D．0或1
4． 已知m，n是直线，α是平面，且m∥α，则下列结论中正确的是(　 　)
A．∀n⊂α，都有m∥n B．∃n⊂α，使m⊥n
C．∀n∥m，都有n∥α D．∃n⊥α，使m∥n
5． 等于(　 　)
A．－　　 B．　　
C．　　 D．1
6．关于x，y的不等式组表示的平面区域的面积为(　 　)
A．3　　 B．　　
C．2　　 D．
7． 已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，Sn是它的前n项和．若a2a6＝4，且a4＋2a7＝，则S5＝(　 　)
A．29　　 B．30　　
C．31　　 D．32
8． 如图所示，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD＝3DC.若＝λ＋μ，则＝(　 　)

A．　　 B．　　
C．2　　 D．
9．已知函数f(x)＝2sin(πx＋1)，若对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为(　 　)
A．2　　 B．1　　
C．4　　 D．
10.从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有(　 　)
A．20种　　 B．50种　　
C．80种　　 D．100种
11． 已知双曲线－＝1(b>0)右焦点为F1，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，抛物线y2＝－16x的焦点为F，若△ABF为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是(　 　)
A．　　 B．(，＋∞)
C．(1,3)　　 D．
12． 已知f(x)是偶函数，在(－∞，0)上满足xf′(x)>0恒成立，则下列不等式成立的是(　 　)
A．f(－3)f(－5)
C．f(－5) 第II卷（非选择题）
二、填空题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上．）
13．已知直线y＝x与函数f(x)＝的图象恰有三个公共点，则实数m的取值范围是 ．
14． 已知向量a，b满足|a|＝5，|a－b|＝6，|a＋b|＝4，则向量b在向量a上的投影为 ．
15.袋中装有3个红球2个白球，从中随机取球，每次一个，直到取得红球为止，则取球次数ξ的数学期望为　 .
16．数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an＝ ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．(12分)第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：
收看时间
(单位：小时)
[0,1)
[1,2)
[2,3)
[3,4)
[4,5)
[5,6]
收看人数
14
30
16
28
20
12
(1)若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全2×2列联表：

男
女
合计
体育达人
40


非体育达人

30

合计



并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；
(2)在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座，求抽取的这两人恰好是一男一女的概率．
附表及公式：
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K2＝.
18．(12分)在直角梯形ABCD(如图1)，∠ABC＝90°，BC∥AD，AD＝8，AB＝BC＝4，M为线段AD中点．将△ABC沿AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到几何体B－ACD(如图2)．

(1)求证：CD⊥平面ABC；
(2)求AB与平面BCM所成角θ的正弦值．
19．(12分)已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2)若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式．
20．(12分)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)．
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围．
21．(12分) 已知F1，F2分别是椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点．
(1)若P是第一象限内该椭圆上的一点，·＝－，求点P的坐标；
(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22 (10分) 在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=-1+22t,y=-2+22t(t为参数),以该直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos2θ+4cos θ-ρ=0.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)求直线l被曲线C截得的弦长是多少?
[选修4-5：不等式]
23.(10分) 已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.




















答案及解析
1．已知全集U＝{x∈Z|0 A．M∩(∁UN)　　 B．∁U(M∩N)
C．∁U(M∪N)　　 D．(∁UM)∩N
选C.
2． 若i是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为(　B　)
A．－　　 B．　　
C．i　　 D．－i
选B.
3． 直线l1：ax＋2y－1＝0与l2：x＋(a－1)y＋a2＝0平行，则a＝(　B　)
A．－1　　 B．2
C．－1或2　　 D．0或1
选B.
4． 已知m，n是直线，α是平面，且m∥α，则下列结论中正确的是(　B　)
A．∀n⊂α，都有m∥n B．∃n⊂α，使m⊥n
C．∀n∥m，都有n∥α D．∃n⊥α，使m∥n
选B.
5． 等于(　C　)
A．－　　 B．　　
C．　　 D．1
6．关于x，y的不等式组表示的平面区域的面积为(　C　)
A．3　　 B．　　
C．2　　 D．
7.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，Sn是它的前n项和．若a2a6＝4，且a4＋2a7＝，则S5＝(　C　)
A．29　　 B．30　　
C．31　　 D．32
9． 如图所示，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD＝3DC.若＝λ＋μ，则＝(　B　)

A．　　 B．　　
C．2　　 D．
选B.
9．已知函数f(x)＝2sin(πx＋1)，若对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为(　 　)
A．2　　 B．1　　
C．4　　 D．
选B.
10． 从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有(　B　)
A．20种　　 B．50种　　
C．80种　　 D．100种
选B.
11． 已知双曲线－＝1(b>0)右焦点为F1，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，抛物线y2＝－16x的焦点为F，若△ABF为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是(　D　)
A．　　 B．(，＋∞)
C．(1,3)　　 D．
选D.
12． 已知f(x)是偶函数，在(－∞，0)上满足xf′(x)>0恒成立，则下列不等式成立的是(　A　)
A．f(－3)f(－5)
C．f(－5) A.
13．已知直线y＝x与函数f(x)＝的图象恰有三个公共点，则实数m的取值范围是 [－1，2) ．
[－1，2).
13． 已知向量a，b满足|a|＝5，|a－b|＝6，|a＋b|＝4，则向量b在向量a上的投影为 －1 ．
－1.
15.袋中装有3个红球2个白球，从中随机取球，每次一个，直到取得红球为止，则取球次数ξ的数学期望为　　.
.
16．数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an＝ ．

17． 第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：
收看时间
(单位：小时)
[0,1)
[1,2)
[2,3)
[3,4)
[4,5)
[5,6]
收看人数
14
30
16
28
20
12
(1)若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全2×2列联表：

男
女
合计
体育达人
40


非体育达人

30

合计



并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；
(2)在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座，求抽取的这两人恰好是一男一女的概率．
附表及公式：
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K2＝.
[解析]　(1)由题意得下表：

男
女
合计
体育达人
40
20
60
非体育达人
30
30
60
合计
70
50
120
k2＝＝>2.706.
所以有90%的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关．
(2)由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工，
记“抽取的这两人恰好是一男一女”为事件A，
P(A)＝＝.
18． 在直角梯形ABCD(如图1)，∠ABC＝90°，BC∥AD，AD＝8，AB＝BC＝4，M为线段AD中点．将△ABC沿AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到几何体B－ACD(如图2)．

(1)求证：CD⊥平面ABC；
(2)求AB与平面BCM所成角θ的正弦值．
[解析]　(1)由题设可知AC＝4，CD＝4，AD＝8，
∴AD2＝CD2＋AC2，∴CD⊥AC，
又∵平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD＝AC，
∴CD⊥平面ABC．
(2)解法一：等体积法
取AC的中点O连接OB，由题设可知△ABC为等腰直角三角形，所以OB⊥面ACM，
∵VB－ACM＝VA－BCM且VB－ACM＝S △ACM·BO＝，
而SΔBCM＝4，
∴A到面BCM的距离h＝，
所以sin θ＝＝.
解法二：向量法
取AC的中点O连接OB，由题设可知△ABC为等腰直角三角形，所以OB⊥面ACM，连接OM，因为M、O分别为AB和AC的中点，所以OM∥CD，
由(1)可知OM⊥AC，故以OM、OC、OB所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．

则A(0，－2，0)，B(0,0,2)，C(0,2，0)，M(2，0,0)，
∴＝(0，－2，2)，＝(2，－2，0)，＝(0，－2，－2)，
∴平面BCM的一个法向量n＝(1,1,1)，
∴sin θ＝＝.
19．(12分)已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2)若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式．
[解析]　(1)∵an＋2＝2an＋1＋3an，
∴an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)．
又∵an>0，∴＝3，
∴数列{an＋1＋an}为等比数列．
(2)由(1)得，an＋an＋1＝(a1＋a2)×3n－1＝2×3n－1　 ①
∴an＋1＋an＋2＝2×3n　 ②
②－①得an＋2－an＝4×3n－1
当n为奇数时，
a3－a1＝4×30
a5－a3＝4×32
a7－a5＝4×34
……
an－an－2＝4×3n－3
相加得an－a1＝4×(30＋32＋34＋…＋3n－3)＝4×＝，
∴an＝×3n－1.
当n为偶数时由an＋an＋1＝2×3n－1得an＝2×3n－1－an＋1＝2×3n－1－×3n＝×3n－1.
综上所述an＝×3n－1.
20已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)．
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围．
[解析]　(1)h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝－ax－2.
由h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，知当x∈(0，＋∞)时，－ax－2<0有解，即a>－有解．
设G(x)＝－，则只要a>G(x)min即可，
而G(x)＝－1，所以G(x)min＝－1，所以a>－1.
(2)由h(x)在[1，4]上单调递减，得当x∈[1，4]时，
h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，即a≥－恒成立，
设G(x)＝－，则a≥G(x)max，而G(x)＝－1，又x∈[1，4]，所以∈，所以G(x)max＝－(此时x＝4)，所以a≥－.
21已知F1，F2分别是椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点．
(1)若P是第一象限内该椭圆上的一点，·＝－，求点P的坐标；
(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围．
[解析]　(1)因为椭圆方程为＋y2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝，
可得F1(－，0)，F2(，0)，
设P(x，y)(x>0，y>0)，
则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2＋y2－3＝－，
联立
解得⇒
即P.
(2)显然x＝0不满足题意，
可设l的方程为y＝kx＋2，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立⇒(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，
由Δ＝(16k)2－4(1＋4k2)·12>0，得k2>，
x1＋x2＝－，x1x2＝.
又∠AOB为锐角，即·>0，
即x1x2＋y1y2>0，x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)>0，
(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝(1＋k2)＋2k＋4＝>0，
可得k2<4.又k2>，即为 解得k∈∪.
22在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=-1+22t,y=-2+22t(t为参数),以该直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos2θ+4cos θ-ρ=0.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)求直线l被曲线C截得的弦长是多少?
解:(1)将x=-1+22t,y=-2+22t消去参数t,
得直线l的普通方程为x-y-1=0.
∵曲线C的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0,
即ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0,
∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x.
(2)联立y2=4x,x-y-1=0,
得x2-6x+1=0,Δ=36-4=32>0,
设直线l与抛物线C交于点A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=6,x1x2=1,
故直线l被曲线C截得的弦长为|AB|
=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=(1+1)×(36-4)=8.

23.已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,
即f(x)=-2,x≤-1,2x,-1 故不等式f(x)>1的解集为xx>12.
(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.
若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;
若a>0,则|ax-1|<1的解集为x0 综上,a的取值范围为(0,2].