2022-2023学年甘肃省兰州市第五十八中学（兰炼一中）高三上学期第一次模拟考试数学（文科）试卷

这是一份2022-2023学年甘肃省兰州市第五十八中学（兰炼一中）高三上学期第一次模拟考试数学（文科）试卷，共15页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上， 直线l1， eq \f等于，椭圆E等内容，欢迎下载使用。

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兰州市第五十八中学（兰炼一中）2022-2023学年度第一次模拟考试
数学试卷（文科）
考试时间：120分钟；总分150分
题号
一
二
三
总分
得分




注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、 单选题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知全集U＝{x∈Z|0 A．M∩(∁UN)　　 B．∁U(M∩N)
C．∁U(M∪N)　　 D．(∁UM)∩N
2． 若i是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为(　 　)
A．－　　 B．　　
C．i　　 D．－i
3． 直线l1：ax＋2y－1＝0与l2：x＋(a－1)y＋a2＝0平行，则a＝(　 　)
A．－1　　 B．2
C．－1或2　　 D．0或1
4． 已知m，n是直线，α是平面，且m∥α，则下列结论中正确的是(　 　)
A．∀n⊂α，都有m∥n B．∃n⊂α，使m⊥n
C．∀n∥m，都有n∥α D．∃n⊥α，使m∥n
5． 等于(　 　)
A．－　　 B．　　
C．　　 D．1
6．关于x，y的不等式组表示的平面区域的面积为(　 　)
A．3　　 B．　　
C．2　　 D．
7． 已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，Sn是它的前n项和．若a2a6＝4，且a4＋2a7＝，则S5＝(　 　)
A．29　　 B．30　　
C．31　　 D．32
8． 如图所示，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD＝3DC.若＝λ＋μ，则＝(　 　)

A．　　 B．　　
C．2　　 D．
9．已知函数f(x)＝2sin(πx＋1)，若对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为(　 　)
A．2　　 B．1　　
C．4　　 D．
10.《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”,将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,从A,B,C,D四点中任取三点和顶点P所形成的四面体中,任取两个四面体,则其中一个四面体为鳖臑的概率为(　　)
A.14 B.23 C.35 D.310
11． 已知双曲线－＝1(b>0)右焦点为F1，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，抛物线y2＝－16x的焦点为F，若△ABF为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是(　 　)
A．　　 B．(，＋∞)
C．(1,3)　　 D．
12.已知函数f(x)=ex+x22-ln x的极值点为x1,函数h(x)=lnx2x的最大值为x2,则(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.x1>x2 B.x2>x1 C.x1≥x2 D.x2≥x1
第II卷（非选择题）
二、填空题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上．）
13．已知直线y＝x与函数f(x)＝的图象恰有三个公共点，则实数m的取值范围是 ．
14． 已知向量a，b满足|a|＝5，|a－b|＝6，|a＋b|＝4，则向量b在向量a上的投影为 ．
15.

某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂产量分布如图所示,现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试,则第一分厂应抽取的件数为　　　　　;由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分
16．数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an＝ ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17(12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．
(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．

18(12分)已知边长为2的正方形ABCD与菱形ABEF所在平面互相垂直，M为BC中点．

(1)求证：EM∥平面ADF；
(2)若∠ABE＝60°，求四面体M­ACE的体积．
19．(12分)已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2)若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式．
20．(12分)椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线AB的斜率为，求△ABF2的面积．
21(12分)已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当a＞0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22 (10分) 在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=-1+22t,y=-2+22t(t为参数),以该直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos2θ+4cos θ-ρ=0.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)求直线l被曲线C截得的弦长是多少?
[选修4-5：不等式]
23.(10分) 已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.



























答案及解析
1．已知全集U＝{x∈Z|0 A．M∩(∁UN)　　 B．∁U(M∩N)
C．∁U(M∪N)　　 D．(∁UM)∩N
2． 若i是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为(　B　)
A．－　　 B．　　
C．i　　 D．－i
3． 直线l1：ax＋2y－1＝0与l2：x＋(a－1)y＋a2＝0平行，则a＝(　B　)
A．－1　　 B．2
C．－1或2　　 D．0或1
4． 已知m，n是直线，α是平面，且m∥α，则下列结论中正确的是(　B　)
A．∀n⊂α，都有m∥n B．∃n⊂α，使m⊥n
C．∀n∥m，都有n∥α D．∃n⊥α，使m∥n
5． 等于(　C　)
A．－　　 B．　　
C．　　 D．1
6．关于x，y的不等式组表示的平面区域的面积为(　C　)
A．3　　 B．　　
C．2　　 D．
7.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，Sn是它的前n项和．若a2a6＝4，且a4＋2a7＝，则S5＝(　C　)
A．29　　 B．30　　
C．31　　 D．32
9． 如图所示，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD＝3DC.若＝λ＋μ，则＝(　B　)

A．　　 B．　　
C．2　　 D．
9．已知函数f(x)＝2sin(πx＋1)，若对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为(　 　)
A．2　　 B．1　　
C．4　　 D．
10《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”,将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,从A,B,C,D四点中任取三点和顶点P所形成的四面体中,任取两个四面体,则其中一个四面体为鳖臑的概率为(　B　)
A.14 B.23 C.35 D.310
11已知双曲线－＝1(b>0)右焦点为F1，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，抛物线y2＝－16x的焦点为F，若△ABF为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是(　D　)
A．　　 B．(，＋∞)
C．(1,3)　　 D．

12.已知函数f(x)=ex+x22-ln x的极值点为x1,函数h(x)=lnx2x的最大值为x2,则(A　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.x1>x2 B.x2>x1 C.x1≥x2 D.x2≥x1
13．已知直线y＝x与函数f(x)＝的图象恰有三个公共点，则实数m的取值范围是 [－1，2) ．
10． 已知向量a，b满足|a|＝5，|a－b|＝6，|a＋b|＝4，则向量b在向量a上的投影为 －1 ．
15.

某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂产量分布如图所示,现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试,则第一分厂应抽取的件数为　50　　　　;由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分
16．数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an＝ ．
17某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．
(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
[解析](1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个．
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个，则所求事件的概率为P＝＝.
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．
包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，则所求事件的概率为P＝.
18已知边长为2的正方形ABCD与菱形ABEF所在平面互相垂直，M为BC中点．

(1)求证：EM∥平面ADF；
(2)若∠ABE＝60°，求四面体M­ACE的体积．
[解析] 　(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC∥AD.
∵BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，
∴BC∥平面ADF.
∵四边形ABEF是菱形，
∴BE∥AF.
∵BE⊄平面ADF，AF⊂平面ADF，
∴BE∥平面ADF.
∵BC∥平面ADF，BE∥平面ADF，BC∩BE＝B，
∴平面BCE∥平面ADF.
∵EM⊂平面BCE，
∴EM∥平面ADF.
(2)取AB中点P，连接PE.

∵在菱形ABEF中，∠ABE＝60°，
∴△AEB为正三角形，∴EP⊥AB.
∵AB＝2，∴EP＝.
∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，
∴EP⊥平面ABCD，
∴EP为四面体E­ACM的高．
∴VM­ACE＝VE­ACM＝S△ACM·EP
＝××1×2×＝.
19．(12分)已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2)若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式．
[解析]　(1)∵an＋2＝2an＋1＋3an，
∴an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)．
又∵an>0，∴＝3，
∴数列{an＋1＋an}为等比数列．
(2)由(1)得，an＋an＋1＝(a1＋a2)×3n－1＝2×3n－1　 ①
∴an＋1＋an＋2＝2×3n　 ②
②－①得an＋2－an＝4×3n－1
当n为奇数时，
a3－a1＝4×30
a5－a3＝4×32
a7－a5＝4×34
……
an－an－2＝4×3n－3
相加得an－a1＝4×(30＋32＋34＋…＋3n－3)＝4×＝，
∴an＝×3n－1.
当n为偶数时由an＋an＋1＝2×3n－1得an＝2×3n－1－an＋1＝2×3n－1－×3n＝×3n－1.
综上所述an＝×3n－1.
20．椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线AB的斜率为，求△ABF2的面积．
[解析] 　(1)由题意知，4a＝8，所以a＝2，
又e＝，所以＝，c＝1，
所以b2＝22－1＝3，
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)设直线AB的方程为y＝(x＋1)，
由得5x2＋8x＝0，
解得x1＝0，x2＝－，
所以y1＝，y2＝－.
所以S△ABF2＝c·|y1－y2|＝1×＝.
21已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当a＞0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．
[解析]　(1)f′(x)＝－a(x＞0)，
①当a≤0时，f′(x)＝－a＞0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
②当a＞0时，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝，
当0＜x＜时，f′(x)＝＞0；
当x＞时，f′(x)＝＜0，
故函数f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为.
综上可知，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为.
(2)①当0＜≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a.
②当≥2，即0＜a≤时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)＝－a.
③当1＜＜2，即＜a＜1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数．
又f(2)－f(1)＝ln 2－a，
所以当＜a＜ln 2时，最小值是f(1)＝－a；
当ln 2≤a＜1时，最小值为f(2)＝ln 2－2a.
综上可知，
当0＜a＜ln 2时，函数f(x)的最小值是f(1)＝－a；
当a≥ln 2时，函数f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a.


22在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=-1+22t,y=-2+22t(t为参数),以该直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos2θ+4cos θ-ρ=0.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)求直线l被曲线C截得的弦长是多少?
[解析]:(1)将x=-1+22t,y=-2+22t消去参数t,
得直线l的普通方程为x-y-1=0.
∵曲线C的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0,
即ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0,
∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x.
(2)联立y2=4x,x-y-1=0,
得x2-6x+1=0,Δ=36-4=32>0,
设直线l与抛物线C交于点A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=6,x1x2=1,
故直线l被曲线C截得的弦长为|AB|
=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=(1+1)×(36-4)=8.
23.已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.
[解析](1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,
即f(x)=-2,x≤-1,2x,-1 故不等式f(x)>1的解集为xx>12.
(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.
若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;
若a>0,则|ax-1|<1的解集为x0 综上,a的取值范围为(0,2].