2022-2023学年甘肃省兰州市第五十三中学高三上学期第一次模拟考试数学（文科）试卷

这是一份2022-2023学年甘肃省兰州市第五十三中学高三上学期第一次模拟考试数学（文科）试卷，共12页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。

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兰州市五十三中 2022-2023学年度第一次模拟考试
数学试卷（文科）
考试时间：120分钟；总分150分
题号
一
二
三
总分
得分




注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、 单选题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.已知集合A={x|x2-x-2=0},B={x∈Z||x|≤2},则A∩B=(　　)
A.{1,2} B.{1,-2} C.{-1,2} D.{-1,-2}
2．复数(i为虚数单位)的共轭复数是(　　)
A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i
3．某班有34位同学，座位号记为01，02，…，34，用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号．选取方法是从随机数表第一行的第6列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号是(　　)
49　54　43　54　82　17　37　93　23　78　87　35
20　96　43　84　26　34　91　64　57　24　55　06
88　77　04　74　47　67　21　76　33　50　25　83
92　12　06
A．23 B．09 C．02 D．16
4.＝(　　)
A. B. C. D．1
5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为(　　)

A．2 B．4＋2 C．4＋4 D．4＋6
6. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a5＝10，S4＝16，则数列{an}的公差为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
7. 已知向量a＝(1，m)，b＝(0，－2)，且(a＋b)⊥b，则实数m等于(　　)
A．2 B．1 C．－1 D．－2
8.函数f(x)=xln|x|的大致图象是(　　)

9.a,b,c是两两不同的三条直线,下面四个命题中,真命题是(　　)
A.若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面 B.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交
C.若a∥b,则a,b与c所成的角相等 D.若a⊥b,b⊥c,则a∥c
10.椭圆x225+y216=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的一条直线与椭圆交于A,B两点,若△ABF2的内切圆面积为π,且A(x1,y1),B(x2,y2),则|y1-y2|=(　　)
A.53 B.103 C.203 D.53
11.设f(x)是定义在R上的奇函数且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值(　　)
A.恒为负值 B.恒等于零 C.恒为正值 D.无法确定正负
12. 已知关于x的不等式ax2e1-x-xln x-1≤0恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.[0,1] B.(-∞,0] C.(-∞,1] D.-∞,12
第II卷（非选择题）
二、填空题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上．）
13.已知函数f(x)=log2x,01,则f20192=　　　　　. 
14. 已知向量a=(2,-1),b=(1,t),且|a+b|=|a-b|,则t=　　　　. 
15.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若双曲线的渐近线上存在点P,使得|PF1|=2|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围是　　　　 . 
16. 已知在正项等比数列{an}中,存在两项am,an,满足aman=2a1且a6=a5+2a4,则1m+4n的最小值是　　　　　. 
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.（12分）

某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.若指针恰好停在各区域的分界线上,则这次转动作废,重新转动转盘.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:
①若xy≤3,则奖励玩具一个;②若xy≥8,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率;
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.
18.(12分) 如图,四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB=3CD=3,PA=PD=BC=2,∠ABC=90°,且PB=PC.

(1)求证:平面PAD⊥平面ABCD;
(2)求点D到平面PBC的距离.
19.(12分) 已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asin(A+B-C)=csin(B+C).
(1)求角C的值;
(2)若2a+b=6,且△ABC的面积为3,求△ABC的周长.
20.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且|F1F2|=2,P在椭圆C上且|PF1|+|PF2|=4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过右焦点F2的直线交椭圆于点B,C两点,A为椭圆的左顶点,若F1C·AB=0,求直线AB的斜率k的值.
21.(12分)已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).
(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值;
(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.(10分)在平面直角坐标系中,直线l过点P(3,2),且倾斜角α=π6,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C的极坐标方程为ρ=4sin θ.
(1)求圆C的直角坐标方程;
(2)设直线l与圆C交于A,B两点,求|PA|+|PB|的值.
[选修4-5：不等式]
23.（10分）已知函数f(x)=|x-2|+|2x+a|,a∈R.
(1)当a=1时,解不等式f(x)≥5;
(2)若存在x0满足f(x0)+|x0-2|<3,求a的取值范围.





































答案及解析

1.已知集合A={x|x2-x-2=0},B={x∈Z||x|≤2},则A∩B=(　　)
A.{1,2} B.{1,-2} C.{-1,2} D.{-1,-2}
选C.
2．复数(i为虚数单位)的共轭复数是(　　)
A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i
3．某班有34位同学，座位号记为01，02，…，34，用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号．选取方法是从随机数表第一行的第6列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号是(　　)
49　54　43　54　82　17　37　93　23　78　87　35
20　96　43　84　26　34　91　64　57　24　55　06
88　77　04　74　47　67　21　76　33　50　25　83
92　12　06
A．23 B．09 C．02 D．16
4.＝(　　)
A. B. C. D．1
5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为(　　)

A．2 B．4＋2 C．4＋4 D．4＋6

选C.
6已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a5＝10，S4＝16，则数列{an}的公差为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
选B.
解法二：设等差数列{an}的公差为d，因为S4＝＝2(a1＋a5－d)＝2(10－d)＝16，所以d＝2，故选B.
8. 已知向量a＝(1，m)，b＝(0，－2)，且(a＋b)⊥b，则实数m等于(　　)
A．2 B．1 C．－1 D．－2
选A.
8.函数f(x)=xln|x|的大致图象是(　　)



选C.
9.a,b,c是两两不同的三条直线,下面四个命题中,真命题是(　　)
A.若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面 B.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交
C.若a∥b,则a,b与c所成的角相等 D.若a⊥b,b⊥c,则a∥c
选C
10.椭圆x225+y216=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的一条直线与椭圆交于A,B两点,若△ABF2的内切圆面积为π,且A(x1,y1),B(x2,y2),则|y1-y2|=(　　)
A.53 B.103 C.203 D.53
选.B
11.设f(x)是定义在R上的奇函数且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值(　　)
A.恒为负值 B.恒等于零 C.恒为正值 D.无法确定正负
选.A
12. 已知关于x的不等式ax2e1-x-xln x-1≤0恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.[0,1] B.(-∞,0] C.(-∞,1] D.-∞,12
选.C
13.已知函数f(x)=log2x,01,则f20192=　　　　　.
=-1.
14. 已知向量a=(2,-1),b=(1,t),且|a+b|=|a-b|,则t=　　　　. 
2　
15.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若双曲线的渐近线上存在点P,使得|PF1|=2|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围是　　　　 . 

1,53.
16已知在正项等比数列{an}中,存在两项am,an,满足aman=2a1且a6=a5+2a4,则1m+4n的最小值是　.94　
17.（12分）

某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.若指针恰好停在各区域的分界线上,则这次转动作废,重新转动转盘.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:
①若xy≤3,则奖励玩具一个;②若xy≥8,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率;
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.
.解(1)用数对(x,y)表示小亮参加活动先后记录的数,则基本事件构成的集合是S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}.
因为S中元素的个数是4×4=16,所以基本事件总数n=16.记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的基本事件共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),
所以P(A)=516,即小亮获得玩具的概率为516.
(2)记“xy≥8”为事件B,“3 则事件B包含的基本事件共6个,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).
所以P(B)=616=38.
事件C包含的基本事件共5个,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).
所以P(C)=516.
因为38>516,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
18.(12分) 如图,四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB=3CD=3,PA=PD=BC=2,∠ABC=90°,且PB=PC.

(1)求证:平面PAD⊥平面ABCD;
(2)求点D到平面PBC的距离.
解.(1)证明取AD,BC的中点分别为M,E,连接PM,PE,ME,

因为AB∥CD,AB=3CD=3,所以四边形ABCD为梯形,
又M,E为AD,BC的中点,所以ME为梯形的中位线,所以ME∥AB,
又∠ABC=90°,所以ME⊥BC,
因为PB=PC,E为BC的中点,所以PE⊥BC,
又PE∩ME=E,PE⊂平面PME,ME⊂平面PME,所以BC⊥平面PME,
又PM⊂平面PME,故PM⊥BC,
因为PA=PD,M为AD中点,
所以PM⊥AD,
又AD,BC不平行,必相交于某一点,且AD,BC都在平面ABCD上,所以PM⊥平面ABCD,
又PM⊂平面PAD,则平面PAD⊥平面ABCD.
(2)解由题知,PM为三棱锥P-BCD的高,
AD=22,ME=2,PM=2,故PE=6,
S△PBC=12BC×PE=12×2×6=6,而S△BCD=12BC·CD=12×2×1=1,设点D到平面PBC的距离为h,则VP-BCD=VD-BCP,则13S△BCD×PM=13S△PBC×h,即13×1×2=13×6×h,
解得h=33,所以点D到平面PBC的距离为33.
19.(12分) 已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asin(A+B-C)=csin(B+C).
(1)求角C的值;
(2)若2a+b=6,且△ABC的面积为3,求△ABC的周长.
.解(1)因为asin(A+B-C)=csin(B+C),由正弦定理得sinAsin(π-2C)=sinCsin(π-A)=sinCsinA,
因为sinA≠0,所以sin(π-2C)=sinC,
即sin2C=2sinCcosC=sinC.
因为sinC≠0,所以cosC=12.
因为0 (2)由S△ABC=12absinC=3,可得ab=4.因为2a+b=6,所以2a+4a=6,解得a=1或2.当a=1时,b=4,c2=a2+b2-2abcosC=13,c=13,所以周长为5+13.当a=2时,b=2,c2=a2+b2-2abcosC=4,c=2,所以周长为6.综上,△ABC的周长为6或5+13.
20.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且|F1F2|=2,P在椭圆C上且|PF1|+|PF2|=4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过右焦点F2的直线交椭圆于点B,C两点,A为椭圆的左顶点,若F1C·AB=0,求直线AB的斜率k的值.
解(1)因为|F1F2|=2,所以2c=2,c=1.
根据椭圆的定义及|PF1|+|PF2|=4,可得2a=4,a=2.
所以b=a2-c2=3,所以椭圆C的方程为x24+y23=1.
(2)设直线AB的方程lAB:y=k(x+2),B(xB,yB).
由(1)知,A(-2,0).
由y=k(x+2),x24+y23=1,消去y,得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,
∴-2xB=16k2-123+4k2,∴xB=-8k2+63+4k2,
∴yB=k(xB+2)=12k3+4k2,
∴B-8k2+63+4k2,12k3+4k2.
若k=12,则B1,32,C1,-32,AB=3,32.
∵F1(-1,0),∴F1C=2,-32.
∴F1C·AB=0不成立.
同理,k=-12也不成立.∴k≠±12.
∵F2(1,0),kBF2=4k1-4k2,kCF1=-1k,
∴直线BF2的方程lBF2:y=4k1-4k2(x-1),直线CF1的方程lCF1:y=-1k(x+1).
由y=4k1-4k2(x-1),y=-1k(x+1),得x=8k2-1,y=-8k.
∴C(8k2-1,-8k).
又点C在椭圆上,得(8k2-1)24+(-8k)23=1,即(24k2-1)(8k2+9)=0,
即k2=124,k=±612.
21.(12分)已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).
(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值;
(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.
解(1)f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).
由题意得f(0)=b=0,f'(0)=-a(a+2)=-3,
解得b=0,a=-3或a=1.
(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,所以关于x的方程f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,即4a2+4a+1>0,所以a≠-12.
所以a的取值范围为-∞,-12∪-12,+∞.
22.(10分)在平面直角坐标系中,直线l过点P(3,2),且倾斜角α=π6,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C的极坐标方程为ρ=4sin θ.
(1)求圆C的直角坐标方程;
(2)设直线l与圆C交于A,B两点,求|PA|+|PB|的值.
.解(1)由ρ=4sinθ得ρ2=4ρsinθ,从而有x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4.
(2)由题意设直线l的参数方程为x=3+tcosπ6,y=2+tsinπ6,即x=3+32t,y=2+12t(t为参数),
代入圆的方程得3+32t2+12t2=4,整理得t2+33t+5=0,t1+t2=-33,t1t2=5,
由t1+t2<0且t1t2>0,可知|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-(t1+t2)=33.
23.（10分）已知函数f(x)=|x-2|+|2x+a|,a∈R.
(1)当a=1时,解不等式f(x)≥5;
(2)若存在x0满足f(x0)+|x0-2|<3,求a的取值范围.
解(1)当a=1时,f(x)=|x-2|+|2x+1|,由f(x)≥5得|x-2|+|2x+1|≥5.
当x≥2时,不等式等价于x-2+2x+1≥5,解得x≥2;
当-12 当x≤-12时,不等式等价于2-x-2x-1≥5,解得x≤-43.
所以原不等式的解集为-∞,-43∪[2,+∞).
(2)f(x)+|x-2|=2|x-2|+|2x+a|=|2x-4|+|2x+a|≥|2x+a-(2x-4)|=|a+4|.
因为f(x)+|x-2|<3等价于(f(x)+|x-2|)min<3,
所以|a+4|<3,所以-7