2023届湖南省邵阳市高三上学期1月第一次联考（一模）数学试题（word版）

2023年邵阳市高三第一次联考试题卷

数学

本试卷共4页，22个小题。满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴区”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.保持答题卡的整洁。考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知全集，集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.已知复数满足，则（    ）

A. B. C. D.

3.一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的全面积为（    ）

A. B. C. D.

4.设向量，满足，，则（    ）

A.2 B. C.3 D.

5.某铅笔工厂有甲、乙两条生产线，甲生产线的产品次品率为10%，乙生产线的产品次品率为5%.现在某客户在该厂定制生产同一种铅笔产品，由甲、乙两条生产线同时生产，且甲生产线的产量是乙生产线产量的1.5倍.现在从这种铅笔产品中任取一件，则取到合格产品的概率为（    ）

A.0.92 B.0.08 C.0.54 D.0.38

6.已知A，B，C分别是的内角，，，则C的值是（    ）

A. B. C. D.

7.设若函数有且只有三个零点，则实数m的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

8.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为a的截角四面体，则下列说法错误的是（    ）

A.二面角的余弦值为

B.该截角四面体的体积为

C.该截角四面体的外接球表面积为

D.该截角四面体的表面积为

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学，密码学，计算机科学、量子力学等各个领域.而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的有（    ）

A.函数的图象关于直线对称

B.函数的图象关于点对称

C.函数为周期函数，且最小正周期为

D.函数的导函数的最大值为4

10.已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的有（    ）

A.  B.函数的图象关于点对称

C.  D.若，则

11.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔•蒙日（1746-1818）最先发现.已知长方形R的四条边均与椭圆相切，则下列说法正确的有（    ）

A.椭圆C的离心率为 B.椭圆C的蒙日圆方程为

C.椭圆C的蒙日圆方程为 D.长方形R的面积的最大值为18

12.已知函数，，则下列说法正确的有（    ）

A.在上是增函数

B.，不等式恒成立，则正实数的最小值为

C.若有两个零点，，则

D.若，且，则的最大值为

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.的展开式中不含的各项系数之和______.

14.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则______.

15.已知圆与圆相交于A，B两点，则公共弦AB所在的直线方程为______（2分）______（3分）.

16.在正方体中，点满足，且，直线与平面所成角为，若二面角的大小为，则的最大值是______.

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）已知数列满足，，，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和.

18.（本小题满分12分）如图，为内的一点，记为，记为，且，在中的对边分别记为m，n，，，.

（1）求；

（2）若，，，记，求线段的长和面积的最大值.

19.（本小题满分12分）如图所示，在多面体中，底面为直角梯形，，，侧面为菱形，平面平面M为棱BE的中点.

（1）若上有一点N满足平面，确定点N的位置并证明；

（2）若，，求平面与平面所成二面角的正弦值.

20.（本小题满分12分）新冠肺炎疫情暴发以来，各级人民政府采取有效防控措施，时常采用10人一组做核酸检测（俗称混检）.某地在核酸检测中发现某一组中有1人核酸检测呈阳性，为了能找出这1例阳性，需要通过做血清检测，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性的表示没被感染.拟采用两种方案检测：

方案甲：将这10人逐个做血清检测，直到能确定感染人员为止.

方案乙：将这10人的血清随机等分成两组，随机将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果呈阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止.把采用方案甲，直到能确定感染人员为止，检测的次数记为X.

（1）求X的数学期望；

（2）如果每次检测的费用相同，以检测费用的期望作为决策依据，应选择方案甲与方案乙中的哪一种?

21.（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为F，且F与圆上点的距离的最大值为5.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求面积的最大值.

22.（本小题满分12分）设函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，记，是否存在整数t，使得关于x的不等式有解?若存在，请求出t的最小值；若不存在，请说明理由.

2023年邵阳市高三第一次联考参考答案与评分标准

数学

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1.B

2.A

3.A 

4.D 

5.A 

6.A

7.C 

8.D 

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

9.ABD

10.ABD 

11.ACD

12.ABD 

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.128 

14. 

15.，2

16. 

四、解答题

17.（10分）【详解】（1）因为，，，，

可得，，     ……（1分）

又，     ……（2分）

则当时，

，     ……（4分）

上式对也成立，所以，；     ……（5分）

（2）由，

可得，     ……（7分）

则数列的前项和为

     ……（9分）

.     ……（10分）

18.（10分）【详解】（1）已知，由正弦定理可得

，由，     ……（1分）

∴，     ……（3分）

，，，     ……（4分）

，.     ……（5分）

（2）在中，由余弦定理得知：

即     ……（8分）

     ……（9分）

     ……（10分）

     ……（11分）

∴当时，.     ……（12分）

19.（12分）【详解】（1）点N为DE中点，证明如下：

如图，连接BD，MN，     ……（1分）

因为M，N分别为BE，DE的中点，

所以MN为的中位线，所以，     ……（2分）

又平面，平面，所以平面.

所以N为DE的中点时满足条件；     ……（4分）

（2）取AB的中点O，连接OE，因为侧面为菱形，且，

所以在中，，解得，

所以，即.     ……（5分）

又因为平面平面.

平面平面，平面所以平面，

过作的垂线，交BD于H并延长，

分别以OH，OA，OE所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，     ……（6分）

设，则，

故，，，，，

则，，，，.

设平面的法向量为.

则即令，则     ……（8分）

设平面的法向量为，

则，即

令，则，则     ……（10分）

，     ……（11分）

故：平面与平面所成二面角的正弦值为.     ……（12分）

20.（12分）【详解】（1）X可取1，2，…，8，9，     ……（1分）

则，，2，…，8     ……（3分）

，     ……（5分）

所以.     ……（6分）

（2）把采用方案乙，直到能确定感染人员为止，检测的次数记为Y，则Y可取2，3，4，5.

，     ……（7分）

，     ……（8分）

，     ……（9分）

，     ……（10分）

则.     ……（11分）

设每次检测的费用均为，则方案甲的平均费用为，方案乙的平均费用为，

因为，所以应选择方案乙.     ……（12分）

21.（12分）【详解】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最大值

由题意知，，设圆上的点，则.

所以.     ……（1分）

从而有.

因为，所以当时，.     ……（2分）

又，解之得，因此.     ……（3分）

抛物线C的方程为：.     ……（4分）

（4分）[方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最大值

抛物线C的焦点为，，     ……（1分）

所以，F与圆上点的距离的最大值为，解     ……（3分）

抛物线C的方程为：     ……（4分）

（2）[方法一]：切点弦方程韦达定义判别式求弦长求面积法

抛物线C的方程为，即，对该函数求导得，

设点、、，

直线的方程为，即，即     ……（5分）

同理可知，直线PB的方程为，

由于点P为这两条直线的公共点，则，

所以，点A、B的坐标满足方程，

所以，直线的方程为，     ……（7分）

联立，可得，

由韦达定理可得，

所以，     ……（8分）

点P到直线AB的距离为，     ……（9分）

所以，，     ……（10分）

∵，

由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.     ……（12分）

[方法二]【最优解】：切点弦法分割转化求面积三角换元求最值

同方法一得到，.     ……（7分）

过作轴的平行线交于，则.     ……（8分）

     ……（9分）

点在圆上，则     ……（10分）

.     ……（11分）

故当时的面积最大，最大值为32.     ……（12分）

[方法三]：直接设直线AB方程法

设切点A，B的坐标分别为，.

设，联立和抛物线C的方程得整理得.     ……（5分）

判别式，即，且，     ……（6分）

抛物线C的方程为，即，有.

则，整理得，同理可得.     ……（7分）

联立方程可得点P的坐标为，即.     ……（8分）

将点P的坐标代入圆M的方程，得，整理得.     ……（9分）

由弦长公式得.

点P到直线AB的距离为.     ……（10分）

所以

，     ……（11分）

其中，即.

当时，.     ……（12分）

22.（12分）解：（1）由题意得函数的定义域为

     ……（1分）

①当时，时，，在单调递增，

时，，在单调递减；     ……（2分）

②当时，恒成立，在上单调递增；     ……（3分）

③当时，时，，在单调递增，

时，，在单调递减；     ……（4分）

综上，当时，在单调递增，在单调递减；

当时，恒成立，在上单调递增；

当时，在单调递增，在单调递减.     ……（5分）

（2）当时，     ……（6分）

∴，∴单调递增，又，

所以存在唯一的，使得     ……（7分）

且当时，，单调递减；

当时，，单调递增；     ……（8分）

所以     ……（9分）

设，，则在上单调递减，

所以，即，     ……（10分）

若关于x的不等式有解，则，又t为整数，所以

所以存在整数t满足题意，且t的最小值为0.     ……（12分）