2023届江西省宁冈县中高三上学期一模（文科）数学试卷

这是一份2023届江西省宁冈县中高三上学期一模（文科）数学试卷，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
宁冈县中高2023届一模数学试卷（文科）命题人        审题人        备课组长 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．设集合，，则（    ）A． B． C． D．2．某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（    ）1．若集合，，则（　　）A． B．C． D．2．某商场在售的三类食品共200种的分布情况如图所示，质检部门要从中抽取一个容量为40的样本进行质量检测，则抽取的植物油类食品的种数是A．8 B．12 C．24 D．303．已知为等差数列的前项和，，则（    ）A．1 B．2 C．3 D．44．已知的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（    ）A． B． C． D．5．函数在上不单调，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．6．在中， 若，则的外接圆的半径为（    ）A． B． C． D．7．在某次诗词大会决赛前，甲、乙、丙丁四位选手有机会问鼎冠军，三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：猜测冠军是乙或丁；猜测冠军一定不是丙和丁；猜测冠军是甲或乙．比赛结束后发现，三个人中只有一个人的猜测是正确的，则冠军是A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8．设有编号为1，2，3，4，5的五个茶杯和编号为1，2，3，4，5的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有（    ）A．30种 B．31种 C．32种 D．36种9．下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是A． B． C． D．10．已知点是圆上的动点，则的最大值为（    ）A． B． C．6 D．511．函数对任意的都有，且时的最大值为，下列四个结论：①是的一个极值点；②若为奇函数，则的最小正周期；③若为偶函数，则在上单调递增；④的取值范围是.其中一定正确的结论编号是（    ）A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④12．已知函数，对，恒有，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。)13．2020-2021赛季联赛共有20支队伍参加，这20支参赛球队将根据20192020赛季的最终排名以蛇形排列分为两组，每组10支球队，常规赛采用组内四循环（即每2支球队进行4场比赛）、不同组间双循环（即每2支球队进行2场比赛）的比赛方法，那么在常规赛阶段，联赛一共需要比赛的场数为______.14．在梯形ABCD中，，E是BC的中点，若，，且，则___________．15．若点依次为双曲线的左、右焦点，且，，. 若双曲线C上存在点P，使得，则实数b的取值范围为______.16．如图，正方体的棱长为1，P为的中点，M在侧面上，若，则面积的最小值为___________.  三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程。)17．在中，求证：．18．如图，在四棱锥中，平面平面，平面，为锐角三角形，且. (1)求证：平面；(2)平面平面.    19．甲、乙两人参加某学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式，甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是和．假设两人是否回答出问题，相互之间没有影响；每次回答是否正确，也没有影响．(1)求乙回答3个问题，至少有一个回答正确的概率；(2)假设某人连续2次未回答正确，则退出比赛．求甲恰好回答5次被退出比赛的概率是多少？20．如图，椭圆，点在短轴上，且.(1)求椭圆的方程及离心率；(2)设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于，两点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.21．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)当函数存在极小值时，求证：函数的极小值一定小于0.22．在平面直角坐标系中，曲线的参数标方程为（其中为参数，且），在以为极点、轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线的极坐标方程为.求曲线的极坐标方程；求直线与曲线的公共点的极坐标.
1．A2．B3．D4．C5．C6．B7．D8．B9．C11．A12．D13．56014．915．16．17．证明见解析【分析】由正弦定理，面积公式与三角恒等变换公式即可证明.【详解】由，而，故，故．18．(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）由题意结合几何关系可证得，利用线面平行的判断定理则有平面.（2）过作于,由面面垂直的性质定理有平面，则.结合，可证得平面，利用面面垂直的判断定理有平面平面.（1）因为平面,而平面，平面平面，所以，又因为平面，平面,所以平面（2）过作于，因为平面平面，且平面平面，所以平面因为平面，所以.因为，而为锐角三角形，于是点与不重合，即. 因为平面,所以平面，因为平面，故平面平面.19．(1)(2) 【分析】（1）可先计算出“至少有一个回答正确”的对立事件“一个回答都不正确”的概率，根据对立事件关系即可求出答案；（2）先列举出符合题意得所有情况，分别是：对对对错错，错对对错错，对错对错错，再根据独立重复实验的计算方法计算.【详解】（1）记“乙回答3个问题，至少有一个回答正确”为事件，由题意，答：乙回答3个问题，至少有一个回答正确的概率．（2）记“甲答对第个问题”为事件，则甲恰好回答5次被退出比赛为事件，则，答：甲恰好回答5次被退出比赛的概率是．20．(1)，(2) 【分析】（1）由已知可得点，的坐标分别为，．结合列式求得，则椭圆方程可求，进一步求出可得椭圆的离心率；（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，的坐标分别为，．联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系可得，横坐标的和与积，即可求出的定值．当直线斜率不存在时也可计算可得．（1）解：由已知，点，的坐标分别为，．又点的坐标为，所以，，又，即，解得．椭圆方程为．，椭圆的离心率；（2）解：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，的坐标分别为，．联立，得，其判别式，所以，．从而，当时，，即为定值．当直线斜率不存在时，直线即为直线，此时，故存在常数，使得为定值．21．(1)(2)答案见解析(3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义确定切点坐标和斜率，即可得切线方程；（2）根据函数单调性与导数的关系，确定单调性，即可得单调区间；（3）在（2）的基础上，确定函数极小值点，求极小值即可证明.【详解】（1）解：当，，则，因为，所以.所以曲线在的切线方程为.（2）解：函数定义域为.，令，解得：.①当即时，，所以函数的单调递减区间为和，无单调递增区间.②当即时，当和，；当，，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为.③当即时，当和，；当，，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为.综上所述：时，函数的单调递减区间为和，无单调递增区间.时，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为.时，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为.（3）证明：函数定义域为.由题意，函数存在极小值，则在极小值点有定义，且在该点左侧函数单调递减，在该点右侧函数单调递增.由（2）可知，当时，函数在处取得极小值，即；当时，又，函数无极小值，所以函数的极小值一定小于0.22． 【分析】（1）先将曲线C的参数标方程化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标的互化，把普通方程化为极坐标方程；（2）将与的极坐标方程联立，求出直线l与曲线C的交点的极角，代入直线的极坐标方程即可求得极坐标．【详解】消去参数，得曲线的直角坐标方程.将，代入，得.所以曲线的极坐标方程为.将与的极坐标方程联立，消去得.展开得.因为，所以.于是方程的解为，即.代入可得，所以点的极坐标为.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程的互化，直线的极坐标方程与曲线极坐标方程联立求交点的问题，考查计算能力．