2023届甘肃省天水一中高三上学期三模数学试题（解析版）

这是一份2023届甘肃省天水一中高三上学期三模数学试题（解析版），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
天水一中高三上学期三模数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.
1. 设集合，则（）
A. [-1，3] B. [0，3] C. [-1，4] D. [0，4]
2. 设是虚数单位，则复数的虚部为
A. 4 B. 4 C. -4 D. -4
3. 已知，，则等于（）
A. B. C. D.
4. 设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为
A. —2 B. 4 C. 6 D. 8
5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）

A. B. C. D.
6. 已知各项均为正数的等差数列的前20项和为100，那么的最大值是
A50 B. 25 C. 100 D. 2
7. 已知点，，则线段AB的垂直平分线方程为（）
A. B. C. D.
8. 阅读如图的算法框图，输出的结果的值为（）

A. B. C. D.
9. 已知菱形ABCD的对角线AC长为1，则=
A. 4 B. 2 C. 1 D.
10. 已知双曲线－=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为
A. B. C. 2 D.
11. 已知表示两条不同的直线，表示三个不同的平面，给出下列四个命题：
①， ， ，则；②， ， ，则
③；④若，则
其中正确的命题个数有个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
12. 三棱锥中，互相垂直，，是线段上一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥的外接球的表面积是（　　）
A. B. C. D.
13. 函数的大致图象为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
14. 命题“都有”的否定：_______________________________．
15. 函数的值域为____________.
16. 已知方程x2＋有两个不等实根a和b，那么过点A(a，a2)，B(b，b2)的直线与圆x2＋y2＝1的位置关系是________．
17. 已知函数的定义域为，部分对应值如下表．


0
4
5

1
2
2
1
的导函数的图象如图所示：下列关于的命题：


函数是周期函数；函数在是减函数；
如果当时，的最大值是2，那么t的最大值为4；
当时，函数有4个零点
⑤函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个．
其中正确命题的序号是______．
三、解答题
18. 已知中，三个内角、、的对边分别是、、，其中，且.
（1）求证：是直角三角形；
（2）设圆过、、三点，点位于劣弧上，.求四边形的面积.



19. 设数列满足，且．
（1）求，，的值．
（2）证明：数列为等比数列，并求出数列的前项和．
（3）若数列，求数列的前项和．

20. （理科）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且，E是MN的中点.

（1）求证：平面AEC⊥平面AMN；
（2）求二面角M-AC-N余弦值.

21. （文科）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，，，是正三角形，平面平面PBD.


（1）求证：；（2）求三棱锥P-BCD的体积.

22. 已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值．

（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆切于点，当直线与轴正半轴，轴正半轴围成的三角形面积最小时，求点的坐标.

24. 已知函数（）．
（Ⅰ）若，恒有成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数有两个相异极值点，，求证：．

25. 已知函数．
（1）若，求函数的极值和单调区间；
（2）若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．

选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
选修4-4：坐标系与参数方程
26. 已知直线l的参数方程是（是参数），圆C的极坐标方程为．（1）求圆心C的直角坐标；
（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．

选修4-5：不等式选讲
27. 已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当，时恒成立，求实数的取值范围.


天水一中高三上学期三模数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.
1. 设集合，则（）
A. [-1，3] B. [0，3] C. [-1，4] D. [0，4]
【答案】B
【解析】【分析】由题意可得，或，，再根据交集的定义求解即可.
【详解】解：因为，
或，所以，
所以，
即.故选：B.
2. 设是虚数单位，则复数的虚部为
A. 4 B. 4 C. -4 D. -4
【答案】D
【解析】【详解】因为，其虚部为，故选D.
3. 已知，，则等于（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【详解】试题分析：∵，，∴，∴，∴．
考点：平方关系、倍角关系．
4. 设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为
A. —2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】【详解】解析：不等式组表示的平面区域如图所示

当直线过点B（3,0）的时候，z取得最大值6
5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】根据三视图还原几何体，再计算各个面的面积即可得几何体的表面积.
【详解】解：根据三视图还原几何体，如图所示：

由题意可得均为直角三角形，,
又因为,,,,,
所以该四棱锥的表面积.故选：C.
6. 已知各项均为正数的等差数列的前20项和为100，那么的最大值是
A50 B. 25 C. 100 D. 2
【答案】B
【解析】【详解】由等差数列前n项和公式可得： ，
结合题意和均值不等式的结论有： ，
当且仅当时等号成立. 本题选择B选项.
7. 已知点，，则线段AB的垂直平分线方程为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】应用两点式求线段AB的斜率，进而可得垂直平分线的斜率，结合中点坐标及点斜式写出垂直平分线方程.
【详解】由题设，，故线段AB的垂直平分线的斜率为2，又中点为，所以线段AB的垂直平分线方程为，整理得：.
故选：B
8. 阅读如图的算法框图，输出的结果的值为（）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【详解】试题分析：由程序框图知，该程序的功能是计算的值，由函数的周期性，知该等式中每连续个的值等于，而，所以这个值等于前个的和，即，故选B．
考点：1、程序框图；2、周期函数．
【方法点睛】函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值，以及解决与周期有关的函数综合问题．解决此类问题的关键是充分利用题目提供的信息，找到函数的周期，利用周期在有定义的范围上进行求解．
9. 已知菱形ABCD的对角线AC长为1，则=
A. 4 B. 2 C. 1 D.
【答案】D
【解析】【分析】根据平面向量的数量积定义，写出，由零星的对角线互相垂直平分，利用三角中余弦函数的定义、以及，即可得到答案．
【详解】解：菱形的对角线、相交于点，则，且．
由平面向量的数量积定义可知：，
故选：D．
10. 已知双曲线－=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】【分析】先设P的坐标（x，y），焦半径得丨PF1丨＝ex+a，丨PF2丨＝ex﹣a，根据|PF1|＝4|PF2|，进而可得e的关于x的表达式．根据p在双曲线右支，进而确定x的范围，得到e的范围．
【详解】设P（x，y），由焦半径得丨PF1丨＝ex+a，丨PF2丨＝ex﹣a，
∴ex+a＝4（ex﹣a），化简得e＝，∵p在双曲线的右支上，∴x≥a，
∴e≤，即双曲线的离心率e的最大值为.故选A．
【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线定义的灵活运用．求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中与椭圆中的关系不同．求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齐次关系式,将用表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围．
11. 已知表示两条不同的直线，表示三个不同的平面，给出下列四个命题：
①， ， ，则；②， ， ，则
③；④若，则
其中正确的命题个数有个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】【详解】对于①来说，要得到，需要n⊥，但n只垂直平面内一条直线m，故得不到n⊥，错误;
对于②来说，若m⊥α，且m⊥n，则n∥α或n⊂α，又由n⊥β，可得α⊥β，故②正确；
对于③来说，若则，又，∴，故③正确；
对于④来说，由，，可知，同理，∴，故③正确，
故选C
12. 三棱锥中，互相垂直，，是线段上一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥的外接球的表面积是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【详解】是线段上一动点，连接，∵互相垂直，∴就是直线与平面所成角，当最短时，即时直线与平面所成角的正切的最大．
此时，，在直角△中，．
三棱锥扩充为长方体，则长方体的对角线长为，∴三棱锥的外接球的半径为，
∴三棱锥的外接球的表面积为．选B.
点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．
13. 函数的大致图象为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】【分析】求出函数的导数，根据导数求出函数的单调性，即可判断.
【详解】函数，，
和时，，单调递减；
时，，单调递增，只有D符合.故选：D.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
14. 命题“都有”的否定：_______________________________．
【答案】使得
【解析】【详解】试题分析：特称命题的否定式全称命题，否定时将结论加以否定，的否定为，所以命题的否定为使得
考点：全称命题与特称命题
15. 函数的值域为____________.
【答案】
【解析】【详解】
由于当时，有最大值
当时，有最小值故函数的值域为
16. 已知方程x2＋有两个不等实根a和b，那么过点A(a，a2)，B(b，b2)的直线与圆x2＋y2＝1的位置关系是________．
【答案】相切.
【解析】【详解】分析：由题意得过两点的直线方程为，利用圆心到直线的距距等于半径，即可判定直线与圆的位置关系．
详解：由题意可知过两点的直线方程为，
圆心到直线的距离为，而，
因此，化简后得，故直线与圆相切．
点睛：本题主要考查了直线与圆的位置关系的判定，熟记直线与圆的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．
17. 已知函数的定义域为，部分对应值如下表．


0
4
5

1
2
2
1
的导函数的图象如图所示：下列关于的命题：


函数是周期函数；函数在是减函数；
如果当时，的最大值是2，那么t的最大值为4；
当时，函数有4个零点
⑤函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个．
其中正确命题的序号是______．
【答案】②⑤
【解析】【分析】首先由导函数的图像和原函数的关系画出原函数的大致图像,然后结合着函数的性质以及零点即可求解.
【详解】由图得：①为假命题，因为周期函数的定义域为，而的定义域为，所以①为假命题．
②为真命题．因为在上导函数为负，所以原函数为递减．
③为假命题．当时，也满足时，的最大值是．
④为假命题．当靠近时，对于第二个图，有个零点．也可以是个零点．
⑤为真命题．当时有个零点，当时有个零点，由④知存在个零点，个零点，当时有个零点．


答案为：②⑤．
三、解答题
18. 已知中，三个内角、、的对边分别是、、，其中，且.
（1）求证：是直角三角形；
（2）设圆过、、三点，点位于劣弧上，.求四边形的面积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】【分析】（1）结合已知及正弦定理得，结合二倍角公式得，根据的取值范围得，进而求得的值，即可完成证明；
（2）由，根据三角形的面积公式求四边形的面积．
小问1详解】
根据正弦定理得：，整理为，即，
或，即或，而
，即，故是直角三角形.
【小问2详解】
由（1）得：，.
在中，,.
.
连接，在中.

四边形的面积.
19. 设数列满足，且．
（1）求，，的值．
（2）证明：数列为等比数列，并求出数列的前项和．
（3）若数列，求数列的前项和．
【答案】（1），，；（2）证明见详解，；
（3）.
【解析】【分析】（1）根据递推公式与，直接代入可求得每一项的值；
（2）由推得，满足等比数列的概念，再求首项，进而求出，据此再求出；
（3），，裂项求和即可．
【小问1详解】
，，，.
【小问2详解】
由，得，又，可知是首项为，公比为的等比数列，
，故，.
【小问3详解】
由（1）得，，∴，.
20. （理科）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且，E是MN的中点.

（1）求证：平面AEC⊥平面AMN；
（2）求二面角M-AC-N余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】(1)由题意可得，从而可得⊥，⊥，进而可得⊥平面,即可证明结论；
(2) 连接BD交AC与点O，连接MO，NO，由题意可知都是边长为的等边三角形，从而得为二面角M-AC-N的平面角，在中，由余弦定理求解即可.
【小问1详解】
证明：因为MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，所以∥，
又因为，四边形ABCD是边长为1的正方形，
所以四边形为矩形，所以，
又因为E是MN的中点，所以⊥，⊥，
又因为，所以⊥平面,又因为平面AMN
所以平面AEC⊥平面AMN；
【小问2详解】
解：连接BD交AC与点O，连接MO，NO，则O为AC中点，

因为都是边长为的等边三角形，所以,
所以为二面角M-AC-N的平面角，在中，，
所以.
21. （文科）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，，，是正三角形，平面平面PBD.


（1）求证：；（2）求三棱锥P-BCD的体积.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】(1) 取中点，连接，由题意可得平面PBD，进而可得，在中，先由余弦定理可得1，再由勾股定理的逆定理可得，从而可得平面，即可证明；
(2) 取中点，连接，由是边长为1正三角形及平面，可得平面，从而得为三棱锥P-BCD的高，再根据棱锥的体积公式计算即可.
【小问1详解】
证明：取中点，连接，

因为是边长为1正三角形，所以，
又因为平面平面PBD，平面平面PBD，
所以平面PBD，又因为平面PBD，
所以①，又因为在中，，，
由余弦定理可得，
所以,所以②，又因为③，
由①②③可得平面，又因为平面，所以；
【小问2详解】
解：取中点，连接，

因为是边长为1正三角形，所以且，
由(1)可知平面，平面，所以，又因，
所以平面，即有平面，所以为三棱锥P-BCD的高，
又因为ABCD为平行四边形，所以,
所以
22. 已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【详解】（Ⅰ）因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，
所以，又椭圆的离心率为，即，所以，
所以，. 所以，椭圆的方程为.
（Ⅱ）不妨设直线的方程.
由消去得，设，，
则有，. ① 因为以为直径的圆过点，所以.由，得.
将代入上式，得.
将 ① 代入上式，解得或（舍）.
所以（此时直线经过定点，与椭圆有两个交点），
所以
. 设，
则.所以当时，取得最大值.
23. 已知直线被圆所截得的弦长为8.
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆切于点，当直线与轴正半轴，轴正半轴围成的三角形面积最小时，求点的坐标.
【答案】（1）；（2）
【解析】【分析】（1）利用点到直线的距离公式求出圆心到弦所在直线的距离，再利用弦长公式求出圆的半径即可求解；
（2）设出直线和圆的切点，求出切点坐标和切线方程，求出切线方程和坐标轴的交点坐标，利用直角三角形的面积公式得到表达式，再利用基本不等式求其最值．
【小问1详解】
因为圆的圆心到直线的距离为，所以，
所以圆的方程；
【小问2详解】
设直线与圆切于点，则，显然直线的斜率必存在且不为0，因为，
所以圆切线的斜率为，则切线方程为，即，则直线与轴正半轴的交点坐标为，
与轴正半轴的交点坐标为，所以围成的三角形面积为，因为，所以，
当且仅当时，等号成立，因为，，所以，所以，
所以当时，取得最小值18，所以所求切点的坐标为.
24. 已知函数（）．
（Ⅰ）若，恒有成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数有两个相异极值点，，求证：．
【答案】（1）;（2）见解析.
【解析】
【详解】试题分析：（1）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可，
（2）函数g（x）=f（x）-x有两个极值点x1、x2，即导函数g′（x）有两个不同的实数根x1、x2，对a进行分类讨论，令，构造函数φ（t），利用函数φ（t）的单调性证明不等式．
试题解析：
（Ⅰ）由，恒有，即，对任意成立，
记，，当，，单调递增；
当，，单调递减，最大值为，
∴，．
（Ⅱ）函数有两个相异的极值点，，
即有两个不同的实数根．
①当时，单调递增，不可能有两个不同的实根；
②当时，设，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
∴，∴，
不妨设，∵，∴，，，
先证，即证，
即证，
令，即证，设，
则，函数在单调递减，
∴，∴，又，∴，
∴．
25. 已知函数．
（1）若，求函数的极值和单调区间；
（2）若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）取得极小值为，的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）.
【解析】【分析】（1）求函数的导数，令导数等于零，解方程，再求出函数的导数和驻点，然后列表讨论，求函数的单调区间和极值；
（2）若在区间上存在一点，使得成立，其充要条件是在区间上的最小值小于即可．利用导数研究函数在区间上的最小值，先求出导函数，然后讨论研究函数在上的单调性，将的极值点与区间的端点比较，确定其最小的极值点．
【详解】解：的定义域为，
因为，（1）当时，，令，得，
又的定义域为，，随的变化情况如下表:


1



0


单调递减
极小值
单调递增
所以时，取得极小值为．的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）因为，且．令，得，
若在区间上存在一点，使得成立，
其充要条件是在区间上的最小值小于0即可．
当，即时，对成立，
所以，在区间上单调递减，
故在区间上的最小值为，
由，得，即．
当，即时，
若，则对成立，
所以在区间上单调递减，所以，在区间上的最小值为
，显然，在区间上的最小值小于不成立．
若，即时，则有









单调递减
极小值
单调递增
所以在区间上的最小值为．由，得，解得，即．
综上，由可知符合题意．
【点睛】本题考查利用导函数来研究函数的极值以及在闭区间上的最值问题．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值，体现了转化的思想和分类讨论的思想，同时考查学生的分析问题解决问题及计算能力；较难．
选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
选修4-4：坐标系与参数方程
26. 已知直线l的参数方程是（是参数），圆C的极坐标方程为．（1）求圆心C的直角坐标；
（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．
【答案】（1）；（2）
【解析】【分析】（1）在圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）的两边同时乘以ρ，即可得圆的直角坐标方程，从而求圆心的直角坐标.（2）先把切线长表示出来再去求最小值.
【详解】（1）∵，∴，
∴圆C直角坐标方程为，
即，∴圆心直角坐标为．
（2）直线上的点向圆C 引切线长是

∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是
【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，属于中档题．
选修4-5：不等式选讲
27. 已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当，时恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】【分析】（1）利用零点分区间法去绝对值号，解不等式即可；（2）先利用绝对值三角不等式求出，解不等式求出实数的取值范围.
【小问1详解】
当时，.

所以可化为：
或或
解得：或或.所以.
所以的解集为.
【小问2详解】
由绝对值三角形不等式可得：.
（当且仅当等号成立），
所以，都有成立只需，
当，即时，上式成立；
当，即时，，解得.
所以.
所以实数的取值范围是