2023届宁夏平罗中学高三（理尖班）上学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

2023届宁夏平罗中学高三（理尖班）上学期第一次月考数学（理）试题

一、单选题

1．若复数（i为虚数单位），则在复平面内z所对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】根据复数除法化简，进而可得点的坐标，即可求解.

【详解】复数，

对应点为，位于第二象限，

故选：B

2．已知全集，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据根式的定义域与指数函数的值域求解即可.

【详解】由题意，，，故.

故选：A

3．设实数，满足，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】对于A，B，D可以取特殊值验证，对于C，根据题意得，，利用基本不等式求解即可.

【详解】对于A：当，时不成立，故A错误；

对于B：当，，所以，，即，故B错误；

对于C：因为，所以，又，

所以（等号成立的条件是），故C正确.

对于D：当，时不成立，故D错误；

故选：C.

4．在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则冬至所对的晷长为（    ）

A．11.5尺 B．13.5尺 C．12.5尺 D．14.5尺

【答案】B

【分析】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为,则立冬到冬至增加,冬至到雨水减少4,冬至的晷长为,根据题意，结合等差数列的性质，列出方程组求解即得.

【详解】解：设相邻两个节气晷长减少或增加的量为,则立冬到冬至增加,冬至到雨水减少4,冬至的晷长为,则,解得,

故选：B.

5．已知向量，不共线，则“”是“，夹角为锐角”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据向量模长相等可得，进而根据不共线得两向量的夹角为锐角，反之不行，即可判断.

【详解】设，夹角为，

由得，

由于，不共线，则，均为非零向量，且夹角不为0和，因此,进而，

而若“，夹角为锐角”，不一定能满足，因此不一定相等，

故“”是“，夹角为锐角”的充分不必要条件，

故选：A

6．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，再根据利用两角和的余弦公式计算可得.

【详解】解：因为，所以，又，

所以，

所以

故选：C

7．将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若为奇函数，则ω的最小值为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】C

【分析】根据伸缩及平移变换得到函数，结合奇偶性得到，从而得到结果.

【详解】由题意，，

因为为奇函数，所以，解得，

又，所以当k＝0时，ω取得最小值2．

故选：C

8．等比数列的各项均为正数，且，则（    ）

A．20 B．15 C．8 D．

【答案】B

【分析】由等比数列的性质计算．

【详解】是等比数列，则，，，

，

故选：B．

9．已知等差数列满足，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质求出公差，再由前n项和公式求出首项，即可得解.

【详解】设等差数列的公差为，

则

，

即，解得.

又，解得.

所以，

故选：B

10．在边长为4的等边△ABC中，已知，点P在线段CD上，且，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】将用和表示，再根据三点共线，求出的值，再根据即可得出答案.

【详解】解：，

因为三点共线，所以，所以，

所以，

则.

故选：C.

11．已知数列满足，，则的最小值为（    ）

A．0 B． C． D．3

【答案】C

【分析】根据题意，利用叠加法求得，得到，结合的单调性，即可求解.

【详解】由数列满足，且，

可得

，

则，

因为函数在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，；当时，；当时，，

所以的最小值为.

故选：C.

12．如图为等腰三角形，，以为圆心，为半径的圆分别交与点，点是劣弧上的一点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据平面向量的线性运算以及数量积的运算律，结合两角和与差的余弦公式，将化为，再根据三角函数知识可求出结果.

【详解】

,

因为，所以，

所以，

所以，

所以的取值范围是.

故选：A

二、填空题

13．非零向量、满足，，则___________.

【答案】

【分析】根据数量积的运算律得到，再根据数量积的运算律计算可得.

【详解】解：因为，所以，即，

所以，

所以.

故答案为：

14．设数列的前项和为，若，，则的通项公式为__________．

【答案】

【分析】根据可得，由此可证得数列是等比数列，由此可得；利用与的关系可求得.

【详解】由得：，即，

又，数列是以为首项，为公比的等比数列，；

当时，；

当时，；

经检验：不满足；

故答案为：.

15．已知，命题p：，；命题q：，，且为真命题，则a的取值范围为______．

【答案】

【分析】先求出命题p,q为真命题时的a的取值范围，根据为真可知p,q都是真命题,即可求得答案.

【详解】命题p：，为真时，有 ，

命题q：，为真时，则有 ，

即 ，

故为真命题时，且，即，

故a的取值范围为，

故答案为：

16．已知数列满足．若对任意，（且）恒成立，则m的取值范围为___________．

【答案】

【分析】根据题意求数列的通项公式，再结合等比数列的前项和公式求，结合恒成立分析可得，再根据对数函数讨论求解.

【详解】当时，则

当时，由，得，

两式相除得，n =1时也符合，

∴

则，

因为对任意，（且）恒成立，

所以，所以，

当时，由，得，则，

当时，由，得，则，

综上所述：．

故答案为：.

三、解答题

17．在等比数列中，公比，等差数列满足，，.

(1)求数列与的通项公式；

(2)记，求数列的前项和.

【答案】(1)；；

(2)

【分析】（1）先设等差数列的公差为，根据题中所给条件，求出公差和公比，进而可求出通项公式；

（2）根据等差数列和等比数列的求和公式，再由分组求和的方法即可求出结果.

【详解】(1)设等差数列的公差为，

因为等比数列的公比为（），，，，

所以，则，解得或（舍）

所以数列的通项公式为：；

数列的通项公式为；

(2)由（1）可得，

所以数列的前项和

.

18．已知函数.

(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；

(2)求函数在区间的值域；

(3)若函数在区间内有两个不同的零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)，；

(2)

(3)

【分析】（1）由二倍角公式和辅助角公式化简，进而根据周期公式以及整体法求单调区间，

（2）由范围得的范围，结合正弦函数的性质即可求解值域，

（3）数形结合即可求解.

【详解】(1)由得,，

故最小正周期为，

由，解得，

故的单调递增区间为；

(2)因为，所以，，

所以，即的值域为；

(3)令，则，故问题转化为在区间内有两个不同的根，令，且，则问题等价于在有两个根，由的图象可知：当时，有两个根.故

19．检测新型冠状病毒特异序列的方法最常见的是荧光定量PCR（聚合酶链式反应）.在PCR反应体系中，如反应体系存在靶序列，PCR反应时探针与模板结合，DNA聚合酶沿模板利用酶的外切酶活性将探针酶切降解，报告基团与淬灭基团分离，发出荧光.荧光定量PCR仪是病毒检测过程中的核心设备，能够监测出荧光到达预先设定阈值的循环数（Ct值）与病毒核酸浓度有关，病毒核酸浓度越高，Ct值越小.某第三方核酸检测机构先后采用过甲、乙两家公司的荧光定量PCR仪，日核酸检测量分别为600管和1000管，现两家公司分别推出升级方案，受各种因素影响，升级后核酸检测量变化情况与相应概率p如下表所示：

甲公司：

乙公司：

(1)求至少有一家公司的升级方案使得日核酸检测量增加不低于50％的概率；

(2)以日核酸检测量为依据，该检测机构应选哪家公司的仪器？

【答案】(1)

(2)乙公司

【分析】(1)根据题意，至少有一家公司的升级方案使得日核酸检测量增加不低于50％”的事件有三种情况，分别求出其概率，再用概率加法公式计算即可.

(2)分别求出甲、乙公司的仪器和改造方案后日核酸检测量的分布列以及数学期望，再比较甲、乙公司的数学期望即可判断得出结论.

【详解】(1)记事件A为“甲公司的方案使日核酸检测量增加不低于50％”，

事件B为“乙公司的方案使日核酸检测量增加不低于50％”，

事件C为“至少有一家公司的升级方案使得日核酸检测量增加不低于50％”

则，且A，B相互独立.

由题意可知，.

，

故至少有一家公司的升级方案使得日核酸检测量增加不低于50％的概率为.

(2)设采用甲公司的仪器和改造方案后日核酸检测量为X，采用乙公司的仪器和改造方案后日核酸检测量为Y，

随机变量X的分布列为：

则.

随机变量Y的分布列为：

则.

故，应该选择乙公司的仪器.

20．密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状､大小完全相同的平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙､不重叠地铺成一片.皇冠图形（图1）是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面凹四边形组成.为测皇冠图形的面积，测得在平面凹四边形（图2）中，，，.

(1)若，，求平面凹四边形的面积；

(2)若，求平面凹四边形的面积的最小值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用余弦定理可得，然后利用余弦定理，同角关系式及三角形面积公式即得；

（2）利用余弦定理及基本不等式可得，进而可得平面凹四边形面积的最小值.

【详解】(1)如图，连接，

在中，，，，

由余弦定理，得，，

在中，，，，

，

∴，

∴，又，

∴；

(2)由（1）知，，

中，，

∴，当且仅当时等号成立，

∴，

∴，

∴，

∴当且仅当时，平面凹四边形面积取得最小值.

21．如图，棱柱，底面ABCD是平行四边形，侧棱底面，过的截面与侧面交于；且点在棱上，点在棱上，且

(1)求证：；

(2)若为的中点，与平面所成的角为，求侧棱的长.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由面，利用线面平行的性质定理，可得证；

（2）连接，分析可得为与平面所成的角，则，求解即可.

【详解】(1)在棱柱中，面面，

面面，由线面平行的性质定理有，

又，故.

(2)证明：在底面中，.

又因为侧棱底面，则底面

面

又面

连接，则为与平面所成的角为，

因为，

所以，在中，，

解得，故

22．已知曲线的参数方程为：（为参数），（为参数）.

(1)将参数方程化为普通方程；

(2)若点P是曲线上的动点，求P点到的距离的最小值.

【答案】(1)，

(2)1

【分析】（1）曲线的参数方程消去参数，能求出的普通方程；曲线的参数方程消去参数，能求出的普通方程；

（2）求出圆心到直线的距离为，P点到的距离的最小值为.

【详解】(1)已知曲线的参数方程为：（为参数），化为普通方程为：

曲线的参数方程（为参数），化为普通方程为：.

所以圆直线.

(2)圆的圆心为，

所以圆心到直线的距离为，

圆的半径为1，所以点到的距离的最小值为.

所以P点到的距离的最小值为1.

23．已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分类讨论去绝对值后再求解不等式即可；

（2）讨论，当时，利用绝对值的三角不等式求解的最大值即可；

【详解】(1)，

当时，，即，

当时，，解得，即，

当时，，解得，此时无解，

综上：不等式的解集为；

(2)时上述不等式显然成立，

当时，上述不等式可化为，

令，当且仅当时等号成立，

所以，即实数的取值范围为．