2023届陕西省安康市高三上学期9月联考数学（理）试题（解析版）

2023届陕西省安康市高三上学期9月联考数学（理）试题

一、单选题

1．设集合A＝{x∈Z|－1≤x≤2}，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出集合A，B，利用交集定义能求出．

【详解】集合，集合，

∴．

故选：D．

2．设i为虚数单位，若复数z满足，则（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】C

【分析】先将复数化简，然后求出其模，最后代入求出答案即可.

【详解】由已知得，所以，所以.

故选:C.

3．在中，D，E分别是线段AB，BC上的点，且，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据已知条件结合平面向量基本定理将用表示，从而可求出的值，进而可求得.

【详解】因为，，

所以，，

所以，

所以，，

所以.

故选：A.

4．下列函数中，既是偶函数且在上又是减函数的是（    ）

①；②；③；④．

A．①④ B．②③ C．③ D．②

【答案】C

【分析】根据偶函数的定义和函数的单调性逐个分析判断.

【详解】对于①，因为，所以此函数是偶函数，但在上不是单调函数，所以①错误，

对于②，因为，所以此函数不是偶函数，所以②错误，

对于③，定义域为，因为，所以此函数为偶函数，且在上单调递减，所以③正确，

对于④，定义域为，因为，所以此函数为奇函数，所以④错误，

故选：C．

5．若，则（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意，根据同角三角函数的关系式进行弦化切，结合正切函数的和角公式，可得答案.

【详解】因为，所以，解得，

所以．

故选：B．

6．已知，，，，若“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C．或 D．且

【答案】C

【分析】分类讨论为真和为真时，的取值，进而利用集合的交集关系，即可求解

【详解】若p真，则；若q真，则或．又因为“p且q”是真命题，所以或．

故选：C．

7．在中，“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用同角的三角函数关系和诱导公式分别证明充分性和必要性，进而得出结果.

【详解】若，则，

即，

所以，所以，即，所以，

所以，所以，

所以“”是“”的充分条件．

若，则，则，

即，所以，所以或，

所以“”不是“”的必要条件，

所以“”是“”的充分不必要条件．

故选：A．

8．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数学家秦九韶在《算书九章大衍求一术》中将此问题系统解决.“大衍求一术”属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”.现有一道同余式组问题:将正整数中， 被4除余1且被6除余3的数，按由小到大的顺序排成一列数，记的前项和为，则 （    ）

A．495 B．522 C．630 D．730

【答案】C

【分析】归纳出被4除余1且被6除余3的正整数的形式，即得通项公式，确定数列是等差数列，再由等差数列前项和公式得结论．

【详解】被4除余1的正整数为形式，

被6除余3的正整数为形式，

被4除余1且被6除余3的数最小的正整数是9，它们可表示为，

即，是等差数列，

，，，

故选：C．

9．已知函数．则关于说法错误的是(    )

A．的图象向右平移个单位长度后所得的函数为

B．的图象与的图象关于y轴对称

C．的单调递减区间为

D．在上有3个零点，则实数a的取值范围是

【答案】D

【分析】利用三角恒等变换公式化简f(x)解析式.根据图象平移对解析式的影响即可判断A，根据正弦函数对称性即可判断B，根据正弦函数单调性即可判断C，根据正弦函数图象的性质可判断D．

【详解】﹒

对于选项A，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，∴选项A正确；

对于选项B，∵，

∴与图象关于y轴对称，∴选项B正确；

对于C，由得，

即的单调递减区间为，∴选项C正确；

对于D，如图为的图象，

由图可知，在上有3个零点，则，解得，

∴选项D错误．

故选：D．

10．已知椭圆，其左､右焦点分别为，，离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，若的内切圆的面积为，则该椭圆的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由离心率的值，可得的关系，由三角形的内切圆的面积，求出内切圆的半径，再由及余弦定理可得的值，进而求出的面积，再由，可得的值，进而求出椭圆的方程．

【详解】由离心率，得，即．

因为的内切圆的面积为，设内切圆的半径为，所以，解得，

由椭圆的定义可知，

在中，，由余弦定理得，

即，

∴，

∴，可得，

所以，

而，

所以可得，解得，，

由，得，

所以该椭圆的方程为．

故选：A．

11．下列函数中，最大值是1的函数是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由可判断出A错误；由可判断B错误；由可判断C错误；令，则的值域即为直线的斜率的范围，即可判断出D正确.

【详解】对于A，，当且仅当，即时取“=”，即当时，，A不正确；

对于B，，当时，，故B错误；

对于C，，显然最大值为1，此时，而时，函数无意义，即取不到1，故C不正确；

对于D，令，则的值域即为直线的斜率的范围，显然点在圆上，

设直线的方程为，即，

则圆心到的距离，解得．故，故D正确．

故选：D．

12．已知函数，对任意的实数，且，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】不妨设，则由题意可得，令，则在上单调递增，所以在上恒成立，再次转化为．在上恒成立，令，利用导数求出其最大值即可.

【详解】不妨设，由，得，

即，

令，所以对任意的实数时，都有，

即在上单调递增，所以在上恒成立，

即．在上恒成立．

令．则，

令，解得，令，解得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，所以，

即实数a的取值范围是．

故选：B．

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数研究函数的单调性，解题的关键是设，然后将原不等式化为，令，将问题转化为在上单调递增，即可得在上恒成立，然后分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可，考查数学转化思想，属于较难题.

二、填空题

13．若角的终边在第四象限，且，则________．

【答案】0.75

【分析】求出，，再根据诱导公式得到答案.

【详解】因为角的终边在第四象限，且，所以，，所以．

故答案为：.

14．已知曲线的一条切线是，则实数________．

【答案】1

【分析】设切点坐标，根据导数的几何意义求出切线方程，对比列方程求解即可.

【详解】设切点为，又，所以，所以切线方程为，即，所以，

解得，．

故答案为：1.

15．如图，在中，，，.点D是线段BC上的一点，且，则CD长为___________.

【答案】1.6

【分析】过A作BC的垂线，垂足为E，由题可得，进而可得，即得.

【详解】如图，过A作BC的垂线，垂足为E，

在△ABC中，，，，

所以，

所以，

在△ABE中，，，，

所以，

在△AED中，，，，

所以，

所以.

故答案为：.

16．对于定义域为D的函数，若存在且．使得，则称函数具有性质M，若函数具有性质M．则实数a的最小值为______．

【答案】

【分析】由题意，明确自变量取值范围，列出方程，求得对于自变量取值，可得答案.

【详解】因为具有性M．

所以，

因为函数在上递减，在上递增，

所以可设，

由得，，

则，故，∴，

又，

∴，即，

∵，∴，，∵，∴，则实数a的最小值为．

故答案为：.

三、解答题

17．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，.

(1)求角B的大小；

(2)若，，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，利用正弦定理得到化简求解；

（2）由，再由，结合正弦定理和三角形面积公式求解.

【详解】(1)解：由，

得，

因为B，，

则且，

所以，

即，

则，

得，

所以.

(2)，

，

，

又，

所以，

所以，

故.

18．设数列的前n项和为，已知.

(1)求数列的通项公式；

(2)已知数列是等差数列，且，.设，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据，消元得到，故为等比数列，进而求出通项公式；

（2）由题意，得到的通项公式，进一步得到，利用错位相减法，得到数列的前项和.

【详解】(1)因为，所以，

两式相减，可得，整理得，即，

因为在中当时，，所以，

所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，

所以.

(2)易知，，所以公差，

所以，所以，

因为，

则，

两式相减可得，

即.

19．如图，在三棱锥中，平面PAB，，，，.

(1)求证：；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）由线面垂直的性质可得，再利用勾股定理可得，从而可证得平面ABC，再根据线面垂直的性质即可得证；

（2）以点B为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】(1)证明：∵平面PAB，平面PAB，∴，

又，，，所以，

∴，

∵，AB，平面ABC，∴平面ABC，

又平面ABC，∴；

(2)解：以点B为坐标原点，BA，BP所在直线分别为y，z轴，以过点B平行于AC的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（0，1，0），B（0，0，0），C（2，1，0），P（0，0，），

则，，，，

设平面PBC的法向量，

则，令，则，，

所以平面PBC的一个法向量，

设平面PAC的法向量，

同理可得平面PAC的一个法向量，

则，

由图易知二面角为锐角，

∴二面角的余弦值为.

20．国庆节期间，某大型服装团购会举办了一次“你消费我促销”活动，顾客消费满300元（含300元） 可抽奖一次， 抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）.

方案一: 从装有5个形状、大小完全相同的小球（其中红球1个， 黑球4个）的抽奖盒中，有放回地摸出3个球，每摸出1次红球，立减100元.

方案二: 从装有10个形状，大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中， 不放回地摸出3个球，中多规则为:若摸出2个红球，1个白球，享受免单优惠;若摸出2个红球和1个黑球则打5折;若摸出1个红球，1个白球和1个黑球，则打7.5折;其余情况不打折.

(1)某顾客恰好消费300元，选择抽奖方案一，求他实付金额的分布列和期望;

(2)若顾客消费500元，试从实付金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理?

【答案】(1)分布列见解析，240元

(2)选择方案一更合理.

【分析】（1）确定的可能的取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列，根据期望公式求得期望；

（2）计算两种方案下的实付金额的期望值，比较其大小，即可作出判断.

【详解】(1)设实付金额为元， 可能的取值为0，100，200，300，

则 ，

，

故的分布列为

所以（元）.

(2)若选择方案一， 设摸到红球的个数为，实付金额为， 则，

 由题意可得 ， 故，

所以（元）；

若选择方案二， 设实付金额为元，可能的取值为0，250，375，500，

则，

故的分布列为

所以（元）.

因为，

故从实付金额的期望值分析顾客选择方案一更合理.

21．已知函数，.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）对求导，然后分和两种情况讨论即可；

（2）利用分离参数的思路将原不等式转化成，然后求出的最小值即可.

【详解】(1)函数的定义域为，

所以.

当时，，所以在上单调递增；

当时，令得，令得，

所以在上单调递减：在上单调递增.

综上，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.

(2)因为对恒成立，

即对恒成立.

设，其中，

所以，，

设，其中，则，

所以，函数在上单调递增.

因为，，

所以，存在，使得，

当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，

所以.

因为，则，

设，其中，则，

所以函数在上为增函数，

因为，则，则，

由可得，所以，

所以，可得，

所以，所以.

所以实数a的取值范围为.

【点睛】解决恒成立问题，通常情况下有两个思路，一是直接求导，对参数讨论确定单调性，进而求出最值，解决问题；一是参变分离，进而构造新的函数，求导得出最值，使问题得以解决.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求的极坐标方程和的直角坐标方程；

(2)若与交于，两点，求的值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）消去参数得到直线的普通方程，从得到其极坐标方程，根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）把代入曲线的极坐标方程，即可求出，从而得解.

【详解】(1)解：因为直线的参数方程为（为参数），

所以消去直线参数方程中的参数得，即，显然直线过原点，倾斜角为，直线的极坐标方程为．

曲线的极坐标方程化为，

将代入得：，即，

所以的极坐标方程为，的直角坐标方程为．

(2)解：把代入得，解得，

所以，

所以．

23．已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)设，若的最小值为m，实数a，b，c均为正，且，求的最小值.

【答案】(1)

(2)最小值为3

【分析】（1）根据x的范围分段取绝对值符号，求解可得；

（2）利用绝对值三角不等式求得m，然后妙用“1”，展开使用基本不等式可得.

【详解】(1)，即.

当时，，解得；

当时，，解得，又，所以；

当时，，解得，又，所以.

综上，不等式的解集为.

(2)，

当且仅当，即时取等号，所以，即.

所以，

，当且仅当时，等号成立，

即的最小值为3.