2023届上海市复兴高级中学高三上学期开学考数学试题（解析版）

这是一份2023届上海市复兴高级中学高三上学期开学考数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届上海市复兴高级中学高三上学期开学考数学试题 一、单选题1．在平面上，到点的距离等于到直线的距离的动点的轨迹是（    ）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线【答案】D【分析】根据抛物线的定义判断即可.【详解】解：因为点不在直线上，则到点的距离等于到直线的距离的动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线；故选：D2．已知函数的导数是，那么“函数在R上单调递增”是“”的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用定义法直接判断.【详解】充分性：因为函数在R上单调递增，所以.即充分性成立；必要性：取特殊函数，有符合“”，但是不符合“函数在R上单调递增”.即必要性不满足.所以已知函数的导数是，那么“函数在R上单调递增”是“”的充分不必要条件.故选：A3．在棱长为1的正方体中，为棱上的定点，动点在正方体表面上运动，满足，如果动点的轨迹是一个三角形，那么这个三角形是（    ）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能【答案】A【分析】在平面中过点作交于点，在平面中过作，连接、，即可证明平面，从而得到在的边上，即可判断轨迹三角形的形状.【详解】解：如图，在平面中过点作交于点，（当在时恰为点，当在点时点也恰为点，满足点（即）使得），在平面中过作，连接、，由正方体的性质可得，平面，平面，所以，，平面，所以平面，平面，所以，所以，，平面，所以平面，因为，所以，又动点在正方体表面上运动，所以在的边上，显然，所以，所以为等腰三角形，又，所以不可能为直角三角形或钝角三角形；故选：A4．已知函数f(x)=，函数g(x)=b-f(3-x)，其中b∈R，若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点，则实数b的取值范围是（    ）A． B．C． D．(-3，0)【答案】B【分析】函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点，即y=b与h(x)=f(x)+f(3-x)的图象有4个不同的交点，求出并化简的解析式，画出图象可得实数b的取值范围．【详解】因为f(x)= ，所以f(3-x)= ，由y=f(x)-g(x)=f(x)+f(3-x)-b=0.得b=f(x)+f(3-x)，令h(x)=f(x)+f(3-x)=，函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点，即y=b与h(x)=f(x)+f(3-x)的图象有4个不同的交点，作出函数图形如图：结合函数的图象可得，当-3<b<-时，函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点，所以实数b的取值范围是故选：B【点睛】本题考查函数零点问题的应用，考查函数的图象，考查函数与方程思想和数形结合思想，属于中档题． 二、填空题5．已知，则____________．【答案】【分析】由共轭复数和复数模的定义计算．【详解】因为，所以．故答案为：．6．已知集合，，则____________．【答案】【分析】求出集合，利用交集的定义可求得结果.【详解】由可得，解得，所以，，因此，.故答案为：.7．已知，那么____________．【答案】【分析】利用诱导公式可求得的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值.【详解】由诱导公式可得，，因此，.故答案为：.8．已知二项式展开式中，项的系数为80，则______.【答案】2【分析】根据二项展开式的通项公式，将项的系数表达式求出等于 ，再求解关于的方程即可．【详解】的展开式的通项为，令，得，则项的系数，解得；故答案为：．9．函数的定义域为____________．【答案】【分析】根据式子有意义得到不等式组，解得即可.【详解】解：依题意，解得，所以函数的定义域为；故答案为：10．关于排列组合的方程的解是____________．【答案】【分析】根据组合数的性质及排列数转化为的方程，解得即可.【详解】解：因为，所以，即为，解得；故答案为：11．已知函数的最小值为，则实数____________．【答案】【分析】利用参变量分离法可知，再利用基本不等式可得出关于的等式，即可得解.【详解】由题意可知对任意的恒成立，即，另一方面，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，，另一方面，由基本不等式可得，可得，当且仅当时，即当时，等号成立，故.故答案为：.12．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是．从开关第一次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是，那么第二次闭合后出现红灯的概率是____________．【答案】【分析】由条件概率公式计算．【详解】记第一次闭合后出现红灯为事件，则第一次出现绿灯为事件，第二次闭合后出现红灯为事件，出现绿灯为，，，，所以．故答案为：．13．已知函数，，若对任意，都存在，使得等式，则实数的取值范围是____________．【答案】【分析】分析可知函数在上的值域是函数在上值域的子集，分、、三种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.【详解】由题意可知，函数在上的值域是函数在上值域的子集.当时，，当时，.（i）若，则，由题意可得，解得，此时；（ii）当时，，不合乎题意；（iii）当时，，由题意可得，此时.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.14．在中，，则的取值范围是____________．【答案】【分析】由向量数量积的定义及正弦定理、两角差的正弦公式变形得，由等腰三角形的性质及向量的加法法则得边上的中线长，这样可用角表示出边，然后由数量积的定义求得数量积，利用二倍角公式，余弦函数的性质得其范围．【详解】记，，，由正弦定理得，，，所以，，设是边上的中线，如图，则，，，，，，，则，，，所以．故答案为：．15．已知双曲线的右焦点为，若的左支上存在点，使得直线是线段的垂直平分线，则____________．【答案】【分析】作出图形，设直线交于点，连接，计算出、，利用勾股定理可得出、的等量关系，即可求得的值.【详解】设直线交于点，连接，由题意可知，由双曲线的定义可得，、分别为、的中点，则，因为，则，由勾股定理可得，即，，故，.故答案为：.16．抛物线()的焦点为，准线为，､是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是___________.【答案】【分析】过A作AQ⊥于Q，过B作BP⊥于P，设､，把MN用a、b表示，在中用余弦定理把AB表示出来，就可以表示出并求最值.【详解】过A作AQ⊥于Q，过B作BP⊥于P，设､，如图所示，根据抛物线的定义，可知､，在梯形中，有，在中，，又∵，∴，∴，故的最大值是.故答案为：1.【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算． 三、解答题17．如图，在圆柱中，它的轴截面是一个边长为2的正方形，点C为棱的中点，点为弧的中点．(1)求异面直线OC与所成角的大小；(2)求直线与圆柱底面所成角的正弦值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）用向量法求解即可；（2）用向量法求解即可；【详解】(1)以为原点，直线分别为轴，建立如图所示的坐标系，则，，于是，所以，所以异面直线OC与所成角的大小为；(2)是圆柱底面的一个法向量，又，设直线与圆柱底面所成角的大小为，则，直线与圆柱底面所成角的正弦值为；18．如图，矩形是一个历史文物展览厅的俯视图，点在边上，在梯形内展示文物，游客只能在区域内参观，在上点处安装可旋转的监控摄像头，为监控角，其中在线段上(含端点)，经测量知：米，米，，记(弧度)，监控可视区的面积为S．(1)求线段的长度关于的函数关系式，并写出的取值范围；（参考数据(2)求S与的函数关系式，并求S的最小值．【答案】(1)，，；(2)，最小值为. 【分析】（1）利用正弦定理表达出段的长度关于的函数关系式，并结合图形求出的取值范围；（2）在第一问的基础上，利用三角形面积公式表达出S与的函数关系式，并用整体法求解面积的最小值.【详解】(1)由题意得：，，，则，在中，由正弦定理可得：，即，所以；因为，，所以，，在中，由正弦定理可知：，即，解得：，当点与点重合时，取得最小值，最小值为0，当点与点重合时，取得最大值，如图，，所以，此时，所以.(2)由面积公式可得：，因为，所以，则当时，取得最大值，最大值为，此时取得最小值，最小值为.19．已知椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为．(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆相交于两点，求的面积关于的函数关系式，并求面积最大时直线的方程．【答案】(1)(2)，，直线的方程为. 【分析】（1）利用题干条件列出方程，求出，进而计算出，写出椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，得到两根之和，两根之积，利用韦达定理求出弦长，进而求出点到直线距离，表达出面积，并用导函数求解最大值及面积取得最大值时直线的方程.【详解】(1)由题意得：，且，解得：，所以，所以椭圆方程为；(2)联立与椭圆方程可得：，由，解得：；设，则，，由弦长公式可得：，点到直线的距离为，则的面积为，其中，令，，则，由于，所以，,令得：，令得：，即在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值，，所以当时，面积取得最大值，此时直线的方程为．【点睛】直线与圆锥曲线结合，求解面积最值问题，要将直线方程与圆锥方程联立，得到两根之和，两根之积，从而利用弦长公式求出弦长，表达出面积，利用基本不等式，配方或导函数求解面积最值.20．已知焦点在轴上，中心在坐标原点的椭圆的离心率为，且过点．直线与圆(其中)相切于点A．(1)求椭圆的方程；(2)若，直线与椭圆交于两点，求的最大值；(3)若直线与椭圆有且只有一个交点，且交点为，求的最大值．【答案】(1)；(2)；(3)2． 【分析】（1）由离心率得，可得，再代入已知点坐标求得得椭圆方程；（2）直线斜率不存在时，求得，斜率存在时，设直线方程为，由圆心到直线的距离等于半径得，直线方程代入椭圆方程，由可得的取值范围，设，，由韦达定理得，，由弦长公式求得弦长，由然后表示为的函数，换元后利用不等式的知识可得最大值；（3）确定直线斜率一定存在，同（2）设直线方程为，利用（2）中结论首先得，并得出点坐标，由直线与圆相切于点得，把表示为的函数，由基本不等式得最大值．【详解】(1)设椭圆方程为，由得，则，椭圆过点，则，解得，所以，所以椭圆方程为；(2)，圆方程为，①当直线斜率不存在时，直线方程为或，直线椭圆交点为，，同理直线与椭圆交点为为，三角形面积也为，②当直线斜率存在时，设直线方程为，由得，由，得，，，设，，则，，，，令，，则，令，，所以，从而，由①②得的最大值为；(3)由题意直线的斜率显然存在，与（2）相同设方程为，由直线与圆相切得，即，（）由（2）得直线与椭圆相切时，，即（）,且，，，，由（）（）两式可得，，所以，当且仅当，即时等号成立．综上，的最大值为2．【点睛】方法点睛：本题考查由离心率求椭圆方程，考查直线与圆相切，直线与椭圆的位置关系，计算量非常大，属于困难题．直线与椭圆相交中面积问题，一般设直线方程，设交点坐标，直线方程与椭圆方程联立消元，应用韦达定理，弦长公式求得弦长，从而得三角形面积，而最值问题，就是把面积、弦长表示为一个参数的函数，利用函数性质或基本不等式等求得最值、范围．21．已知．(1)当时，求在上的最大值；(2)当时，讨论函数的单调性；(3)当时，求恒成立，求正整数的最大值．【答案】(1)0；(2)答案见解析；(3)3． 【分析】（1）求出导函数，确定函数的单调性得最大值；（2）求出导函数，利用二次方程的根确定与的解得单调性；（3）不等式参数分离法转化为求新函数的最小值，在确定极值点时，注意满足的关系，以便化简的表达式，从而求得其范围，得结论．【详解】(1)，定义域是，，时，，递增，时，，递减，所以时，取得极大值也是最大值．(2)，定义域是，，，若，则，恒成立，即恒成立，所以在上单调递减，当时，由得，，所以或时，，时，，所以在和上是减函数，在上是增函数；时，，在上是增函数，在上是减函数．综上，若，在上单调递减；时，在和上是减函数，在上是增函数；时，在上是增函数，在上是减函数．(3)时，求恒成立，即，，设，，，设，则，所以在上单调递减，又，，所以存在唯一的，使得，，时，，时，，所以，，时，，在上是减函数，在上是增函数，，显然，由得，设，在时恒成立在上递减，，，所以，所以，则满足的最大的正整数的值为3．【点睛】方法点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，求函数的最值，考查不等式恒成立问题．对学生的逻辑思维能力，运算求解能要求高，属于困难题．对恒成立问题，首先分离参数转化为求函数的最小值，关键点是在确定函数的最小值时，需要确定导函数的零点，这是利用单调性与零点存在定理确定，并由极值点的定义得出满足的等式，目的是为估值时化简的表达式．通过估值得出参数的最大整数值．