2023届上海市松江二中高三上学期9月月考数学试题（解析版）

这是一份2023届上海市松江二中高三上学期9月月考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届上海市松江二中高三上学期9月月考数学试题 一、单选题1．“且”是“”（    ）条件A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析即可得出答案.【详解】解：若且，则，若，当也符合，故不能推出且，所以“且”是“” 充分非必要条件.故选：A.2．已知且，则下列不等式恒成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先根据已知条件得到，，无法判断，再依次判断选项即可.【详解】因为且，所以，即.又因为，即.所以，，无法判断.对选项A，当时，，故A错误；对选项B，因为，，所以，故B错误；对选项C，因为，，所以，故C正确；对选项D，当时，，故D错误.故选：C3．已知、是不同的平面，m、n是不同的直线，则下列命题不正确的是（    ）A．若，，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则【答案】C【分析】根据线面垂直与平行的判定，结合面面平行垂直的性质与判定逐个选项判断即可.【详解】A项：因为，，所以，因为，所以，A正确；B项：由，，根据线面垂直的性质能推出，B正确；C项：n有可能在平面内，C错误；D项：由垂直于同一条直线的两个平面互相平行知，D正确.故选：C4．已知复数，满足，，（其中i是虚数单位），则的最大值为（    ）A．3 B．5 C． D．【答案】B【分析】转化椭圆与圆上的动点的距离的最大值即可【详解】复数在复平面的对应点的轨迹为焦点分别在，的椭圆，方程为；复数在复平面的对应点的轨迹为圆心在，半径为2的圆，方程为， 即为椭圆 上的点与圆 上的点的距离. 的最大值即为点到圆心 的距离的最大值加半径.设.所以 .故选：B 二、填空题5．已知集合，，若，则实数m的值为______.【答案】0，1，【分析】利用子集定义求解即可【详解】因为，所以或，所以，1，，经检验均符合要求，故答案为：0，1，6．已知复数，其中是虚数单位，则_______．【答案】【分析】先化简复数，结合复数模的计算公式求解即可.【详解】由题意得，，所以.故答案为：7．已知，，且，则的最大值为_________【答案】【分析】直接由基本不等式求解．【详解】∵，，∴，即，当且仅当，即时等号成立．故答案为：．【点睛】本题考查用基本不等式求最值，属于基础题．8．的展开式中，常数项为_______.【答案】【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式的常数项.【详解】二项式的展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式的常数项为.故答案为：【点睛】本小题主要考查二项式展开式有关计算，属于基础题.9．设集合，集合，则______.【答案】【分析】根据对数函数和幂函数的定义域得到集合和集合，再求出其交集.【详解】因为集合，，所以，故答案为：.10．将函数图象上的点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍后得到函数的图象，再将的图象向上平移1个单位后得到函数的图象，则的函数表达式是________．【答案】【分析】根据三角函数图象的变换规律，即可得到答案.【详解】由题意可知将函数的图象向下平移1个单位后得到函数 的图象，再将 的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，即，故答案为：11．函数在上的单调递减区间为______.【答案】【分析】令解不等式，再结合范围即可.【详解】令，解得，令得，所以函数在上的单调递增区间为.故答案为：.12．已知定义域为R的函数则关于t的不等式的解集为________.【答案】.【分析】先判断出是奇函数且在R上为减函数，利用单调性解不等式.【详解】函数的定义域为R.因为，所以，所以，即是奇函数.因为为增函数，所以为减函数，所以在R上为减函数.所以可化为.所以，解得：或.故答案为：.13．如图，P为外接圆O上一个动点，若，，，则的最大值______.【答案】【分析】先利用余弦定理算出，外接圆的半径，设d是在上的投影，所以，然后作图画出在上的最大投影，即可求出答案【详解】解：由余弦定理得，所以，由正弦定理得外接圆半径，解法1：设d是在上的投影，即，则，过点O作交圆于点P，且作于，于，如图所示，此时在上的投影最大，即最大易得四边形是矩形，所以则，所以的最大值为；解法2：连接，，所以，，因为，所以所以的最大值为，故答案为：14．若函数与的图像有3个公共点，则实数k的取值范围是______.【答案】【分析】在同一平面直角坐标系内画出两个函数图象，先考虑两个公共点，进而可得三个公共点的情况，用数形结合法求解．【详解】由得，作出两函数的图象如下图：当时，，在上有一个交点，若函数与的图象恰有两个公共点，则当时两函数图象有且只有一个交点，即与相切，即，即，，解得或0（舍去），于是当时有3个公共点，故答案为：.15．若对圆上任意一点，的取值与、无关，则实数的取值范围是_________.【答案】（或）【分析】可以看作点到直线：与直线：距离之和的倍，进一步分析说明圆位于两直线中间，再由点到直线的距离公式求解直线与圆相切时的值，则可得出答案.【详解】设 故可以看作点到直线：与直线：距离之和的倍，的取值与、无关，这个距离之和与点在圆上的位置无关，如图所示，可知直线平移时，点与直线、的距离之和均为、的距离，即此时圆在两直线的中间，当直线与圆相切时，解得：或（舍去） 实数的取值范围是故答案为：.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查了数学转化思想方法，属于难题.16．已知集合，.将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列.记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为______.【答案】27【分析】先假设刚好为，分析这种情况的，再考虑为等差构成的情况即可【详解】设，则由得，，所以只需研究是否有满足条件的解，此时，m为等差数列项数，且.由，，∴，，于是满足条件的n最小值为27.故答案为：27【点睛】关键点点睛：本题需要分情况思考，先思考尾项刚好是2的幂的情况，然后在思考尾项为等差数列构成的情况 三、解答题17．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的菱形，，底面ABCD，，M为OA的中点，N为BC的中点.(1)证明：直线面OCD；(2)求点B到平面OCD的距离.【答案】(1)证明见解析(2). 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关法向量，证明向量点乘为0即可；（2）利用第（1）问的空间直角坐标系，转化为投影向量相关问题求解点到平面距离即可.【详解】(1)过A作交CD于点P.如图示，分别以，，为x、y、z轴正方向建立坐标系，则，，，，，，.，，.设平面OCD的法向量为，则不妨取，解得：.因为，直线面OCD，所以面OCD.(2)设点B到平面OCD的距离为d，则d为在向量上的投影的绝对值，由，得.18．已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值．(1)求函数的单调区间；(2)若函数有三个零点，求的取值范围．【答案】(1)递减区间是；递增区间是，(2) 【分析】（1）根据题意，列出方程组求得，得到，进而求得函数的单调区间；（2）由题意得到，利用导数求得函数的单调性与极值，列出不等式组，即可求解.【详解】(1)解：由题意，函数，可得，因为函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值，可得，即，解得，   所以，可得，令，解得或．当变化时，，的变化情况如下：－1＋0－0＋2 所以函数的单调递减区间是；单调递增区间是，．(2)解：由函数，，则，函数在处取得极大值，在处取得极小值，要使得有三个零点，则满足，即，解得， 所以的取值范围为．19．新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元，每生产 万箱，需另投入成本万元，当产量不足60万箱时，;当产量不小于60万箱时,，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.(1)求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？【答案】(1)(2)当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元. 【分析】(1) 根据产量的不同取值范围讨论利润y关于产量x的不同对应关系即可求解.(2) 分别求出分段函数的最大值比较大小即可求出利润的最大值.【详解】(1)当时，；当时，.所以，；(2)当时，，当时，y取得最大值，最大值为850万元；当时，，当且仅当时，即时，y取得最大值，最大值为1300万元.综上，当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元.20．如图，已知、为抛物线Γ：的图像上异于顶点的任意两个点，抛物线Γ在点A、B处的切线相交于.(1)写出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：、、成等差数列，、、成等比数列；(3)若A，F，B三点共线，求出动点P的轨迹方程及面积的最小值.【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为(2)证明见解析(3)，4 【分析】利用定义直接写即可设切点，写切线方程，解出交点坐标即可证明设AB中点为，容易证明平行与 轴，从而把分成两部分计算面积之和即可【详解】(1)(1)抛物线的标准方程为,于是焦点坐标为,准线方程为。(2)(2),所以联立,得,而于是,即故成等差数列,成等比数列(3)由于A,F,B三点共线,设联立,得.即动点的轨迹方程为设AB中点为,则,即当时取等所以面积的最小值为4【点睛】关键点点睛：本题考查了阿基米德三角形的性质的证明.21．已知数列满足，，.(1)若，写出所有可能的值；(2)若数列是严格递增数列，且，，成等差数列，求的值；(3)若，且是严格递增数列，是严格递减数列，求数列的通项公式.【答案】(1)；(2)；(3)答案见解析. 【分析】（1）根据题意，先求，再求，再求，可得答案；（2）由，计算得，，根据，，成等差数列，构造方程可解得的值；（3）由是严格递增数列，是严格递减数列，推导可得，累加后得到和，根据的值，讨论可得答案.【详解】(1)由题意，可得或，若，则，所以或，若，则，所以或，故或或，若，则，所以或，若，则，所以或，若，则，所以或，综上，有可能的值为；(2)因为数列是递增数列，所以.而，所以，，又，，成等差数列，所以，代入整理得.解得或，当时，，这与是严格递增数列矛盾，所以；(3)因为是递增数列，所以，所以，①但，，，所以②由①，②知，，所以，③因为是递减数列，同理可得，所以，④联立③，④得，相加可得，累加得于是由③得，.即，故 ，且所以由，得或，于是当时，,当时，，其中.【点睛】本题为带绝对值的递推公式求通项公式的综合问题，第一问求，根据绝对值的含义，按部就班，逐步讨论，先求，再求，再求，第三问，根据是严格递增数列，是严格递减数列，得到，进行累加得是解题的关键.