2023届上海市同济大学第一附属中学高三上学期第二次测试数学试题（解析版）

这是一份2023届上海市同济大学第一附属中学高三上学期第二次测试数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届上海市同济大学第一附属中学高三上学期第二次测试数学试题 一、单选题1．设a，b，c为正数，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不修要条件【答案】B【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：，，为正数，当，，时，满足，但不成立，即充分性不成立，若，则，即，即，即，成立，即必要性成立，则“”是“”的必要不充分条件，故选：．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．2．设函数则下列结论错误的是A．D（x）的值域为{0,1}B．D（x）是偶函数C．D（x）不是周期函数D．D（x）不是单调函数【答案】C【详解】该题主要考查函数的概念、定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性，全面掌握很关键.，C错误3．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.4．关于函数，给出以下四个命题：①当时，严格单调递减且没有最值；②方程一定有解；③如果方程有解，则解的个数一定是偶数；④是偶函数且有最小值，其中真命题是（    ）A．②③ B．②④ C．①③ D．③④【答案】B【分析】分类讨论，特别是时，由函数的单调性判断①，判断函数的奇偶性，确定函数的单调性，并确定函数的变化趋势后判断②，结合偶函数的性质及的值，判断③，由函数的单调性，奇偶性判断④．【详解】时，，时，是减函数，时，是增函数，无最值，①错；的定义域是，，是偶函数，时，，时，，时，直线与的图象在第一象限内一定有交点，由偶函数的对称性，时，直线与的图象在第二象限内一定有交点，所以方程一定有解，②正确；是偶函数，且，所以时，函数的图象与直线只有一个公共点，所以方程只有一个解，③错；是偶函数，时，，时，是增函数，是最小值，所以在上，的最小值是，④正确．故选：B．【点睛】难点点睛：本题考查函数的奇偶性、单调性，考查方程根的个数问题，难点在于含有多个绝对值，可以根据绝对值的定义去掉绝对值符号后判断函数的单调性，确定函数的变化趋势，然后根据函数的性质可得结论． 二、填空题5．函数的定义域是________.【答案】且【分析】根据分明不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式求解.【详解】由题意，要使函数有意义，则，解得，且；故函数的定义域为：且.故答案为：且.【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.6．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是______．【答案】【解析】先求出扇形的半径，再求这个圆心角所夹的扇形的面积.【详解】设扇形的半径为R,由题得.所以扇形的面积为.故答案为：【点睛】本题主要考查扇形的半径和面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．已知集合，，若，则实数m的取值范围是________．【答案】【分析】解不等式得到集合，根据交集结果得到，解得答案.【详解】，，因为，则，解得.故答案为：．【点睛】本题考查了解不等式，根据交集运算结果求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，本题属于基础题.8．已知幂函数的图像关于y轴对称，且在上是递减的，则________．【答案】1【解析】根据幂函数的性质可知是偶数且，计算求解即可得的值.【详解】∵幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，是偶数且，解得：.故答案为：1【点睛】本题考查幂函数的性质，属于基础题.9．已知函数的图像恒过定点，且点在直线上，则的最大值为___________.【答案】0.125【分析】由对数函数性质求定点坐标，再根据点在直线上有，应用基本不等式求的最大值，注意等号成立条件.【详解】由题设恒过，又在直线上，所以，则，当且仅当时等号成立，所以的最大值为.故答案为：10．若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】先利用三角不等式求出的最小值为3，然后解不等式可得答案【详解】因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为3，因为不等式对任意的恒成立，所以，即，解得，即实数的取值范围是，故答案为：11．设奇函数在上严格递增，且，则不等式的解集为___________.【答案】【分析】由函数的奇偶性化简不等式，结合单调性求解【详解】由题意得是奇函数，则等价于，即，而在上严格递增，，故时，，时，，由为奇函数，得时，，时，，综上，的解集为故答案为：12．已知是定义域为的奇函数，满足，若，则___________.【答案】【分析】根据题意，利用函数的奇偶性和周期的定义，得到，得到函数是周期为4的周期函数，进而求得的值，结合周期性，即可求解.【详解】由题意，函数是定义域为的奇函数，所以，即且，又由，可得，所以，所以函数是周期为4的周期函数，因为，所以，，，所以，则.故答案为：.13．对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.【答案】【分析】参变分离，得到，变形后利用导函数求出的最小值，从而求出实数的取值范围.【详解】变形为，只需要求出的最小值即可，，令，，，在上恒成立，所以在上单调递增，所以在处取得最小值，，所以，实数的取值范围为.故答案为：14．已知函数，对于任意的都能找到，使得，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】分别求出函数，的值域，然后由集合的包含关系得参数范围．【详解】时，，，时，，，于任意的都能找到，使得，则，所以，解得．故答案为：．15．设函数，则使得成立的实数x的取值范围是________.【答案】【分析】利用定义证明函数为偶函数，结合在上单调递增，解不等式，即可得出实数x的取值范围.【详解】，则函数为偶函数当时， ，在上单调递增，，即，即，故答案为：【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性以及单调性解不等式，属于中档题. 三、解答题16．已知，求=_____【答案】【分析】由余弦的倍角公式化简，且得，再由同角三角函数的关系计算得结果.【详解】，解得或（舍）由.故答案为【点睛】本题考查了余弦的倍角公式和同角三角函数的关系，属于基础题.17．已知函数是定义在区间上的奇函数，当时，.(1)求时的解析式；(2)求函数的值域.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用奇函数性质求的解析式；（2）由（1）得，应用基本不等式、函数单调性求在对应区间上的值域，即可得答案.【详解】(1)令，则，故，而，所以，则.(2)由（1）知：，当，，当且仅当时等号成立，此时；当，单调递增，则；综上，函数值域为.18．在中，角的对边分别为，且.(1)求角A的值；(2)若，且的面积为，求.【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）由诱导公式、二倍角公式，变形可求得，从而得角（2）由三角形面积公式求得，由两角和余弦公式求得，利用正弦定理求得三角形外接圆半径，从而再由正弦定理求得．【详解】(1)，，，，，，所以；(2)由题意，，由（1）， ，即，又，所以，由（是外接圆半径），得，，所以由，得．19．已知是实常数，函数.（1）若，求证：函数是减函数；（2）讨论函数的奇偶性，井说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）当，偶函数；当，奇函数，当，非奇非偶函数.【分析】（1）利用定义法，设，证明，即可得函数为减函数；（2）分别讨论的值，观察或是否恒成立.【详解】解：（1）当时，，， 设， 则，又，即 ，即，即，故当时，函数是减函数；（2）由（1）可得，函数的定义域为， 因为，所以，则，显然当时，，即，即函数为奇函数，则，显然当时，，即，即函数为偶函数，当且时，且，即函数为非奇非偶函数.故当时，即函数为奇函数，当时，函数为偶函数，当且时，函数为非奇非偶函数.【点睛】本题考查了利用定义法判断函数的增减性及判断函数的奇偶性，属中档题.20．已知，不等式的解集为，不等式的解集.(1)求集合：(2)设函数的定义域为，若，求实数的取值范围；(3)若函数在上严格单调递减，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)(3) 【分析】（1）根据不等式的解集为，即可求解的值，不等式，利用移项，通分，转化不等式求解．（2）问题转化为：不等式在，上有解，再用分离参数法求解即可；（3）函数单调性问题转化为不等式恒成立处理即可.【详解】(1)不等式的解集为，即．可得：， 不等式的解集为，显然，解得，，不等式可写成，，解得，，，即，；(2)函数的定义域为，且，问题等价转化为：不等式在，上有解，分离参数得，，其中，，所以，，由于，，，所以，，故实数的取值范围为：．(3)若函数在上单调递减，则在上恒成立，即，恒成立，解得：21．若函数在区间上有最大值4和最小值1，设(1)求的值；(2)若不等式在上有解，求实数的取值范围；(3)关于的方程有且仅有二个不同的实根，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3)． 【分析】（1）由二次函数的性质得最大值和最小值，从而求得；（2）化简不等式得，令，则，求得，求得在上的最大值即得；（3）方程变形为，令，得，由函数的的性质得出方程的解的情况，然后由二次方程根的分布知识得结论．【详解】(1)，对称轴，，在上单调递增，所以，解得；(2)由（1）知，化为，即，令，则，因为，所以，问题化为，记，因为，所以，所以；(3)原方程化为，,令，时，是减函数，且，时，是增函数且，，则，所以时，有两个实数解，时，无实数解．原问题转化为（）在上只有1个实根，，或，时，方程（）的解为满足题意时，方程（）的解为，满足题意，，即或时，方程（）有两个不等的实根，，不妨设，则，，，即时，方程（）的解为，，满足题意．即时，，满足题意．综上，实数的取值范围是．【点睛】方法点睛：本题考查二次函数的性质，考查不等式有解，方程根的分布问题，解题方法是换元法，利用换元法把指数不等式转化为二次不等式，再转化为求二次函数的最值，把指数型方程转化为二次方程，利用二次方程根的分布知识求解，本题属于难题，对学生的运算求解能力，逻辑思维能力要求较高．