2023届上海市杨浦高级中学高三上学期开学摸底数学试题(解析版)
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这是一份2023届上海市杨浦高级中学高三上学期开学摸底数学试题(解析版),共12页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2023届上海市杨浦高级中学高三上学期开学摸底数学试题 一、单选题1.设集合,,若,则实数a的取值范围是( ).A. B.C. D.【答案】D【分析】先求出集合B,再由求出实数a的范围.【详解】或.因为集合,,所以.故选:D2. 对于函数,“的图象关于轴对称”是“=是奇函数”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要【答案】B【详解】由奇函数,偶函数的定义,容易得选项B正确.3.已知函数(且)的图像如图所示,则以下说法正确的是( )A. B. C. D.【答案】C【分析】结合函数的图象可得和,然后逐项分析即可求出结果.【详解】由图象可知在定义域内单调递增,所以,令,即,所以函数的零点为,结合函数图象可知,所以,因此,故A错误;,又因为,所以,因此不一定成立,故B错误;因为,即,且,所以,故C正确;因为,所以,即,故D错误,故选:C.4.已知点P是曲线上任意一点,记直线OP(O为坐标系原点)的斜率为k,则使得的点P的个数为( ).A.0 B.仅有1个 C.仅有2个 D.至少有3个【答案】B【分析】由题意可知求点的个数等价于求的解的个数, 令,求,由的正负判断函数的单调性,从而得出的解的个数,得出选项.【详解】解:由题意可知: ,求的点的个数即求的解的个数,即的解的个数.令,则,因为,所以恒成立,又,所以恒成立,即在上单调递增;所以至多有一解,又,,所以存在且只存在一点,使得.故选:B 二、填空题5.若集合,,则________【答案】【详解】由题意可得所以,填.6.设是以2为周期的函数,且当时,则___________.【答案】-1【详解】∵是以2为周期的函数,且时,,则.【考点定位】函数求值7.,则的取值范围是__________.【答案】【分析】利用不等式的性质可求的取值范围.【详解】因为,故,故,即所求的范围为:.故答案为:.【点睛】本题考查不等式的性质,注意同向不等式才具有可加性,本题属于容易题.8.函数的定义域为_____________.【答案】【详解】要使函数有意义,需解得0<x≤1,所以定义域为(0,1]. 9.若幂函数的图像关于y轴对称,则实数______.【答案】【分析】根据幂函数的概念和性质计算即可【详解】由幂函数可得,解得或,又因为函数图像关于y轴对称,则a为偶数,所以.故答案为:10.若命题“存在,”是假命题,则实数m的范围是________.【答案】【分析】由题意可知此命题的否命题为真命题,求出的最小值即可.【详解】因为命题“存在,”是假命题,所以任意,是真命题,即恒成立,令,因为,所以为偶函数,当时,为增函数,所以当时,为减函数,所以当时,取得最小值,即,所以,所以实数m的范围是,故答案为:11.已知,则的最小值为________.【答案】18【分析】由对数的运算性质与基本不等式求解【详解】由题意得,,且则,而,当且仅当时等号成立,故最小值为18故答案为:1812.已知偶函数在单调递减,.若,则的取值范围是__________.【答案】【详解】因为是偶函数,所以不等式,又因为在上单调递减,所以,解得.【解析】本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性,考查绝对值不等式的解法,熟练基础知识是关键. 13.曲线在点处的切线方程为___________.【答案】【分析】求出函数的导数,根据导数的几何意义求得切线斜率,即可求得切线方程.【详解】由题意得,设,则,故曲线在点处的切线斜率为,而,故曲线在点处的切线方程为 ,即,故答案为:14.若,,且,则下列不等式:①;②;③;④,其中成立的是___________(写出所有正确命题的序号).【答案】①③④【分析】对于①,利用基本不等式判断,对于②,平方后作差比较即可,对于③,利用基本不等式判断,对于④,对化简后利用基本不等式求解其最小值【详解】对于①,因为,,且,所以,即,当且仅当时取等号,所以①正确,对于②,因为,,所以,所以,所以②错误,对于③,因为,,所以,所以,当且仅当时取等号,所以③正确,对于④,因为,,且,所以,所以,当且仅当时取等号,所以④正确,故答案为:①③④15.若函数在上有两个不同的零点,则实数的取值范围为___________.【答案】【分析】采用分离参数法,可得,再令,对函数求导,利用函数单调性,可知在上单调递减,在上单调递增,根据最小值和单调区间,作出函数的图象,利用数形结合,即可求出结果.【详解】解:令则,令,则由知,在上单调递减,在上单调递增且,,.,,,作出函数的图像,如下图所示:所以函数在上有两个零点,则实数的取值范围为.故答案为:.16.已知函数及其导函数的定义域均为,记,若,均为偶函数则下面各选项中一定正确的序号是________.①;②;③;④.【答案】②③【分析】将题干转化为抽象函数的性质,根据原函数与导函数图象间的关系可得解.【详解】因为,均为偶函数,所以,即,,所以,,则,故③正确;函数,的图象分别关于直线,对称,又,且函数可导,由函数图象关于直线对称,所以其单调性在处改变,导数值为零,所以,,所以关于点对称,又图象关于对称,所以的周期为,所以,所以,所以,故②正确,④错误;若函数满足题设条件,则函数(为常数)也满足题设条件,所以无法确定的函数值,故①错误;故答案为:②③. 三、解答题17.已知函数,.(1)若,,求实数的取值范围;(2)求证:R,.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】(1)根据 的范围,去掉绝对值,然后分段求解不等式即可.(2)由绝对值的三角不等关系,可得,然后根据基本不等式即可求解.【详解】(1)时, ,故当时,,所以;当时,显然成立,当时,,解得: 综上,不等式的解集为(2).18.已知关于的一元二次函数(1)若的解集为或,求实数、的值.(2)若实数、满足,求关于的不等式的解集.【答案】(1)(2)详见解析 【分析】(1)根据二次不等式的解集与系数的关系求解即可;(2)化简可得,再分根据为分界点讨论的范围,再求解不等式即可【详解】(1)的解集为或,与是一元二次方程的两个实数根,,解得.(2),关于的不等式化为:,因式分解为:,当时,化为,则;当时,,解得,不等式的解集为;时,,解得不等式的解集为;时,,不等式化为:,解得或,不等式的解集为或.19.为了支持企业复工复产,某地政府决定向当地企业发放补助款,其中对纳税额x(万元)在的小微企业做统一方案,方案要求同时具备下列两个条件:①补助款(万元)随企业原纳税额x(万元)的增加而增加:②补助款不低于原纳税额的50%.经测算政府决定采用函数模型作为补助款发放方案.(1)判断时是否满足条件,并说明理由;(2)求同时满足条件①②时m的取值范围,【答案】(1)不满足,理由见解析(2) 【分析】(1)直接分析函数的单调性,在验证条件②是否满足即可;(2)对分情况讨论,当时,显然满足条件①,当时,结合对勾函数的性质可求得的范围,条件②等价于不等式在上恒成立,分离参数求出的范围,最后取交集即可得解.【详解】(1)解:时,,因为函数在都是增函数,所以函数在是增函数,所以满足条件①,又,所以不满足条件②,所以时,不满足条件;(2)解:当时,函数在是增函数,函数是常数函数或在是增函数,所以函数在是增函数,故满足条件①,当时,则,,由对勾函数的性质可知,当时,单调递增,所以,解得,综上,函数满足条件①时,,由条件②可知,,即不等式在上恒成立,即在上恒成立,当时,取得最小值,所以,综上所述,同时满足条件①②时m的取值范围为.20.已知函数是定义在上的奇函数,且.(1)求函数的解析式;(2)判断函数在上的单调性,并用定义证明;(3)解关于的不等式:.【答案】(1);(2)函数在上是增函数,证明见解析;(3). 【分析】(1)根据奇函数的定义可求得的值,再结合已知条件可求得实数的值,由此可得出函数的解析式;(2)判断出函数在上是增函数,任取、且,作差,因式分解后判断的符号,即可证得结论成立;(3)由得,根据函数的单调性与定义域可得出关于实数的不等式组,由此可解得实数的取值范围.【详解】(1)解:因为函数是定义在上的奇函数,则,即,可得,则,所以,,则,因此,.(2)证明:函数在上是增函数,证明如下:任取、且,则,因为,则,,故,即.因此,函数在上是增函数.(3)解:因为函数是上的奇函数且为增函数,由得,由已知可得,解得.因此,不等式的解集为.21.对于两个定义域相同的函数和,若存在实数m、n使,则称函数是由“基函数和”生成的.(1)若和生成一个偶函数,求的值;(2)若由函数(,且)生成,求的取值范围:(3)试利用“基函数和”生成一个函数,使之满足下列条件:①是偶函数;②有最小值1.求函数的解析式并进一步研究该函数的单调性.(无需证明)【答案】(1)0.(2).(3),在递减,在递增. 【分析】(1)由列方程,根据为偶函数求得的关系式,进而求得的值.(2)由列方程组,化简后求得的关系式,利用导数求得的取值范围.(3)构造函数,并证得其奇偶性和单调性.【详解】(1)解:由为偶函数可知,所以.(2)解:由得,所以,由于,所以可化简得,所以.构造函数,,所以函数在上递增,在上递减,所以函数在处,有极大值,在处有极小值.所以的取值范围是.(3)解:构造函数,,所以为偶函数.由于,所以有最小值符合题意.在递减,在递增.另补证明:由于为偶函数,只需求得上的单调性.构造函数,,由于时,,故,所以函数在上递增.根据复合函数单调性同增异减可知,函数在上递增.根据为偶函数可知,函数在递减.【点睛】本小题主要考查新定义函数的概念理解,考查利用导数、基本不等式等方法求最值,考查函数的单调性和奇偶性,考查化归与转化的数学思想方法,综合性较强,属于中档题.
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