高中数学上教版（2020）选修第二册3 组合数的性质第2课时导学案及答案

第2课时　组合数的性质

学习目标　1.掌握组合数公式和组合数的性质.2.能运用组合数的性质进行计算.3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题．

导语

在组合数的运算和化简、证明过程中，除了直接使用组合数公式外，还有与组合数有关的一些性质，这节课就来探究组合数的性质．

一、组合数的性质1

问题1　假如我们年级将在月底进行一场篮球比赛．包括体育委员在内，班上篮球运动员有8人，按照篮球比赛规则，比赛时一个球队的上场队员是5人．我们可以形成多少种队员上场方案？我们又可以形成多少种队员不上场方案？这两种方案有什么关系？

提示　上场的方案有C，不上场的方案有C；C＝C＝56.

知识梳理

组合数的性质1：C＝C.

注意点：

(1)体现了“取法”与“剩法”是一一对应的思想；

(2)两边下标相同，上标之和等于下标．

例1　(1)计算：C＝________，C·C＝__________.

答案　2022　

解析　C＝C＝2022，C·C＝C·C＝.

(2)(多选)若C＝C(n∈N*)，则n等于(　　)

A．4B．5C．6D．7

答案　BD

解析　由题意得，2n－3＝n＋2或2n－3＋n＋2＝20，即n＝5或7.

反思感悟　性质“C＝C”的意义及作用

跟踪训练1　(1)若C＝C，则C等于(　　)

A．1B．10C．11D．55

答案　C

解析　由C＝C，得n＝6＋5＝11，

C＝C＝C＝11.

(2)若C＝C，则C＝____________.

答案　28

解析　由C＝C，

得3n＋6＝4n－2或3n＋6＋4n－2＝18，

解得n＝2或n＝8(舍去)，

故C＝28.

二、组合数的性质2

问题2　从问题1中的这8名篮球运动员中选择5人的时候，可以按照体育委员是否入选进行分类：当体育委员入选时，有C种选法；当体育委员未入选时，有C种选法．这与直接选5人参加的选法一样吗？你能得出什么结论？

提示　一样，C＝C＋C.

知识梳理

组合数的性质2：C＝C＋C.

注意点：

(1)下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；

(2)体现了“含”与“不含”的分类思想．

例2　(1)已知m≥4，C－C＋C等于(　　)

A．1B．mC．m＋1D．0

答案　D

解析　C－C＋C＝C＋C－C＝C－C＝0.

(2)C＋C＋C＋C＋…＋C等于(　　)

A．C B．C

C．C D．C

答案　D

解析　原式＝C＋C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＋C＝C＝C.

延伸探究　若将式子换成“C＋C＋C＋…＋C”，则其值为多少？

解　C＋C＋C＋…＋C

＝C＋C＋C＋…＋C－C

＝C＋C＋…＋C－1

…

＝C＋C－1＝C－1.

反思感悟　性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明．应用时要注意公式的正用、逆用和变形用．正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是“合二为一”，使用变形C＝C－C，为某些项前后抵消提供了方便，在解题中要注意灵活应用．

跟踪训练2　(1)若C－C＝C，则n等于(　　)

A．12B．13C．14D．15

答案　C

解析　C＝C＋C＝C，∴n＋1＝7＋8，n＝14.

(2)C＋C＋C＋…＋C等于(　　)

A．C B．C

C．C－1 D．C－1

答案　B

解析　C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C.

三、组合数在实际问题中的简单应用

例3　在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？

(1)有3名内科医生和2名外科医生；

(2)既有内科医生，又有外科医生．

解　(1)先选内科医生有C种选法，再选外科医生有C种选法，故有CC＝120(种)选派方法．

(2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1人、2人、3人、4人，有CC＋CC＋CC＋CC＝246(种)选派方法．

若从反面考虑，则有C－C＝246(种)选派方法．

反思感悟　在求与两个基本原理的应用有关的问题时，即分类与分步的运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．

跟踪训练3　某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种．

(1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种？

(2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种？

(3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种？

解　(1)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件，有CC＝2 100(种)．

所以恰有2种假货在内的不同取法有2 100种．

(2)选取2件假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方法CC＋C＝2 555(种)．

(3)选取3件的种数有C，因此有选取方法

C－C＝6 090(种)．

所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．

1．知识清单：

(1)组合数的两个性质及性质的理解．

(2)组合数在实际问题中的应用．

2．方法归纳：分类讨论、间接法．

3．常见误区：不注意组合数中m与n的限制条件；计算中不能构造组合数性质．

1．若C－C＝C(n∈N*)，则n等于(　　)

A．11B．12C．13D．14

答案　B

解析　根据题意，C－C＝C变形可得，C＝C＋C，由组合性质可得，C＋C＝C，即C＝C，则可得到n＋1＝6＋7⇒n＝12.

2．把5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案有(　　)

A．80种B．120种C．140种D．50种

答案　A

解析　当甲组中有3人，乙、丙组中各有1人时，有CC＝20(种)不同的分配方案；当甲组中有2人，乙组中也有2人，丙组中只有1人时，有CC＝30(种)不同的分配方案；

当甲组中有2人，乙组中有1人，丙组中有2人时，有CC＝30(种)不同的分配方案．故共有20＋30＋30＝80(种)不同的分配方案．

3．C＋C＋C＋…＋C＝________________.

答案　C

解析　因为C＝C，

所以C＋C＋C＋…＋C＝(C＋C)＋C＋…＋C

＝(C＋C)＋C＋…＋C＝…＝C＝C.

4．(1)C＝________.

(2)C＋C＝__________.

答案　(1)190　(2)161700

解析　(1)C＝C＝＝190.

(2)C＋C＝C＝＝161700.