2021-2022学年广东省广州市十六中高一下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年广东省广州市十六中高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知复数满足（为虚数单位），则（       ）

A．5 B． C．3 D．

【答案】B

【分析】首先利用复数除法运算法则化简复数，再求复数的模.

【详解】.

.

故选：B

2．如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据向量的加法减法运算即可求解.

【详解】依题意，，

故选：B

3．在△ABC中，若其面积为S，且=2S，则角A的大小为（       ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

【答案】A

【分析】由数量积的定义，结合条件即可求解.

【详解】因为，而，所以，所以，故.

故选：A

4．在中，，则这个三角形的形状是（       ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

【答案】B

【分析】根据正弦定理边化角以及两角和的正弦公式变形可得结果.

【详解】由得，

所以，

所以，

因为，所以，所以，

所以，所以是直角三角形.

故选：B

5．已知，与夹角为，．为与同向的向量，则在上投影向量为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用数量积的几何意义求解即可

【详解】因为，与夹角为，．为与同向的向量，

所以在上投影向量，

故选：C

6．我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”“势”即是高，“幂”即是面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等.如图所示，扇形的半径为，圆心角为，若扇形绕直线旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由扇形绕直线旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体是半球去掉一个圆锥体剩余部分，由此计算即可．

【详解】解：因为扇形绕直线旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体是半球去掉一个圆锥体剩余部分，球的半径为2，圆锥的底面半径和高均为2，

则该几何体的体积为．

故选：C．

7．据我国古代数学名著《九章算术》记载：“堑堵”指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱．在如图的“堑堵”中，，若四棱锥体积为，则该 “堑堵”的外接球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先证明平面，再根据四棱锥体积为求出，最后将原三棱柱补形为长方体，利用长方体外接球即为该 “堑堵”的外接球即可求解.

【详解】解：由题意，侧棱底面，

所以，又，且，

所以平面，

所以，

所以，

将“堑堵”补一个完全一样的三棱柱得长、宽、高分别为，1，2的长方体，

则长方体的外接球即为该 “堑堵”的外接球，

所以外接球的直径，

所以该 “堑堵”的外接球的表面积为.

故选：A.

8．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，则BC边上的中线长为（       ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【分析】直接利用三角函数关系式的变换求出的值，进一步利用勾股定理和余弦定理的应用求出结果．

【详解】解：，

整理得：，

整理得：舍去），

由于，

所以，

故，

所以．

由于，，解得；

如图所示：

在中，过点作于点，

设，则，

所以，解得，

故，，

所以在中，

利用余弦定理：，

解得：．

故选：．

二、多选题

9．若m、n是两条不重合的直线，、为两个不重合的平面，下列说法正确的有（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】CD

【解析】根据平行关系判断AB，根据垂直关系判断CD.

【详解】A. 若，则或，故A不正确；B.若都与；两平面的交线平行，也满足条件，但不能推出，故B不正确；C.两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于平面，故C正确；D. 若，则，故D正确.

故选：CD

10．已知i为虚数单位，下列说法正确的是（       ）

A．若复数，则

B．若复数z满足，则复平面内z对应的点Z在一条直线上

C．若是纯虚数，则实数

D．若复数z满足，则复数的虚部为

【答案】ABD

【分析】对于A：直接求出，即可判断；

对于B：设,直接求出，点Z在直线上，即可判断；

对于C：由是纯虚数,列方程组，求出x=1，即可判断；

对于D:先求出复数，即可判断.

【详解】对于A：因为,所以.故A正确；

对于B：设,代入,得,整理得：，即点Z在直线上.故B正确；

对于C：是纯虚数,则，即x=1.故C错误；

对于D: 设,由，可得：，所以，复数的虚部为-2,故D正确.

故选：ABD

11．在中，下列结论正确的是（       ）

A．若，则为等腰三角形

B．在锐角中，一定有

C．若，，，则符合条件的只有1个

D．若且，则为等腰直角三角形

【答案】BD

【分析】对于A，利用角的范围及正弦函数值相等即可求解；对于B，根据已知条件结合诱导公式、三角函数单调性即可判断；对于C，利用正弦定理及大边对大角即可判断；对于D，根据向量的线性运算及数列积运算即可判断.

【详解】对于A， ，

又因为，所以或，解得或，

所以为等腰三角形或直角三角形，故A不正确；

对于B，在锐角中，，所以，且，

所以，故B正确；

对于C，由，，及正弦定理，得，

即，又因为，则，

由正弦函数的图象和性质知，此时有两解，故C 不正确；

对于D，由两边同时平方，得，即，

和分别为方向和方向的单位向量，

由平行四边形法则可知，的方向为的角平分线方向，

又因为，所以的方向也是上的高的方向，

由三线合一知，，所以为等腰直角三角形，故D正确.

故选：BD.

12．如图，在正方体中，，E，F，P，M，N分别是的中点，则（       ）

A．平面

B．直线与所成的角是

C．存在过点E，F的平面与平面平行，平面截该正方体得到的截面面积为

D．点E到平面的距离是

【答案】ACD

【分析】对于A，利用线线平行证面面平行，再利用面面平行的性质定理可得证；对于B，由，知是所求的角，在中利用余弦定理可得解；对于C，可知六边形是平面截该正方体得到的截面，求得面积即可； 对于D，利用等体积法，结合锥体的体积公式即可得解.

【详解】对于A，取的中点G，连接，易证，，则平面平面，又平面，所以平面，故A正确；

对于B，， 是直线与所成的角，又 ，，所以，则，故B错误；

对于C，分别取的中点H，K，I，连接，易证平面平面，则存在过点E，F的平面与平面平行，六边形是平面截该正方体得到的截面，截面的面积是，故C正确；

对于D，连接，由等体积法，则三棱锥的体积是，的面积是，设点E到平面的距离是d，则，解得，故D正确.

故选：ACD

【点睛】方法点睛：证明面面平行常用的方法：

（1）面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；

（2）利用垂直于同一条直线的两个平面平行；

（3）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；

（4）利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．

三、填空题

13．已知平面向量，若与反向共线，则实数的值为 ____

【答案】

【分析】根据题意得到存在实数，使得，列出方程组，即可求解.

【详解】由题意，向量与反向共线，所以存在实数，使得，

即，可得，解得或（舍去），

所以.

故答案为：.

14．复数满足，则的最小值是___________．

【答案】

【分析】点对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，要求的最小值，只要找出圆上的点到原点距离最小的点即可，求出圆心到原点的距离，最短距离要减去半径即可得解.

【详解】解：复数满足，

点对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，

要求的最小值，只要找出圆上的点到原点距离最小的点即可，

连接圆心与原点，长度是，

最短距离要减去半径

故答案为：

【点睛】本题考查复数的几何意义，本题解题的关键是看出复数对应的点在圆上，根据圆上到原点的最短距离得到要求的距离，属于基础题．

15．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，8，…为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等．图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面则该圆锥的体积为________．

【答案】

【分析】根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的半径和弧长，进一步求出圆锥的底面半径与高，从而可求得答案

【详解】解：由斐波那契数的规律可知，从第三个数起，每一个数都是前面2个数的和，即接下来的底面半径为，对应的弧长为，

设圆锥底面半径为，则，得，

所以圆锥的高为，

所以该圆锥的体积为，

故答案为：

16．如图所示，某公园计划用鹅卵石铺成两条交叉的“健康石道”（线段和），并在这两条“健康石道”两端之间建设“花卉长廊”（线段和），以供市民休闲健身.已铺设好的部分，，（为锐角三角形）由于设计要求，未铺设好的部分和的总长只能为，则剩余的“花卉长廊”（线段）最短是_____.

【答案】20

【解析】在中利用正弦定理可求得，进而得到；在中利用余弦定理可利用表示出，得到关于的二次函数的形式，利用二次函数最值的求解方法求得结果.

【详解】在中，由正弦定理得：

解得：

为锐角三角形       

设，则

在中，由余弦定理得：

当时，取得最小值       长度的最小值为

故答案为：

【点睛】本题考查解三角形实际应用中的距离问题的求解，涉及到二次函数最值的求解问题；关键是能够利用余弦定理，将所求长度表示为关于某一变量的函数的形式，进而根据函数最值的求解方法求得结果.

四、解答题

17．已知向量，满足，，且.

（1）求和的夹角的大小；

（2）在中，若，，求.

【答案】（1）；（2）1.

【分析】(1)由给定条件求出及，再借助向量夹角公式即可得解；

(2)利用向量的表示及模的计算公式即可作答.

【详解】（1）因，则，而，

于是得，则，又因，

所以；

（2）在中，因，由(1)知，

从而得.

所以.

18．在中，角的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求角B；

（2）若，求的面积．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由题设条件和正弦定理化简得到，得到，即可求解；

（2）由（1）知，利用余弦定理列出方程，求得的值，结合面积公式，即可求解.

【详解】（1）在中，因为，

由正弦定理得，

整理得，

因为，可得，所以，

又因为，可得.

（2）由（1）得，可得，即，

化简得，因为，解得，

又因为，所以．

19．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，点M是的中点．

(1)求证：平面；

(2)已知，求三棱锥的表面积．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）连接交与点，利用中位线定理得，再根据线面平行的判定定理即可证明；

（2）根据各面都是直角三角形，利用三角形的面积公式，进而能够计算三棱锥表面积

【详解】(1)如图所示

连接交与点，连接，因为底面是正方形，

所以是的中点，又点M是的中点．

所以，又平面，平面，

所以平面.

(2)因为，

所以，

所以平面，平面，

所以，

又因为底面是正方形

所以，

所以平面，平面，所以.

因为底面是边长为2的正方形，所以，

所以，

.

所以三棱锥的表面积为

.

20．如图所示，为美化环境，拟在四边形空地上修建两条道路和，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E在边的三等分点处（靠近B点），百米，，百米，．

(1)求区域的面积；

(2)为便于花草种植，现拟过C点铺设一条水管至道路上，求水管最短时的长．

【答案】(1)平方百米；

(2)百米.

【分析】（1）利用余弦定理求出，再利用三角形的面积公式即可求解；

（2）设，利用正弦定理，得出，再根据同角三角函数的平方

关系得出，当时，水管最短，进而能够求出该问题.

【详解】(1)由题意可知，，，

在中，由余弦定理得

，

即，解得百米

所以平方百米.

所以区域的面积为平方百米.

(2)设，在中，由正弦定理得

，即，解得.

所以.

当时，水管长最短，

在中，

百米

所以水管最短时的长为百米.

21．如图1，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为AB的中点．将三角形ADE沿线段DE折起到PDE的位置，如图2所示．

（1）求证：；

（2）试问平面PFC与平面PBC所成的二面角是否为，如果是，请证明；如果不是，请说明理由；

（3）在线段PD，BC上是否分别存在点M，N，使得平面平面PEN？若存在，请指出点M，N的位置，并证明；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）平面与平面所成的二面角为，证明见解析；（3）存在满足条件的，分别为中点，证明见解析.

【解析】（1）根据线面垂直的判定可证得平面，由线面垂直性质可证得结论；

（2）根据平行关系可证得平面，由面面垂直的判定可证得两平面垂直，由此得到所成角为；

（3）利用平行四边形和三角形中位线性质可证得线线平行关系，由此证得线面平行和面面平行，从而确定存在满足条件的.

【详解】（1）四边形为菱形，，即，，

又平面，，平面，

平面，.

（2）平面与平面所成的二面角为，证明如下：

为中点且四边形为菱形，，

四边形为平行四边形，，

由（1）知：平面，平面，又平面，

平面平面，即平面与平面所成的二面角为.

（3）存在满足条件的，分别为中点，证明如下：

由（2）知：四边形为平行四边形，

又分别为中点，，四边形为平行四边形，

，又平面，平面，平面；

分别为中点，为中位线，

，又平面，平面，平面，

又，平面，平面平面.

【点睛】本题考查立体几何中线线垂直关系、面面垂直与平行关系的证明问题，涉及到线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定、线面平行与面面平行的判定等定理的应用，属于常考题型.

22．在中，过重心G的直线与边交于P，与边交于，点P，Q不与B，C重合设面积为，面积为，，（为正数）．

(1)求；

(2)求的值；

(3)求的取值范围

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据向量运算求得正确答案.

（2）结合向量运算以及三点共线求得正确答案.

（3）结合（2）的结论、三角形的面积公式以及二次函数的性质求得正确答案.

【详解】(1)设分别是的中点，

由于是三角形的重心，所以，

则.

(2)，，，

，

，

由于三点共线，所以，

整理得.

(3)

，

由于，所以，

所以.