2021-2022学年江西省遂川中学高一上学期第一次月考数学试题（A卷）（解析版）

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2021-2022学年江西省遂川中学高一上学期第一次月考数学试题（A卷） 一、单选题1．已知：“，”，：“，且的图象不过第一象限”，则是的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据指数函数的图象胶充分必要条件的定义判断．【详解】，时，的图象不过第一象限，，时， 的图象也不过第一象限．因此是的充分不必要条件．故选：A．2．化简的结果为（    ）A． B． C．0 D．2【答案】A【分析】根据对数的运算性质计算即可.【详解】解：原式故选: A.3．某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的第5个零件编号是（    ）0347  4373  8636  9647  3661  4698  6371  6233  2616  8045  6011  14109577  7424  6762  4281  1457  2042  5332  3732  2707  3607  5124  5179A．36 B．16 C．11 D．14【答案】C【分析】根据随机数表法抽样的规则读取数据即可.【详解】从题中给的随机数表第一行第3列开始从左往右开始读取，重复的数字只读一次，读到的小于40的编号分别为36，33，26，16，11.所以出来的第5个零件编号是11.故选：C4．一组数据中的每一个数据都乘以2，再减去80，得到一组新数据，若求得新的数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（    ）A．40.6，1.1 B．48.8，4.4 C．81.2，44.4 D．78.8，75.6【答案】A【分析】设出原来的一组数据，使数据中的每一个数据都都乘以2，再都减去80，得到一组新数据求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，根据这些条件列出算式，合并同类项，做出原来数据的平均数，再利用方差的关系式求出方差结果．【详解】设原来的一组数据是，，每一个数据乘以2，再都减去80 得到新数据且求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，又数据都减去同一个数，没有改变数据的离散程度，， 的方差为：4.4，从而原来数据，的方差为：．故选：．【点睛】本题考查了平均数和方差的计算公式即运用：一般地设有个数据，，，，若每个数据都放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化，方差则变为这个倍数的平方倍，属于容易题．5．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（    ）A． B． 或  C． D．或【答案】D【分析】不等式有解，只需的最小值小于即可【详解】因为正实数x，y满足，所以，当且仅当，即，时，等号成立，取得最小值4．由有解，可得，解得或．故选：D．6．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，化简整理，可求得的周期，代入特殊值，即可求得a，b的值，即可得的解析式，代入所求，化简整理，即可得答案.【详解】由题意得，，所以①，所以②，①②联立可得：，即的周期为4，又，，所以且，解得，，即所以.故选：B7．设函数，则使得成立的的取值范围是A． B． C． D．【答案】D【详解】显然函数是偶函数，且在单调递增，因此要使成立，只需，只需.解得或.故选D.点睛：本题考查了函数的相关性质，涉及函数的值求法，奇偶性、单调性的证明，不等式的求解，属于难题.解决此类型问题，关键体会对定义域内任意自变量存在的性质，特别是特值的求解，即要善于发现，又要敢于试验，奇偶性在把握定义得前提下，通过赋值向定义靠拢，单调性就是要结合单调性证明格式，正用、逆用，变形使用性质，解不等式就是奇偶性及单调性的应用，注意定义域问题.8．定义在上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】若对任意的，不等式恒成立，即对，不等式恒成立，，进而可得答案.【详解】当时，单调递减，，当时，单调递减，，故在上单调递减，由，得的对称轴为，若对任意的，不等式恒成立，即对，不等式恒成立，，即，即，故实数的最大值为.故选：C. 二、多选题9．下图是我国2011-2020年载货汽车产量及增长趋势统计图，针对这10年的数据，下列说法正确的是（    ）A．与2019年相比较，2020年我国载货汽车产量同比增速不到15%B．这10年中，载货汽车的同比增速有增有减C．这10年我国载货汽车产量的极差超过150万辆D．这10年我国载货汽车产量的中位数不超过340万辆【答案】ABC【分析】A．根据年载货汽车产量进行计算并判断；B．同比增速大于说明是“增”，小于说明是“减”，据此进行判断；C．根据载货汽车产量的最大值与最小值的差进行判断；D．先将数据从小到大排列，然后求出中位数并进行判断.【详解】2020年的同比增速为，故A正确；由折线图可知，这10年中，载货汽车的同比增速有增有减，故B正确；由图可知，极差为(万辆)(万辆)，故C正确；将这10年载货汽车产量由小到大排列得：，故中位数为(万辆)，故D错误.故选：ABC10．下列结论中，所有正确的结论是（    ）A．若，则函数的最大值为B．若，，则的最小值为C．若，，，则的最大值为1D．若，，，则的最小值为【答案】BC【分析】利用基本不等式求各选项目标式的最值，注意验证等号成立的条件.【详解】A：由，则．又，当且仅当时等号成立，错误；B：，所以可化为，则，当且仅当时等号成立，正确；C：由，，，即，解得，当且仅当时等号成立，正确；D：由，即，即，当且仅当，即，时等号成立，错误.故选：BC．【点睛】易错点点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”，“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值.11．关于已知函数，则下列结论正确的是（    ）A．的图像关于原点对称 B．在上单调递增C．在上单调递增 D．的值域为【答案】BD【分析】根据奇偶性定义判断A，根据单调性定义判断C，由对称性判断B，再由单调性判断D．【详解】函数定义域为，，，故函数为偶函数，其图像关于y轴对称，所以A错误；当时，，且在单减，设，则．所以故在单减，故C错误；又由的图像关于y轴对称，故在上单增，所以B正确；结合的单调性可知，，故的值域为，所以D正确．故选：BD．12．已知函数的两个零点为，则（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】函数即为函数函数，，交点的横坐标，作出函数图像，根据图像，易判断A；根据，化简整理即可判断B；结合基本不等式将和化为积的形式即可判断C；利用整体代换结合基本不等式即可判断D.【详解】解：令，则，令，，则函数的两个零点为，即为函数，交点的横坐标，作图如下图所示：故，故A正确；根据题意得，即，因为，所以，故，即，所以，即，所以，故B正确；因为，所以，即，所以，当且仅当时取等号，又因，所以，故C错误；，当且仅当，即时，取等号，故D正确.故选：ABD. 三、填空题13．方程的解都在内，则的取值范围为_______.【答案】5≤k＜10【分析】本题根据f（x）＝2x+3x在[1，2）内是增函数，然后代入值即可得到k的取值范围．【详解】由题意，可知：f（x）＝2x+3x在[1，2）内是增函数，又f（1）＝21+3×1＝5，f（2）＝22+3×2＝10．∴5≤k＜10．故答案为5≤k＜10【点睛】本题主要考查利用函数单调性求具体区间值域，属基础题．14．设A，B是非空集合，定义且，已知，，则__________.【答案】【分析】先化简集合A，再利用集合的定义求解.【详解】解：因为，，所以，，所以或故答案为：15．等式对恒成立，其中，则______.【答案】或4【解析】对分类讨论，当时，由得到，由一次函数的图象可知不存在；当时，由，利用数形结合的思想得出的整数解.【详解】当时，由得到在恒成立，则不存在；当时，由，可得，，又的大致图象可知： ，再由，得到或，所以或4.故答案为：或4.【点睛】关键点点睛：本题考查了不等式恒成立求参数值，解题的关键是利用数形结合求出满足的关系式，考查了数形结合、 分类讨论的思想.16．已知函数在定义域上是单调函数，若对任意的，都有则的值是________．【答案】6【解析】由函数在定义域上是单调函数，且，知是一个常数，令，则，所以，解得，即可求出的解析式以及的值.【详解】因为在定义域上是单调函数，，所以是一个常数，令，则，且，令，则，所以，即，解得：，所以 ，故答案为：6【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求值，属于中档题. 四、解答题17．命题p：实数x满足其中，命题q：实数满足(1)若，且p、q有且只有一个为真，求实数x的取值范围；(2)若p的否定是q的否定的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先求出命题为真时的取值范围，再根据一真一假得的取值范围.（2）根据p的否定是q的否定的充分不必要条件列不等式求解.【详解】（1）由得，又，所以，当时，，即p为真时实数x的取值范围是由得解得，即q为真时实数x的取值范围是，因为有且只有一个为真命题，即p真q假或p假q真两种情况，当p真q假时，，当p假q真，所以实数x的取值范围是（2）由知p：，q：，若p的否定是或，q的否定是或p的否定是q的否定的充分不必要条件，，解得，故实数a的取值范围是18．二次函数在区间上有最大值4，最小值0.（1）求函数的解析式；（2）设，若在时恒成立，求的范围.【答案】（1）g（x）＝x2﹣2x+1；（2）[33，+∞）【分析】（1）根据二次函数的性质讨论对称轴，即可求解最值，可得解析式．（2）求解f（x）的解析式，f（x）﹣kx≤0在x∈[，8]，分离参数即可求解．【详解】（1）g（x）＝mx2﹣2mx+n+1（m＞0）其对称轴x＝1，x∈[0，3]上，∴当x＝1时，f（x）取得最小值为﹣m+n+1＝0，…①．当x＝3时，f（x）取得最大值为3m+n+1＝4，…②．由①②解得：m＝1，n＝0故得函数g（x）的解析式为：g（x）＝x2﹣2x+1（2）由f（x）当x∈[，8]时，f（x）﹣kx≤0恒成立，即x2﹣4x+1﹣kx2≤0恒成立，∴x2﹣4x+1≤kx2∴k．设，则t∈[，8]可得：1﹣4t+t2＝（t﹣2）2﹣3≤k．当t＝8时，（1﹣4t+t2）max＝33故得k的取值范围是[33，+∞）【点睛】本题主要考查一元二次函数最值的求解，以及不等式恒成立问题，属于中档题．19．经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴.为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销.经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足(其中，a为正常数)．已知生产该产品还需投入成本万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为元／件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】(1)（）;(2)当时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当时，促销费用投入万元，厂家的利润最大.【详解】(1)由题意知，， 将代入化简得：（）.(2)， 当且仅当时，上式取等号.当时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大； 当时，在上单调递增， 所以时，函数有最大值，即促销费用投入万元时，厂家的利润最大.综上，当时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当时，促销费用投入万元，厂家的利润最大.20．（1）已知，求的值；（2）甲乙两人同时解关于的方程：，甲写错了常数b，得两根3及；乙写错了常数c，得两根及81，求这个方程真正的根.【答案】（1）；（2）根为27或；【分析】（1）利用指对数互化可得，代入即得；（2）根据题意可求出b，c，代入即求.【详解】（1）由题可得，即，∴；（2）由题意可得，，，故，，故，则原方程为，∴或，∴或，即这个方程真正的根为27或.21．统计某公司名推销员的月销售额（单位：千元）得到如下频率分布直方图．（1）同一组数据用该区间的中间值作代表，求这名推销员的月销售额的平均数与方差；（2）请根据这组数据提出使的推销员能够完成销售指标的建议；（3）现有两种奖励机制：方案一：设，销售额落在左侧，每人每月奖励千元；销售额落在内，每人每月奖励千元；销售额落在右侧，每人每月奖励千元．方案二：每人每月奖励其月销售额的．用统计的频率进行估算，选择哪一种方案公司需提供更多的奖励金？（参考数据：）记：（其中为对应的频率）．【答案】（1）（万元）；方差为；（2）将销售指标定为千元时，才能够使的推销员完成销售指标；（3）选择方案一，公司需提供更多的奖励金．【分析】（1）根据频率分布直方图得到频率求均值与方差即可；（2）设月销售额为时，计算对应概率0.3，即可求解；（3）分别计算不同方案需提供的奖金，比较即可求解.【详解】（1）由频率分布直方图可得，这名推销员的月销售额的平均数为（万元）方差为（2），设月销售额为，则，则，解得，故根据这组数据可知：将销售指标定为千元时，才能够使的推销员完成销售指标．（3）方案一：由（1）可得，，，则当时，，当时，，当时，，共计（千元），方案二：（千元），因为，所以选择方案一，公司需提供更多的奖励金．22．已知函数，，当时，恒有．（1）求的表达式及定义域；（2）若方程有解，求实数的取值范围；（3）若方程的解集为，求实数的取值范围．【答案】（1），；（2）；（3）．【分析】（1）由已知中函数，，当时，恒有，我们可以构造一个关于方程组，解方程组求出的值，进而得到的表达式；（2）转化为，解得，可求出满足条件的实数的取值范围.（3）根据对数的运算性质，转化为一个关于的分式方程组，进而根据方程的解集为，则方程组至少一个方程无解或两个方程的解集的交集为空集，分类讨论后，即可得到答案.【详解】（1）∵当时，．，即，即，．整理得恒成立，∴，又，即，从而．∴，∵，∴，或，∴的定义域为．（2）方程有解，即，∴，∴，∴，∴，或，解得或，∴实数的取值范围．（3）方程的解集为，∴，∴，∴，方程的解集为，故有两种情况：①方程无解，即，得，②方程有解，两根均在内，，则解得．综合①②得实数的取值范围是．【点睛】关键点点睛：函数与方程、对数函数的单调性解不等式以及一元二次方程根的分布，综合性比较强，根据转化思想，不断转化是解题的关键，考查了分类讨论的思想，属于难题.