2021-2022学年江西省新干中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2021-2022学年江西省新干中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直接根据交集和补集的定义即可得出答案.

【详解】解：因为集合，，，

所以，.

故选：A.

2．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】举特例可判断A，C，D，由函数在上单调递增可判断B.

【详解】当，时，A，C错误；

因为函数在上单调递增，所以，B正确；

当时，D错误.

故选：B

3．命题“，”的否定为（    ）

A．，

B．，

C．，

D．，

【答案】A

【分析】利用全称量词命题和存在量词命题互为否定即可.

【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，

命题“，”,

的否定为：，

故选：A．

4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意可得，解不等式组可求出答案

【详解】由题意可得，解得.

故选：C

5．“”是“关于x的不等式无解”的（    ）

A．充要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】首先根据不等式无解，解出的范围，再根据充分不必要条件的含义即可判断.

【详解】若关于x的不等式无解，则，解得，

由于，故“”是“关于x的不等式无解”的充分不必要条件．

故选：C

6．已知实数a，b满足，则的最大值为（    ）

A．1 B．2 C．4 D．

【答案】B

【分析】利用基本不等式时，，构造基本不等式，求出的最大值

【详解】因为，

所以，

可得，即，

所以的最大值为2，

当且仅当时，等号成立

故选:B．

7．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用指数函数与对数函数的单调性及特殊值即可比较三者大小.

【详解】因为在上单调递减，且，所以，即，

因为在上单调递增，所以，即，

因为在上单调递增，所以，即，

所以．

故选：D．

8．某公司举行10周年纪念活动，决定给每个员工发放纪念品，并找设计师设计了甲、乙、丙三款纪念品．为了了解员工更喜欢哪一款纪念品，随机抽取了60名员工对这三款纪念品进行投票，每人至少选择一款自己喜欢的纪念品投票（如果有多款喜欢的纪念品，可以选择多款纪念品投票）．具体投票情况如下表：

那么给三款纪念品都投票了的人数为（    ）A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】D

【分析】利用集合知识容斥原理进行求解

【详解】设给甲投票的员工为集合，给乙投票的员工为集合，给丙投票的员工为集合，因为每个人都有投票，所以三个集合的容斥原理为：

所以给三款纪念品都投票了的人数为．

故选：D

二、多选题

9．在同一坐标系中，函数与且的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】分情况进行讨论指数函数与对数函数的图象即可求解.

【详解】当时，定义域为R，且在R上单调递减，定义域为，且在上单调递增，D符合；当时，定义域为R，且在R上单调递增，定义域为，且在上单调递减，B符合．

故选：BD．

10．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，，从而根据定义判断出函数的奇偶性，得到答案.

【详解】因为的定义域为，关于原点对称，

且，

故是偶函数，且在上单调递增，符合要求，A正确；

的定义域为，定义域不关于原点对称，故既不是奇函数也不是偶函数，不符合要求，B错误；

因为的定义域为R，关于原点对称，且，故是偶函数，

且在上单调递增，符合要求，C正确；

的定义域为，关于原点对称，

且，故是偶函数，

且在上单调递增，符合要求．

故选：ACD．

11．已知函数，则（    ）

A．当时，的单调递减区间为

B．当时，的单调递减区间为

C．当时，的值域为R

D．当时，的值域为

【答案】BC

【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性即可判断.

【详解】令，解得或，

故的定义域为

因为函数在上单调递减，在上单调递增，

由复合函数的单调性可知：

当时，的单调递减区间为，的值域为R；

当时，的单调递减区间为，的值域为R．

故选：BC．

12．形如的函数，我们称之为“对勾函数”．“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增．已知函数在上的最大值比最小值大1，则a的值可以是（    ）

A．4 B．12 C． D．

【答案】AD

【分析】结合已知条件，利用与区间的位置关系以及对勾函数单调性即可求解.

【详解】由对勾函数的性质可得，在上单调递减，在上单调递增．

①当，即时，在上单调递增，

，

解得，满足题意；

②当，即时，在上单调递减，

，解得，不满足题意，舍去；

③当，即，在上单调递减，在上单调递增，

，

(i)当时，即时，

，

故，解得或，均不满足题意，舍去；

(ii)当时，即时，

，

从而，解得，满足题意.

综上所述，a的值所组成的集合为.

故选：AD.

三、填空题

13．________．

【答案】2

【分析】根据换底公式化简求值.

【详解】.

故答案为：2

14．已知函数满足：①定义域为；②值域为；③写出一个满足上述条件的函数：__________．

【答案】答案不唯一

【分析】答案不唯一只要满足题意的即可.

【详解】函数的定义域为，值域为，

且满足，

即函数符合题意．

故答案为：．

15．已知，且，函数的值域为，则a的取值范围是__________．

【答案】

【分析】当时，的范围是，结合指数函数的单调性和的值域为即可得到答案

【详解】解：当时，，

因为的值域为，结合指数函数的性质可得在上单调递增，

则，且在上的值域为，

由题意可得，

故，

故答案为：

16．已知定义在上的函数满足，则的最小值为__________．

【答案】4

【分析】列方程组得解析式后由基本不等式求解，

【详解】因为，所以，①，

所以②

由①②可解得，，

因为，所以，当且仅当，即时，等号成立．

故答案为：4

四、解答题

17．已知集合，，

(1)求；

(2)若，求a的取值范围．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）先求出集合，再由并集和补集的定义即可得出答案.

（2）由，则，解方程即可得出答案.

【详解】（1）因为或，，

所以或，

故或．

（2）因为，

所以，

解得，

故a的取值范围为

18．已知幂函数的图象关于原点对称．

(1)求的值；

(2)设函数是定义在上的减函数，求关于的不等式的解集．

【答案】(1) ;

(2)

【分析】（1）根据幂函数定义整体系数为1即可求解；

（2）根据幂函数单调性即可求解.

【详解】（1）因为是幂函数，

所以，解得或2,

当时，，与题意不符；

当时，的图象关于原点对称，符合题意．

综上，m的值为－1.

（2）由（1）可得

由题意可得，

解得，

故原不等式的解集为

19．已知函数

(1)若，求在上的单调区间；

(2)若，求的最大值．

【答案】(1)在上的单调递减区间为，在上的单调递增区间为

(2)

【分析】（1）直接根据二次函数的图像性质即可得到结果；

（2）根据二次函数对称轴为直线，分，即可得到结果.

【详解】（1）若，则，

为二次函数，对称轴方程为，且开口向上，

在上的单调递减区间为，在上的单调递增区间为

（2）函数图像的对称轴为直线．

当时，

当时，．

综上，

20．已知函数且，且．

(1)求a的值，并判断的奇偶性；

(2)若函数在上的最大值为，求k的值．

【答案】(1)，奇函数

(2)1

【分析】（1）根据，代入计算，即可求得，然后由即可得到其为奇函数；

（2）根据，然后结合函数的单调性，可得，从而求得k的值.

【详解】（1）因为，所以，解得或（舍去）．

因为的定义域为，

且，

所以为奇函数．

（2）．

因为函数在上单调递增，且，

所以函数在上单调递增．

因为函数在上单调递增，

所以在上单调递增，

则，

解得．

21．已知函数且．

(1)求的定义域；

(2)若对任意，恒成立，求a的取值范围．

【答案】(1)当时，的定义域为；当时，的定义域为

(2)．

【分析】（1）根据对数函数定义可得，讨论，，即可得的定义域；

（2）将不等式转化为，利用的单调性得在上恒成立，讨论，，即可得a的取值范围．

【详解】（1）解：由题意可得．

当时，解得；当时，解得；

综上，当时，的定义域为；当时，的定义域为.

（2）解：由题意可得，

因为函数在其定义域内单调递增，

所以，

即，又恒成立

则，即．

若对任意，恒成立，

即对任意，恒成立．

当时，函数在上单调递增，则，即；

当时，函数在上单调递减，则，不满足题意．

综上，a的取值范围是．

22．设函数的定义域为D，若存在正实数a，使得对于任意，总有，且，则称是D上的“a距增函数”．

(1)判断函数是否为上的“1距增函数”，并说明理由；

(2)判断函数是否为R上的“8距增函数”，并说明理由；

(3)已知是定义在R上的奇函数，且当时，．若为R上的“2021距增函数”，求b的取值范围．

【答案】(1)函数是上的“1距增函数”，理由见解析

(2)函数不是R上的“8距增函数”，理由见解析

(3)

【分析】（1）计算的值，并与0比较大小，即可判断；

（2）计算，，则即可判断；

（3）由是奇函数，可得，再分和，结合函数的单调性，即可得解.

【详解】（1）函数是上的“1距增函数”．

对任意，有，

且，

故是上的“1距增函数”．

（2）函数不是R上的“8距增函数”．

因为，，

所以，

故函数不是R上的“8距增函数”．

（3）因为是定义在R上的奇函数，且当时，，

所以

若，在R上单调递增，

则恒成立，符合题意．

若，分以下情况：

①当时，单调递增，则恒成立．

②当时，，单调递增，则恒成立．

③当时，，则，解得

④当或时，若，则

综上，b的取值范围是