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2023高考数学二轮专题复习 专题14 指、对、幂形数的大小比较问题（精讲精练）（解析版）
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这是一份2023高考数学二轮专题复习 专题14 指、对、幂形数的大小比较问题（精讲精练）（解析版），文件包含专题14指对幂形数的大小比较问题精讲精练解析版docx、专题14指对幂形数的大小比较问题精讲精练原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共54页， 欢迎下载使用。
专题14 指、对、幂形数的大小比较问题
【命题规律】
指、对、幂形数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，命题形式主要以选择题为主．每年高考题都会出现，难度逐年上升．
【核心考点目录】
核心考点一：直接利用单调性
核心考点二：引入媒介值
核心考点三：含变量问题
核心考点四：构造函数
核心考点五：数形结合
核心考点六：特殊值法、估算法
核心考点七：放缩法
核心考点八：不定方程
【真题回归】
1．（2022·天津·统考高考真题）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，故.
故答案为：C.
2．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
3．（2022·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
4．（2021·天津·统考高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
，，
，，
.
故选：D.
5．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】[方法一]：构造函数
因为当
故，故，所以；
设，
，所以在单调递增，
故，所以，
所以，所以，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当，
取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时，
故，故
所以，所以，故选A
[方法三]：泰勒展开
设，则，，
，计算得，故选A.
[方法四]：构造函数
因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
【方法技巧与总结】
（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．
（2）指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．
（3）转化为两函数图象交点的横坐标
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
【核心考点】
核心考点一：直接利用单调性
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知三个函数的零点依次为，则的大小关系（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵函数为增函数，又，
∴，
由，得，即，
∵在单调递增，
又，
∴，
∴.
故选：D.
例2．（2022春·辽宁大连·高三校联考期中）已知，，，，则a，b，c的大小关系正确的为（ ）
A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞b＞c
【答案】B
【解析】由题意，故，
由指数函数的单调性，单调递减，故，
由幂函数的单调性，在单调递增，故，
综上：.
故选：B
例3．（2022春·贵州黔东南·高二凯里一中阶段练习）设，，，则、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】构造函数，因为函数、在上均为增函数，
所以，函数为上的增函数，且，，
因为，由零点存在定理可知；
构造函数，因为函数、在上均为增函数，
所以，函数为上的增函数，且，，
因为，由零点存在定理可知.
因为，则，因此，.
故选：B.
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则正数，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，由，得，
因此，，即，
由，得，于是得，
所以正数，，的大小关系为.
故选：A
核心考点二：引入媒介值
【典型例题】
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得，，，，
由于，， ，而
，，所以，所以．
故选：D．
例6．（2023·全国·高三专题练习）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，，
，
所以
故选：A
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
，
，
所以．
故选：C．
例8．（2022·云南昆明·昆明一中模拟预测）已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
最大，
，，
，
故选：B
例9．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
而，且，
所以.
又，
所以，
故选：A.
例10．（2023·全国·高三专题练习）三个数a＝0.42，b＝log20.3，c＝20.6之间的大小关系是（ ）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【答案】C
【解析】∵0＜0.42＜0.40＝1，∴0＜a＜1，
∵log20.3＜log21＝0，∴b＜0，
∵20.6＞20＝1，∴c＞1，
∴b＜a＜c，
故选：C．
核心考点三：含变量问题
【典型例题】
例11．（2022·广西·统考模拟预测）已知正数满足且成等比数列，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，则，
当时，，单调递增，所以，所以，故，
因为正数成等比数列，所以即，故，
所以，故，
综上所述，，
故选：D
例12．（2022春·湖南岳阳·高三统考阶段练习）已知正数，满足，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】均为正数，
因为，所以，设，
则，
令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，
即，所以，可得，
又得，综上，.
故选：D.
例13．（2022春·湖北·高三校联考开学考试）已知均为不等于1的正实数，且，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】且、、均为不等于的正实数，
则与同号，与同号，从而、、同号.
①若、、，则、、均为负数，
，可得，，可得，此时；
②若、、，则、、均为正数，
，可得，，可得，此时.
综上所述，.
故选：D.
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，由，得，
设，则，
当时，单调递增，因，
当且仅当时取等号，故，
又，所以，故，
∴，则，即有，故.
故选:C．
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知且，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】构造函数，则，，．
因为在上恒成立，所以函数在上单调递减.
又因为，所以，且，故.
故选：C．
例16．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）已知，记，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，
所以，
故选：A
核心考点四：构造函数
【典型例题】
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】记.
因为，所以当时，，所以在上单调递增函数，所以当时，，即，所以.
记.
因为，所以在上单调递减函数，所以当时，，即，所以.
所以.
记.
因为，所以当时，，所以在上单调递增函数，所以当时，，即，所以.
所以.
综上所述：.
故选：B
例18．（四川省眉山市2023届高三第一次诊断性考试数学（文）试题）设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则，
当，，此时单调递增，
当，，此时单调递减，
所以，
所以，即，
所以；
又设，恒成立，
∴当， 单调递减，
当时，有，则，
所以，
综上可得．
故选：D．
例19．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）设，，，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令函数，，当时，，即在上递减，
则当时，，即，因此，即；
令函数，，当时，，则在上单调递增，
则当时，，即，因此，即，
所以的大小关系正确的是.
故选：B
例20．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则，
所以在上递减，所以，即，
设，则，递增，
则，即，
所以，
令，则，，
当时，，则递减，又，
所以当时，，递减，
则，即，
因为，则，
所以，即，
故，
故选：D
例21．（2023·全国·高三专题练习）设，则的大小关系是___________.
【答案】
【解析】由已知可得，
设，，则，
所以在上单调递增，
所以，即，所以，
设，，则，
所以在上单调递增，
所以，即，所以，
设，，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，所以，
所以
故答案为：.
例22．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）设，，，则，，的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，，，
所以只要比较的大小即可，
令，则，所以在 上递增，
所以，所以，
所以，即，
令，则，
因为在上为减函数，且，
所以当时，，
所以在上为减函数，
因为，，
要比较与的大小，只要比较与的大小，
令，则，
所以在上递增，所以，
所以当时，，所以，
所以，所以，
所以当时，，
所以在上递增，
所以，所以，
所以，所以，所以，
所以，
故选：D
例23．（2022春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设，则，当时，，
当时，，所以函数在上单调递增，在单调递减，
所以时，，所以，即，
所以，
又，对任意恒成立.
因此，
故选：.
例24．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】①先比较 ：，，设函数，
则，得函数在单调递减，得函数在单调递增 所以 即；
②再比较：由①知，
而 ， 设，
当，，单调递增，当，，单调递减，
所以，而，
所以，
故选：A
核心考点五：数形结合
【典型例题】
例25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别为a，b，c则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由得，，
由得，由得.
在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，
由图象知，，.
故选：D
例26．（2023·江苏·高三专题练习）已知正实数，，满足，，，则a，b，c的大小关系为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
故令，则，．
易知和均为上的增函数，故在为增函数．
∵，故由题可知，，即，则．
易知，，
作出函数与函数的图象，如图所示，
则两图象交点横坐标在内，即，
，
．
故选：B．
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知，则这三个数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则，
由，解得，由，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
因为，
所以，即，
所以，所以，
又递增，
所以，即；
，
在同一坐标系中作出与的图象，如图：
由图象可知在中恒有，
又，所以，
又在上单调递增，且
所以，即；
综上可知：，
故选：A
例28．（2022春·四川内江·高三校考阶段练习）最近公布的2021年网络新词，我们非常熟悉的有“”、“内卷”、“躺平”等．定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，的“躺平点”分别为，，则，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，则，
由题意可得：，
令，则为的零点，
可知在定义域内单调递增，且，
∴；
又∵，则，
由题意可得：，
令，则为的零点，
，
令，则或，
∴在，内单调递增，在内单调递减，
当时，，则在内无零点，
当时，，则，
综上所述：；
故.
故选：D.
核心考点六：特殊值法、估算法
【典型例题】
例29．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
依题意，，函数在上单调递增，而，于是得，即，
函数在单调递增，并且有，
则，
于是得，即，则，
又函数在单调递增，且，则有，
所以.
故选：C
例30．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由，，可知，
又由，从而，可得，
因为，所以；
因为，从而，即，
由对数函数单调性可知，，
综上所述，.
故选：B.
例31．（2023·全国·高三专题练习）若，，，，则，，这三个数的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为， 所以取，则
，
，
，所以.
故选：C.
核心考点七：放缩法
【典型例题】
例32．（2022·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】分别对，，两边取对数，得，，．
．
由基本不等式，得:
，
所以，
即，所以．
又，所以.
故选：D．
例33．（2023·全国·高三专题练习）已知：，，，则、、大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令，则，
当时，，
所以函数在上递增，
所以，
即，
又，
所以，
所以，
又，所以，
，
所以，
所以.
故选：B.
例34．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知实数满足，，，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由得：，，，即；
，，即；
由得：，
，，即；
综上所述：.
故选：D.
例35．（2022·全国·高三专题练习）己知，设，则a，b，c的大小关系为_______．（用“”连接）
【答案】
【解析】由得
，
即，
，
又，
，
，
，
，
综上：．
故答案为：．
核心考点八：不定方程
【典型例题】
例36．（2022·宁夏·银川一中一模（文））已知实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
解：设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，故，
所以，又，
所以，
所以.
故选：C．
例37．（2023·全国·高三专题练习）正实数满足，则实数之间的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，即，即，与的图象在只有一个交点，
则在只有一个根，令，
，，，则；
，即，即，由与的图象在只有一个交点，
则在只有一个根，令，，
，，故；
，即，
即，由与的图象在只有一个交点，
则在只有一个根，令，，
，，则；
故选：A.
【新题速递】
一、单选题
1．（2022春·天津和平·高三耀华中学阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】要比较，，中的大小，
等价于比较，，中的大小，
∵，由定义域可知，
故，
∵在定义域上单调递减，
，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
故，则，
，
，由定义域可知：，
又∵，
∴，则，
，故，
∵，，
∴，
，
.
故选：A.
2．（2022·浙江·模拟预测）已知正数，，满足，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由解得，
构造函数，，显然，
故是减函数，结合，故时，，
故，，
再令，，，当时，，
故在单调递增，结合，
故，，
则，
，
所以，，，
故，
由，，都是正数，故．
故选：D．
3．（2022·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）已知正实数x，y，z满足，则不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，，则，，.
选项A，，，，则，故A正确；
选项B，，，，
下面比较的大小关系，
因为，，，所以，即，又，
所以，即，故B不正确；
选项C，，，，
因为，又，所以，即，故C正确；
选项D，，
因为，所以，
又，所以，故D正确；
故选：B.
4．（2023春·山东济南·高三统考期中）设方程和的根分别为和，函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】方法一：由得，由得，
因为方程的根为，所以函数与的图象交点的横坐标为，
同理：函数与的图象交点的横坐标为，
因为与互为反函数，所以两函数图象关于对称，
易知直线与直线互相垂直，所以两点关于直线对称，
即的中点一定落在，亦即点为与的交点，
联立，解得，即，
所以，
故，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
而，，，
则，，
令，则，
所以在上单调递增，
所以，即，故，
令，则，
令，得，所以在上单调递增，
所以，
则，故，
综上：.
故选：B.
方法二：前面部分同方法一得，，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
而，，，
因为，当且仅当时取等号，所以，
当时，，所以，即，下面比较的大小关系，
设，，
所以，
故在上递增，，即有，亦即，综上：.
故选：B.
5．（2023春·福建宁德·高三校考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可得：，
令，则，
当时，，又，
则，即，故在单调递增，，
则当时，，即，；
令，则，
当时，，又，
则，即，故在单调递减，，
故当时，，即，；
综上所述，.
故选：A.
6．（2023·江苏·高三专题练习）已知正实数，，满足，，，则a，b，c的大小关系为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
故令，则，．
易知和均为上的增函数，故在为增函数．
∵，故由题可知，，即，则．
易知，，
作出函数与函数的图象，如图所示，
则两图象交点横坐标在内，即，
，
．
故选：B．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知，且满足，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由，可得，
所以，或，
∴(舍去)，或，即，故A错误；
又，故，
∴，对于函数，
则，函数单调递增，
∴，故D错误；
∵，，
∴，
令，则，
∴函数单调递增，
∴，即，
∴，即，故B正确；
∵，
∴函数单调递增，故函数单调递增，
∴，即，故C错误.
故选：B.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的零点为a，函数的零点为b，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由，得，，
因为与关于直线对称，
在同一坐标系下，画出，，，的图象，
如图所示：
则，，，关于对称.
所以，，故B错误.
因为，，，所以，故A错误.
因为，，在上为增函数，
，，所以.
又因为点在直线上，且，所以.
，故C正确.
因为，所以，
设，，在为增函数.
所以，
即，，故D错误.
故选：C
9．（2023·全国·高三专题练习）在给出的①；②；③．三个不等式中，正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】①令，则，，
所以，在上，即递减，而，
所以，即，故，正确；
②令，则，
又，在上，则递增，
所以，在上，即，则递减，
所以，正确；
③，而递增，故，错误.
故选：C
10．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，则，令，解得，
故当时，单调递减，故，即，
则.
令，则，
故当时，单调递增，时，单调递减，
则，即.
，故；
，故；
综上所述：.
故选：D.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】先比较，易知,故，即
又，故时，时
故， 而，故，有
故选：A
12．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
，所以；
由且，所以，所以，
令，，令，则，
则，等价于，；
又，
所以当时，，故，所以.
故选：D.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以；
令，，
所以在上单调递增，
因为，所以，即，
所以，
所以；
同理，所以，即，也即，
所以，
所以.
综上，，
故选：D.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解析：因为，所以；
又
构造，
则
因为， ，
由于函数 的分母为正数，此时只需要判断分子的符号，
设
则在R上递增，，即当 时， 的分子总是正数，
，
，即，
应用排除法，
故选：B.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对，，取对数得：，，，
令()，，
令，，即在上单调递增，
由得，，于是得，又，
因此，，即在上单调递增，从而得，
即，，所以.
故选：B
16．（2023·全国·高三专题练习）设，，．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】[方法一]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0
所以，即，即；
令，则，，
由于，在x>0时，，
所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b
故选：B.
[方法二]：
令
，即函数在（1，+∞)上单调递减
令
，即函数在（1，3)上单调递增
综上，，
故选：B.
17．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，，，，
，即，；
，即，；
，即，；，即.
设，则，
当时，，又，，，
在上单调递减，，即当时，，
，，即.
综上所述：.
故选：.
二、多选题
18．（2023·全国·高三专题练习）当时，不等式成立．若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】当时，不等式，令，则在上单调递增，
因，则，A正确；
因，则，B不正确；
由知，，有，则，
由选项A知，，即，C不正确；
由得，，则，D正确.
故选：AD
19．（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】选项A：
由，可得，
则，，
则，则.判断错误；
选项B：由，可得为上减函数，
又，则.判断正确；
选项C：由，可知为R上减函数，又，则
由，可知为上增函数，又，则，则
又为上增函数，则，则.判断正确；
选项D：令，则，
，
则，即.判断错误.
故选：BC
20．（2022·全国·模拟预测）下列不等式关系成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】A选项：当且时，
有，
进一步可得，
（）
从而得当且时，有，
所以，故A选项不成立.
B选项：令，则，所以在上函数单调递减，所以，也即在上，，即，所以当时，，，
即，在上式中取，得，
即，故B选项成立.
C选项：因为，，所以，故C选项成立.
D选项：当时，，取，得，即，故D选项成立.
21．（2022春·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）下列大小关系正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】设，则，
时，，递增，
而，所以，即，，
即，A正确；
，B正确；
，所以，
所以，C正确；
，，
，所以，
，，所以，，
所以，D错．
故选：ABC．
22．（2022·湖南·模拟预测）已知，，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】令，则，
所以当时，，所以在上单调递增；
由得，即，
∵，∴，
∴，即，
∴，即，∴，A正确；
由知，所以，所以选项B错误；
由知，所以选项C正确．
由，知，所以，
所以D错误，
故选：AC．
23．（2022·福建泉州·统考模拟预测）若，则下列式子可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】令，
则恒成立，
所以单调递增，
其中，，
则存在，使得
①当时，
即，
若，则，且，则，
不满足，故，且，
所以
又因为，所以，D正确；
②当时，
，即
（1）当时，，，则成立，故，B正确；
（2）当时，，若，则，
因为，且在上单调递增，
所以当时，，则，
所以，所以，又因为，所以，选项C正确.
故选：BCD
24．（2022春·江苏泰州·高三泰州中学校考开学考试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】由题意，，得 ，
，，∴，∴，A对；
，令，即有，
令，
在上递减，在上递增，
因为 ，∴，
作出函数以及 大致图象如图：
则，∴，结合图象则，
∴，∴，B对；
结合以上分析以及图象可得，∴，
且 ，
∴，C对；
由C的分析可知，，
在区间 上，函数 不是单调函数，即不成立，即不成立，故D错误；
故选：ABC．
25．（2022·湖南长沙·雅礼中学校联考二模）下列不等式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】由
，则有，A正确；
假定，有，
令，求导得，在上单调递增，
则，即当时，，，，
令，求导得，在上单调递减，
则，即当时，，，，
，
因成立，则成立，所以成立，B不正确；
假定，有，
令，，则在上单调递增，
而，则，所以成立，C不正确；
令，求导得，，
曲线在处切线方程为，
令，求导得，即在上单调递减，
而，则，即，D正确.
故选：AD
26．（2022·全国·高三专题练习）已知，下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】令在内单调递增.
时，，即A选项正确；
令在内单调递增，
，即，B选项正确；
令，当时，单调递减，当时，单调递增，与大小不确定，C错误；
当时，，D错误
故选：AB
专题14 指、对、幂形数的大小比较问题
【命题规律】
指、对、幂形数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，命题形式主要以选择题为主．每年高考题都会出现，难度逐年上升．
【核心考点目录】
核心考点一：直接利用单调性
核心考点二：引入媒介值
核心考点三：含变量问题
核心考点四：构造函数
核心考点五：数形结合
核心考点六：特殊值法、估算法
核心考点七：放缩法
核心考点八：不定方程
【真题回归】
1．（2022·天津·统考高考真题）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，故.
故答案为：C.
2．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
3．（2022·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
4．（2021·天津·统考高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
，，
，，
.
故选：D.
5．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】[方法一]：构造函数
因为当
故，故，所以；
设，
，所以在单调递增，
故，所以，
所以，所以，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当，
取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时，
故，故
所以，所以，故选A
[方法三]：泰勒展开
设，则，，
，计算得，故选A.
[方法四]：构造函数
因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
【方法技巧与总结】
（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．
（2）指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．
（3）转化为两函数图象交点的横坐标
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
【核心考点】
核心考点一：直接利用单调性
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知三个函数的零点依次为，则的大小关系（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵函数为增函数，又，
∴，
由，得，即，
∵在单调递增，
又，
∴，
∴.
故选：D.
例2．（2022春·辽宁大连·高三校联考期中）已知，，，，则a，b，c的大小关系正确的为（ ）
A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞b＞c
【答案】B
【解析】由题意，故，
由指数函数的单调性，单调递减，故，
由幂函数的单调性，在单调递增，故，
综上：.
故选：B
例3．（2022春·贵州黔东南·高二凯里一中阶段练习）设，，，则、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】构造函数，因为函数、在上均为增函数，
所以，函数为上的增函数，且，，
因为，由零点存在定理可知；
构造函数，因为函数、在上均为增函数，
所以，函数为上的增函数，且，，
因为，由零点存在定理可知.
因为，则，因此，.
故选：B.
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则正数，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，由，得，
因此，，即，
由，得，于是得，
所以正数，，的大小关系为.
故选：A
核心考点二：引入媒介值
【典型例题】
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得，，，，
由于，， ，而
，，所以，所以．
故选：D．
例6．（2023·全国·高三专题练习）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，，
，
所以
故选：A
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
，
，
所以．
故选：C．
例8．（2022·云南昆明·昆明一中模拟预测）已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
最大，
，，
，
故选：B
例9．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
而，且，
所以.
又，
所以，
故选：A.
例10．（2023·全国·高三专题练习）三个数a＝0.42，b＝log20.3，c＝20.6之间的大小关系是（ ）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【答案】C
【解析】∵0＜0.42＜0.40＝1，∴0＜a＜1，
∵log20.3＜log21＝0，∴b＜0，
∵20.6＞20＝1，∴c＞1，
∴b＜a＜c，
故选：C．
核心考点三：含变量问题
【典型例题】
例11．（2022·广西·统考模拟预测）已知正数满足且成等比数列，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，则，
当时，，单调递增，所以，所以，故，
因为正数成等比数列，所以即，故，
所以，故，
综上所述，，
故选：D
例12．（2022春·湖南岳阳·高三统考阶段练习）已知正数，满足，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】均为正数，
因为，所以，设，
则，
令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，
即，所以，可得，
又得，综上，.
故选：D.
例13．（2022春·湖北·高三校联考开学考试）已知均为不等于1的正实数，且，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】且、、均为不等于的正实数，
则与同号，与同号，从而、、同号.
①若、、，则、、均为负数，
，可得，，可得，此时；
②若、、，则、、均为正数，
，可得，，可得，此时.
综上所述，.
故选：D.
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，由，得，
设，则，
当时，单调递增，因，
当且仅当时取等号，故，
又，所以，故，
∴，则，即有，故.
故选:C．
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知且，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】构造函数，则，，．
因为在上恒成立，所以函数在上单调递减.
又因为，所以，且，故.
故选：C．
例16．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）已知，记，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，
所以，
故选：A
核心考点四：构造函数
【典型例题】
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】记.
因为，所以当时，，所以在上单调递增函数，所以当时，，即，所以.
记.
因为，所以在上单调递减函数，所以当时，，即，所以.
所以.
记.
因为，所以当时，，所以在上单调递增函数，所以当时，，即，所以.
所以.
综上所述：.
故选：B
例18．（四川省眉山市2023届高三第一次诊断性考试数学（文）试题）设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则，
当，，此时单调递增，
当，，此时单调递减，
所以，
所以，即，
所以；
又设，恒成立，
∴当， 单调递减，
当时，有，则，
所以，
综上可得．
故选：D．
例19．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）设，，，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令函数，，当时，，即在上递减，
则当时，，即，因此，即；
令函数，，当时，，则在上单调递增，
则当时，，即，因此，即，
所以的大小关系正确的是.
故选：B
例20．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则，
所以在上递减，所以，即，
设，则，递增，
则，即，
所以，
令，则，，
当时，，则递减，又，
所以当时，，递减，
则，即，
因为，则，
所以，即，
故，
故选：D
例21．（2023·全国·高三专题练习）设，则的大小关系是___________.
【答案】
【解析】由已知可得，
设，，则，
所以在上单调递增，
所以，即，所以，
设，，则，
所以在上单调递增，
所以，即，所以，
设，，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，所以，
所以
故答案为：.
例22．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）设，，，则，，的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，，，
所以只要比较的大小即可，
令，则，所以在 上递增，
所以，所以，
所以，即，
令，则，
因为在上为减函数，且，
所以当时，，
所以在上为减函数，
因为，，
要比较与的大小，只要比较与的大小，
令，则，
所以在上递增，所以，
所以当时，，所以，
所以，所以，
所以当时，，
所以在上递增，
所以，所以，
所以，所以，所以，
所以，
故选：D
例23．（2022春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设，则，当时，，
当时，，所以函数在上单调递增，在单调递减，
所以时，，所以，即，
所以，
又，对任意恒成立.
因此，
故选：.
例24．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】①先比较 ：，，设函数，
则，得函数在单调递减，得函数在单调递增 所以 即；
②再比较：由①知，
而 ， 设，
当，，单调递增，当，，单调递减，
所以，而，
所以，
故选：A
核心考点五：数形结合
【典型例题】
例25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别为a，b，c则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由得，，
由得，由得.
在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，
由图象知，，.
故选：D
例26．（2023·江苏·高三专题练习）已知正实数，，满足，，，则a，b，c的大小关系为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
故令，则，．
易知和均为上的增函数，故在为增函数．
∵，故由题可知，，即，则．
易知，，
作出函数与函数的图象，如图所示，
则两图象交点横坐标在内，即，
，
．
故选：B．
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知，则这三个数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则，
由，解得，由，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
因为，
所以，即，
所以，所以，
又递增，
所以，即；
，
在同一坐标系中作出与的图象，如图：
由图象可知在中恒有，
又，所以，
又在上单调递增，且
所以，即；
综上可知：，
故选：A
例28．（2022春·四川内江·高三校考阶段练习）最近公布的2021年网络新词，我们非常熟悉的有“”、“内卷”、“躺平”等．定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，的“躺平点”分别为，，则，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，则，
由题意可得：，
令，则为的零点，
可知在定义域内单调递增，且，
∴；
又∵，则，
由题意可得：，
令，则为的零点，
，
令，则或，
∴在，内单调递增，在内单调递减，
当时，，则在内无零点，
当时，，则，
综上所述：；
故.
故选：D.
核心考点六：特殊值法、估算法
【典型例题】
例29．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
依题意，，函数在上单调递增，而，于是得，即，
函数在单调递增，并且有，
则，
于是得，即，则，
又函数在单调递增，且，则有，
所以.
故选：C
例30．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由，，可知，
又由，从而，可得，
因为，所以；
因为，从而，即，
由对数函数单调性可知，，
综上所述，.
故选：B.
例31．（2023·全国·高三专题练习）若，，，，则，，这三个数的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为， 所以取，则
，
，
，所以.
故选：C.
核心考点七：放缩法
【典型例题】
例32．（2022·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】分别对，，两边取对数，得，，．
．
由基本不等式，得:
，
所以，
即，所以．
又，所以.
故选：D．
例33．（2023·全国·高三专题练习）已知：，，，则、、大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令，则，
当时，，
所以函数在上递增，
所以，
即，
又，
所以，
所以，
又，所以，
，
所以，
所以.
故选：B.
例34．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知实数满足，，，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由得：，，，即；
，，即；
由得：，
，，即；
综上所述：.
故选：D.
例35．（2022·全国·高三专题练习）己知，设，则a，b，c的大小关系为_______．（用“”连接）
【答案】
【解析】由得
，
即，
，
又，
，
，
，
，
综上：．
故答案为：．
核心考点八：不定方程
【典型例题】
例36．（2022·宁夏·银川一中一模（文））已知实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
解：设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，故，
所以，又，
所以，
所以.
故选：C．
例37．（2023·全国·高三专题练习）正实数满足，则实数之间的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，即，即，与的图象在只有一个交点，
则在只有一个根，令，
，，，则；
，即，即，由与的图象在只有一个交点，
则在只有一个根，令，，
，，故；
，即，
即，由与的图象在只有一个交点，
则在只有一个根，令，，
，，则；
故选：A.
【新题速递】
一、单选题
1．（2022春·天津和平·高三耀华中学阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】要比较，，中的大小，
等价于比较，，中的大小，
∵，由定义域可知，
故，
∵在定义域上单调递减，
，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
故，则，
，
，由定义域可知：，
又∵，
∴，则，
，故，
∵，，
∴，
，
.
故选：A.
2．（2022·浙江·模拟预测）已知正数，，满足，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由解得，
构造函数，，显然，
故是减函数，结合，故时，，
故，，
再令，，，当时，，
故在单调递增，结合，
故，，
则，
，
所以，，，
故，
由，，都是正数，故．
故选：D．
3．（2022·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）已知正实数x，y，z满足，则不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，，则，，.
选项A，，，，则，故A正确；
选项B，，，，
下面比较的大小关系，
因为，，，所以，即，又，
所以，即，故B不正确；
选项C，，，，
因为，又，所以，即，故C正确；
选项D，，
因为，所以，
又，所以，故D正确；
故选：B.
4．（2023春·山东济南·高三统考期中）设方程和的根分别为和，函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】方法一：由得，由得，
因为方程的根为，所以函数与的图象交点的横坐标为，
同理：函数与的图象交点的横坐标为，
因为与互为反函数，所以两函数图象关于对称，
易知直线与直线互相垂直，所以两点关于直线对称，
即的中点一定落在，亦即点为与的交点，
联立，解得，即，
所以，
故，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
而，，，
则，，
令，则，
所以在上单调递增，
所以，即，故，
令，则，
令，得，所以在上单调递增，
所以，
则，故，
综上：.
故选：B.
方法二：前面部分同方法一得，，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
而，，，
因为，当且仅当时取等号，所以，
当时，，所以，即，下面比较的大小关系，
设，，
所以，
故在上递增，，即有，亦即，综上：.
故选：B.
5．（2023春·福建宁德·高三校考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可得：，
令，则，
当时，，又，
则，即，故在单调递增，，
则当时，，即，；
令，则，
当时，，又，
则，即，故在单调递减，，
故当时，，即，；
综上所述，.
故选：A.
6．（2023·江苏·高三专题练习）已知正实数，，满足，，，则a，b，c的大小关系为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
故令，则，．
易知和均为上的增函数，故在为增函数．
∵，故由题可知，，即，则．
易知，，
作出函数与函数的图象，如图所示，
则两图象交点横坐标在内，即，
，
．
故选：B．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知，且满足，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由，可得，
所以，或，
∴(舍去)，或，即，故A错误；
又，故，
∴，对于函数，
则，函数单调递增，
∴，故D错误；
∵，，
∴，
令，则，
∴函数单调递增，
∴，即，
∴，即，故B正确；
∵，
∴函数单调递增，故函数单调递增，
∴，即，故C错误.
故选：B.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的零点为a，函数的零点为b，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由，得，，
因为与关于直线对称，
在同一坐标系下，画出，，，的图象，
如图所示：
则，，，关于对称.
所以，，故B错误.
因为，，，所以，故A错误.
因为，，在上为增函数，
，，所以.
又因为点在直线上，且，所以.
，故C正确.
因为，所以，
设，，在为增函数.
所以，
即，，故D错误.
故选：C
9．（2023·全国·高三专题练习）在给出的①；②；③．三个不等式中，正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】①令，则，，
所以，在上，即递减，而，
所以，即，故，正确；
②令，则，
又，在上，则递增，
所以，在上，即，则递减，
所以，正确；
③，而递增，故，错误.
故选：C
10．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，则，令，解得，
故当时，单调递减，故，即，
则.
令，则，
故当时，单调递增，时，单调递减，
则，即.
，故；
，故；
综上所述：.
故选：D.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】先比较，易知,故，即
又，故时，时
故， 而，故，有
故选：A
12．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
，所以；
由且，所以，所以，
令，，令，则，
则，等价于，；
又，
所以当时，，故，所以.
故选：D.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以；
令，，
所以在上单调递增，
因为，所以，即，
所以，
所以；
同理，所以，即，也即，
所以，
所以.
综上，，
故选：D.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解析：因为，所以；
又
构造，
则
因为， ，
由于函数 的分母为正数，此时只需要判断分子的符号，
设
则在R上递增，，即当 时， 的分子总是正数，
，
，即，
应用排除法，
故选：B.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对，，取对数得：，，，
令()，，
令，，即在上单调递增，
由得，，于是得，又，
因此，，即在上单调递增，从而得，
即，，所以.
故选：B
16．（2023·全国·高三专题练习）设，，．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】[方法一]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0
所以，即，即；
令，则，，
由于，在x>0时，，
所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b
故选：B.
[方法二]：
令
，即函数在（1，+∞)上单调递减
令
，即函数在（1，3)上单调递增
综上，，
故选：B.
17．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，，，，
，即，；
，即，；
，即，；，即.
设，则，
当时，，又，，，
在上单调递减，，即当时，，
，，即.
综上所述：.
故选：.
二、多选题
18．（2023·全国·高三专题练习）当时，不等式成立．若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】当时，不等式，令，则在上单调递增，
因，则，A正确；
因，则，B不正确；
由知，，有，则，
由选项A知，，即，C不正确；
由得，，则，D正确.
故选：AD
19．（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】选项A：
由，可得，
则，，
则，则.判断错误；
选项B：由，可得为上减函数，
又，则.判断正确；
选项C：由，可知为R上减函数，又，则
由，可知为上增函数，又，则，则
又为上增函数，则，则.判断正确；
选项D：令，则，
，
则，即.判断错误.
故选：BC
20．（2022·全国·模拟预测）下列不等式关系成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】A选项：当且时，
有，
进一步可得，
（）
从而得当且时，有，
所以，故A选项不成立.
B选项：令，则，所以在上函数单调递减，所以，也即在上，，即，所以当时，，，
即，在上式中取，得，
即，故B选项成立.
C选项：因为，，所以，故C选项成立.
D选项：当时，，取，得，即，故D选项成立.
21．（2022春·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）下列大小关系正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】设，则，
时，，递增，
而，所以，即，，
即，A正确；
，B正确；
，所以，
所以，C正确；
，，
，所以，
，，所以，，
所以，D错．
故选：ABC．
22．（2022·湖南·模拟预测）已知，，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】令，则，
所以当时，，所以在上单调递增；
由得，即，
∵，∴，
∴，即，
∴，即，∴，A正确；
由知，所以，所以选项B错误；
由知，所以选项C正确．
由，知，所以，
所以D错误，
故选：AC．
23．（2022·福建泉州·统考模拟预测）若，则下列式子可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】令，
则恒成立，
所以单调递增，
其中，，
则存在，使得
①当时，
即，
若，则，且，则，
不满足，故，且，
所以
又因为，所以，D正确；
②当时，
，即
（1）当时，，，则成立，故，B正确；
（2）当时，，若，则，
因为，且在上单调递增，
所以当时，，则，
所以，所以，又因为，所以，选项C正确.
故选：BCD
24．（2022春·江苏泰州·高三泰州中学校考开学考试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】由题意，，得 ，
，，∴，∴，A对；
，令，即有，
令，
在上递减，在上递增，
因为 ，∴，
作出函数以及 大致图象如图：
则，∴，结合图象则，
∴，∴，B对；
结合以上分析以及图象可得，∴，
且 ，
∴，C对；
由C的分析可知，，
在区间 上，函数 不是单调函数，即不成立，即不成立，故D错误；
故选：ABC．
25．（2022·湖南长沙·雅礼中学校联考二模）下列不等式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】由
，则有，A正确；
假定，有，
令，求导得，在上单调递增，
则，即当时，，，，
令，求导得，在上单调递减，
则，即当时，，，，
，
因成立，则成立，所以成立，B不正确；
假定，有，
令，，则在上单调递增，
而，则，所以成立，C不正确；
令，求导得，，
曲线在处切线方程为，
令，求导得，即在上单调递减，
而，则，即，D正确.
故选：AD
26．（2022·全国·高三专题练习）已知，下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】令在内单调递增.
时，，即A选项正确；
令在内单调递增，
，即，B选项正确；
令，当时，单调递减，当时，单调递增，与大小不确定，C错误；
当时，，D错误
故选：AB
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