2023北京各区高三上学期期末考试分类汇编－解析几何 - 含答案

这是一份2023北京各区高三上学期期末考试分类汇编－解析几何 - 含答案，共12页。试卷主要包含了 已知椭圆等内容，欢迎下载使用。
2023北京各区高三上学期期末考试分类汇编－解析几何一、海淀区  二、西城区  三、东城区  四、朝阳区  
五、丰台区19. （本小题15分）已知椭圆过点,离心率为.（Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）设点P，直线PA与椭圆E的另一个交点为C，O为坐标原点, B为椭圆E的右顶点.记直线OP的斜率为,直线BC的斜率为,求证：为定值.解：（Ⅰ）由题意得解得，.所以椭圆的方程是.                       ………………5分（Ⅱ）因为，，所以直线的方程为（）.           由得，即.     因为点的横坐标为，所以点的横坐标为，代入直线的方程可得点的纵坐标为，即.           又点的坐标为，           所以，又因为，所以.           即为定值.                              ………………15分    六、石景山区       七、昌平区19. 已知椭圆过点，且离心率是.（1）求椭圆的方程和短轴长；（2）已知点，直线过点且与椭圆有两个不同的交点，问：是否存在直线，使得是以点为顶点的等腰三角形，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.（Ⅰ）由题意知椭圆过点，且离心率是，则，且，故椭圆的方程为，短轴长为.（Ⅱ）假设存在直线，使得是以点为顶点的等腰三角形,由于直线过点,当直线斜率不存在时,直线l为，此时为椭圆的短轴上的两顶点，此时是以点为顶点的等腰三角形；当直线斜率存在时，设直线方程为，联立 ，得 ，当直线与椭圆C有两个不同的交点时，                                                         该方程 ，整理得，设 ，则 ，所以，设的中点为点D，则 ，即 ，则,当时，斜率不存在，此时的斜率k为0，不满足，故，由题意可知,即，解得或，由于，故或不适合题意，综合以上，存在直线，使得是以点为顶点的等腰三角形. 八、大兴区（19）（本小题14分）已知椭圆经过直线与坐标轴的两个交点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）为椭圆的右顶点，过点的直线交椭圆于点，过点作轴的垂线分别与直线交于点，求证：为线段的中点.解：（Ⅰ）直线与坐标轴的两个交点为，…………………… 2分           由于，所以，，…………………… 4分         所以椭圆的方程为.…………………… 5分（Ⅱ）设过点的直线为，由题意直线斜率存在，         设方程为，即.…………………… 1分        由，消元得，        整理得.…………………… 2分由 ，可得.……………3分设，则， .…………………… 4分由题意，将，代入得，…………………… 5分      直线的方程为，…………………… 6分令得，…………………… 7分      所以                                               所以，点是线段的中点. …………………… 9分九、通州区
十、房山区20. 已知椭圆：经过点，且点到两个焦点的距离之和为8.（1）求椭圆的方程；（2）直线：与椭圆分别相交于两点，直线，分别与轴交于点，.试问是否存在直线，使得线段的垂直平分线经过点，如果存在，写出一条满足条件的直线的方程，并证明；如果不存在，请说明理由.【小问1详解】点到两个焦点的距离之和为8，故，,椭圆的方程为，代入，可得，解得，故椭圆的方程为：【小问2详解】由题意，设，联立直线与椭圆的方程，可得，，整理得，，化简得，，故；，，又，可设直线：，设直线：，故，，若线段的垂直平分线经过点，必有，故有，整理得，，化简得，，得到，，，，，，，利用韦达定理，得，，，，，，，当时，，此时，直线为：，故令，则必有，满足，此时，满足题意的直线为：（答案不唯一）     
十一、顺义区