2023高考数学二轮专题导数38讲 专题13 导数中对数单身狗指数找基友的应用

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专题13　导数中对数单身狗指数找基友的应用
导数在高考中占据了及其重要的地位，导数是研究函数的一个重要的工具，在判断函数的单调性、求函数的极值、最值与解决函数的零点(方程的根)、不等式问题中都用到导数．而这类问题都有一条经验性规则：对数单身狗，指数找基友，指对在一起，常常要分手．
考点一　对数单身狗
【方法总结】
在证明或处理含对数函数的不等式时，如f(x)为可导函数，则有(f(x)lnx)′＝f′(x)lnx＋，若f(x)为非常数函数，求导式子中含有lnx，这类问题需要多次求导，烦琐复杂．通常要将对数型的函数“独立分离”出来，这样再对新函数求导时，就不含对数了，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导．这种相当于让对数函数“孤军奋战”的变形过程，我们形象的称之为“对数单身狗”．
1．设f(x)>0，f(x)lnx＋g(x)>0ólnx＋>0，则(lnx＋)′＝＋()′，不含超越函数，求解过程简单．或者f(x)lnx＋g(x)>0óf(x)(lnx＋)>0，即将前面部分提出，就留下lnx这个单身狗，然后研究剩余部分．
2．设f(x)≠0，f(x)lnx＋g(x)＝0ólnx＋＝0，则(lnx＋)′＝＋()′，不含超越函数，求解过程简单．或者f(x)lnx＋g(x)＝0óf(x)(lnx＋)＝0，即将前面部分提出，就留下lnx这个单身狗，然后研究剩余部分．
【例题选讲】
[例1] (2016·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．
(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围．
解析　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝4时，f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，
f(1)＝0，f′(x)＝ln x＋－3，f′(1)＝－2．故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0．
(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0等价于ln x－＞0．
设g(x)＝ln x－，则g′(x)＝－＝，g(1)＝0．
①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，
故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)＞0；
②当a＞2时，令g′(x)＝0得x1＝a－1－，x2＝a－1＋．
由x2＞1和x1x2＝1得01时，令f′(x)＝0，则x＝a，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，
f(x)min＝f(a)＝lna－a＋1，不合题意．综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1]．
2．(2017·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝ax2－ax－xln x，且f(x)≥0．
(1)求a；
(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e－2