2023高考数学二轮专题导数38讲 专题38 由函数零点或方程根的个数求参数范围问题

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专题38　由函数零点或方程根的个数求参数范围问题
【例题选讲】
[例1]　已知函数f(x)＝x2＋－aln x(a∈R)．
(1)若f(x)在x＝2处取得极值，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)当a>0时，若f(x)有唯一的零点x0，求[x0]．
注：[x]表示不超过x的最大整数，如[0.6]＝0，[2.1]＝2，[－1.5]＝－2．
(参考数据：ln 2＝0.693，ln 3＝1.099，ln 5＝1.609，ln 7＝1.946)
[规范解答]　(1)∵f(x)＝x2＋－aln x，∴f′(x)＝(x>0)，
由题意得f′(2)＝0，则2×23－2a－2＝0，a＝7，
经验证，当a＝7时，f(x)在x＝2处取得极值，∴f(x)＝x2＋－7ln x，
f′(x)＝2x－－，∴f′(1)＝－7，f(1)＝3，
则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－3＝－7(x－1)，即7x＋y－10＝0．
(2)令g(x)＝2x3－ax－2(x>0)，则g′(x)＝6x2－a，由a>0，g′(x)＝0，可得x＝，
∴g(x)在上单调递减，在上单调递增．
由于g(0)＝－21，解得x2>1，∴a＝＝0，解得x>1；令f′(x)