专题23 锐角三角函数 山东省2023年中考数学一轮复习专题训练

这是一份专题23 锐角三角函数 山东省2023年中考数学一轮复习专题训练，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，计算题，综合题等内容，欢迎下载使用。
1．（2022·济南）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（ ）（精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）
A．28mB．34mC．37mD．46m
2．（2022·滨州）下列计算结果，正确的是（ ）
A．(a2)3=a5B．8=32C．38=2D．cs30°=12
3．（2022·天桥模拟）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC=8cm，AB=16cm．当AB，BC转动到∠BAE=60°，∠ABC=50°时，点C到AE的距离是（ ）（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，3≈1.73）
A．13.8cmB．7.5cmC．6.1cmD．6.3cm
4．（2022·济南模拟）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i=1：2.4的山坡AB上发现有一棵占树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC=26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED=48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为（ ）（参考数据：sin48°≈0.73，cs8°≈0.67，tan48°≈1.11）
A．17.0米B．21.9米C．23.3米D．33.3米
5．（2022·商河模拟）如图，为测量学校旗杆AB的高度，小明从旗杆正前方3米处的点C出发，沿坡度为i=1：3的斜坡CD前进23米到达点D，在点D处放置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得测角仪DE的高为1.5米，A、B、C、D、E在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直，则旗杆AB的高度为（ ）（精确到0.1）．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）
A．6.7B．7.7C．8.7D．8.5
6．（2022·惠民模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，⊙O的半径为32，AC=5，则sinB的值是（ ）
A．52B．53C．32D．23
7．（2022·长清模拟）如图，在阳光下直立于地面上的电线杆AB，落在水平面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，斜坡CD的坡度为1：3，在D处测电线杆顶端A的仰角为30°，则电线杆AB的高度为（ ）
A．2+23B．4+23C．4+32D．4+23
8．（2022·济宁模拟）电力公司在农村电网改造升级工程中把某一输电线铁塔AB建在了一个坡度为1：0.75的山坡CD的平台BC上（如图），测得∠AED=52.5°，BC=5米，CD=35米，DE=19米，则铁塔AB的高度约为（参考数据：sin52.5°≈0.79，cs52.5°≈0.61，tan52.5°≈1.30）（ ）
A．32.5米B．27.5米C．30.5米D．58.5米
9．（2022·济南模拟）为出行方便，近日来越来越多的长春市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知，∠ABE=70°，车轮半径为30 cm，当BC=60 cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为（ ）（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈1.41）
A．90cmB．86cmC．82cmD．80cm
10．（2022·槐荫模拟）如图，以直角坐标系的原点O为圆心，以1为半径作圆．若点P是该圆上第一象限内的一点，且OP与x轴正方向组成的角为α，则点P的坐标为（ ）
A．(csα，1)B．(1，sinα)
C．(sinα，csα)D．(csα，sinα)
二、填空题
11．（2022·莱芜模拟）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=12，AD=10，点E是CD的中点．将这张纸片依次折叠两次；如图2，第一次折叠纸片使点A与点E重合，折痕为MN，连接ME、NE；如图3，第二次折叠纸片使点N与点E重合，点B落在B'处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG= ．
12．（2022·青岛模拟）如图，在矩形ABCD中，AC=12，sin∠ACB=32，点P是线段AC上的动点，点Q是线段AB上的动点，则CQ+PQ的最小值是 .
13．（2022·济南模拟）如图，已知正方形ABCD，延长AB至点E使BE＝AB，连接CE、DE，DE与BC交于点N，取CE的中点F，连接BF，AF，AF交BC于点M，交DE于点O，则下列结论：①DN＝EN；②OA＝OE；③tan∠CED=13；④S四边形BEFM＝2S△CMF．其中正确的是 .（只填序号）
14．（2022·历下模拟）矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，则tan∠AFE= ．
15．（2022·嘉祥模拟）计算3×tan30°−12+(π−3.14)0−|1−3|的结果为 ．
16．（2022·烟台模拟）如图，AB是⊙O的弦，AB＝5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是 ．
17．（2022·庆云模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，连接BD，若AD=13BD，则tan∠ABC的值为 ．
18．（2022·东昌府模拟）如图，直线l1与直线l2所成的角∠B1OA1=30°，过点A1作A1B1⊥l1交直线l2于点B1，OB1=2，以A1B1为边在△OA1B1外侧作等边三角形A1B1C1，再过点C1作A2B2⊥l1，分别交直线l1和l2于A2，B2两点，以A2B2为边在△OA2B2外侧作等边三角形A2B2C2，…按此规律进行下去，则第2022个等边三角形A2022B2022C2022的周长为 ．
19．（2022·青岛模拟）如图，A、B、C、D是半径为4cm的⊙O上的四点，AC是直径，∠D=45°，则AB= cm.
20．（2022·山亭模拟）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，点F是AD边的中点，EF＝6cm，则BE＝ cm．
三、计算题
21．（2022·济南模拟）计算：2﹣1+4cs45°−8+（π﹣2022）0．
22．（2022·章丘模拟）计算：(13)－1＋3−8－3sin60°＋(π－1)0
23．（2022·枣庄模拟）计算：|1−3|+327−2cs30°+(−13)−1−(2022−π)0．
24．（2022·任城模拟）计算：(−1)2022+3cs30°−(22−33)0+(−12)−2
25．（2022·平阴模拟）计算：(π−3.14)0+(12)−1−|−2|+tan45°
四、综合题
26．（2022·嘉祥模拟）如图，点P为函数y=x+1与函数y=mx(x>0)图象的交点，点P的纵坐标为4，PB⊥x轴，垂足为点B．
（1）求m的值；
（2）点M是函数y=mx(x>0)图象上一动点，过点M作MD⊥BP于点D，若tan∠PMD=12，求点M的坐标．
27．（2022·莱芜模拟）以△ABC的一条边AC为直径的⊙O与BC相交于点D，点D是BC的中点，过点D作⊙O的切线交AB于点E．
（1）求证：AB=AC；
（2）若BE=1，tanB=2，求⊙O的半径．
28．（2022·莱芜模拟）如图，某旅游景点新建空中玻璃走廊PD，PD与建筑物AB垂直，在P处测得建筑物顶端A的仰角为37°，测得建筑物C处的仰角为26.6°，PD为54米．图中的点A、B、C、D、P及直线l均在同一平面内．
（1）求A、C两点的高度差（结果精确到1米）；
（2）为方便游人，广场从地面l上的Q点新建扶梯PQ，PQ所在斜面的坡度i=1：2，P到地面l的距离PE为10米．一公告牌MN位于EB的中点M处，为防止车辆阻塞，现要求在点Q右侧需留出12米宽的行车道，请判断是否需要挪走公告牌MN，并说明理由．（参考数据：sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.5，sin37°≈0.6，tan37°≈0.75，2≈1.414）
29．（2022·汶上模拟）如图，PA是以AC为直径的⊙O的切线，切点为点A，过点A作AB⊥OP，垂足为点D，交⊙O于点B．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若AB=6，cs∠PAB=35，求PO的长．
30．（2022·金乡县模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，利用锐角三角函数定义很容易推导出一些关系式，如sin2A+cs2A=1，sinA=csB等，这些公式在三角函数式子的变形中运用比较广泛．设α，β是锐角，定义：当α>β时，两角和的余弦公式：cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ．
例：计算cs75°的值．
cs75°=cs(45°+30°)=cs45°cs30°−sin45°sin30°
=22×32−22×12=64−24=6−24，
两角差的余弦公式：cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ．利用类比的方法运用公式求解．
（1）计算cs15°= ．
（2）计算cs80°cs35°+sin80°sin35°的值；
（3）一副斜边长均为16的三角板拼成如图所示的图形，求过A、B、C、D四点的矩形ABEF的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：在Rt△ABD中，tan∠ADB＝ABDB，
∴DB=ABtan58°≈AB1.6=58AB，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝ABCB，
∴tan22°=AB70+58AB≈0.4，
解得：AB=1123≈37m，
故答案为：C．
【分析】先求出DB=ABtan58°≈AB1.6=58AB，再求出tan22°=AB70+58AB≈0.4，最后求解即可。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：A、(a2)3=a2×3=a6，该选项不符合题意；
B、8=2×2×2=22，该选项不符合题意；
C、38=32×2×2=2，该选项符合题意；
D、cs30°=32，该选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用幂的乘方、二次根式的性质、立方根的性质和特殊角的三角函数值逐项判断即可。
3．【答案】D
【解析】【解答】如图，过点B、C分别作AE的垂线，垂足分别为M、N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，
在Rt△ABM中，
∵∠BAE=60°，AB=16，
∴BM=sin60°⋅AB=32×16=83（cm），
∠ABM=90°-60°=30°，
在Rt△BCD中，
∵∠DBC=∠ABC-∠ABM=50°-30°=20°，
∴∠BCD=90°-20°=70°，
又∵BC=8，
∴BD=sin70°×8≈0.94×8=7.52（cm），
∴CN=DM=BM-BD=83-7.52≈6.3（cm），
即点C到AE的距离约为6.3cm，
故答案为：D．
【分析】过点B、C分别作AE的垂线，垂足分别为M、N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，利用解直角三角形的方法求出BM和BD的长，再利用线段的和差可得答案。
4．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
∵CFAF=1：2.4=512
∴设CF=5k，AF=12k，
∴.AC=CF2+AF2=13k=26，解得.k=2，
∴AF=10，CF=24，
∵AE=6，
∴EF=6+24=30，
∴∠DEF=48°
∴tan48°=DFEF=DF30=1.11
∴DF=33.3，
∴CD=33.3-10=23.3，
即古树CD的高度约为23.3米，
故答案为：C.
【分析】根据条件得出CFAF=1：2.4=512，设CF=5k，AF=12k，根据勾股定理得出AC的值，得出AF=10，CF=24，推出EF的值，根据三角函数的定义即可得解。
5．【答案】B
【解析】【解答】解：延长ED交射线BC于点H，过点E作EF⊥AB于F．
由题意得DH⊥BC，
在Rt△CDH中，∠DHC=90°，tan∠DCH=i=1：3，
∴∠DCH=30°，
∴CD=2DH，
∵CD=23，
∴DH=3，CH=3，
∵EF⊥AB，AB⊥BC，ED⊥BC，
∴∠BFE=∠B=∠BHE=90°，
∴四边形FBHE为矩形，
∴EF=BH=BC+CH=6，
FB=EH=ED+DH=1.5+3，
在Rt△AEF中，∠AFE=90°，AF=EFtan∠AEF≈6×0.75≈4.5，
∴AB=AF+FB=6+3≈6+1.73≈7.7，
∴旗杆AB的高度约为7.7米．
故答案为：B．
【分析】延长ED交射线BC于点H，过点E作EF⊥AB于F，证出四边形FBHE为矩形，得出EF=BH=BC+CH=6，FB=EH=ED+DH=1.5+3，在Rt△AEF中，∠AFE=90°，AF=EFtan∠AEF≈6×0.75≈4.5，即可得出AB的值。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：连接CD，如图：
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°．
∵AD=2r=2×32=3，AC=2，
∴sinD=ACAD=53．
∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠B=∠D．
∴sinB=sinD=53．
故答案为：B．
【分析】连接CD，先利用正弦的定义可得sinD=ACAD=53，再根据∠B=∠D，可得sinB=sinD=53。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC交BC的延长线于点N，
∵斜坡CD的坡比为1：3，即DN：CN=1：3，即tan∠DCN=DNCN=13=33，
∴∠DCN=30°，
又∵CD=4，
∴DN=CD⋅sin30°=4×12=2，CN=CD⋅cs30°=4×32=23，
∴BN=BC+CN=6+23，
在Rt△AMD中，∠ADM=30°，MD=BN=6+23，
∴AM=MD⋅tan30°=(6+23)×33=23+2，
∴AB=AM+BM=23+2+2=(4+23)米．
故答案为：D．
【分析】过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC交BC的延长线于点N，利用锐角三角函数可得DN=CD⋅sin30°=4×12=2，CN=CD⋅cs30°=4×32=23，利用线段的和差可得BN=BC+CN=6+23，再求出AM=MD⋅tan30°=(6+23)×33=23+2，最后求出AB=AM+BM=23+2+2=(4+23)即可。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，延长AB交ED于G，过C作CF⊥DE于F，
∴GF=BC=5（米），
∵山坡CD的坡度为1：0.75，
∴设DF=3k，CF=4k，
∴由勾股定理得：CD=5k=35（米），
∴k=7（米），
∴DF=21米，BG=CF=28米，
∴EG=GF+DF+DE=5+21+19=45米，
∵∠AED=52°，
∴AG=EG⋅tan52.5°≈45×1.30=58.5米，
∴AB=AG−BG=58.5−28=30.5米．
故答案为：C．
【分析】延长AB交ED于G，过C作CF⊥DE于F，设DF=3k，CF=4k，利用勾股定理可得CD=5k=35，求出k的值，再利用锐角三角函数可得AG=EG⋅tan52.5°≈45×1.30=58.5，最后利用线段的和差可得AB=AG−BG=58.5−28=30.5。
9．【答案】B
【解析】【解答】解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N
由题意可知MN=30cm，
∴在Rt△BCM中，∠ABE=70°，
∴sin∠ABE=sin70°=CMCB=0.94
∴CM≈56cm
∴CN=CM+MN=30+56=86（cm）
故答案为：B．
【分析】过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N，利用锐角三角函数求出CM≈56，再利用线段的和差可得CN=CM+MN=30+56=86。
10．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，作PA⊥x轴于点A，
则∠POA=α，则sinα=PAPO，
∴PA=OPsinα，
∵csα=AOPO，
∴OA=OPcsα．
∵OP=1，
∴PA=sinα，OA=csα．
∴P点的坐标为（csα，sinα），
故答案为：D.
【分析】作PA⊥x轴于点A，利用锐角三角函数求出PA=sinα，OA=csα，即可得到点P的坐标。
11．【答案】53
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知∠MEN=90°，∠AMN=∠EMN，ME=AM，EN=AN，HG是线段EN的垂直平分线
∴HG⊥EN，HN=HE
∴ME∥HG
∴H是MN的中点
∴EH是Rt△MEN斜边MN上的中线
∴∠HME=∠HEM=∠EHG
∴∠EHG=∠AMN
设DM=x，则AM=10−x
在Rt△DEM中，由勾股定理得DE2=ME2−DM2即62=(10−x)2−x2
解得x=165
∴AM=AD−DM=345
如图，作NP⊥DC
∵∠NPE=∠EDM=∠A=90°
∴四边形ANPD是矩形
∵∠DME+∠DEM=∠DEM+∠PEN=90°
∴∠DME=∠PEN
∴△DEM∽△PNE
∴DMPE=DEPN即165PE=610
解得PE=163
∴AN=DE+PE=343
∴tan∠AMN=ANAM=343345=53
∴tan∠EHG=53
故答案为：53．
【分析】易求∠EHG=∠AMN，由折叠的性质可得AM=EM，设DM=x，则AM=10−x，在Rt△DEM中，由勾股定理得DE2=ME2−DM2据此求出x=165值，即得DM、AM的长.再证△DEM∽△PNE，利用相似三角形的性质求出PE=163，从而求出AN=DE+PE=343，继而得出tan∠AMN=ANAM=53，即得tan∠EHG=53.
12．【答案】63
【解析】【解答】解：如图所示：作点C关于AB的对称点C’，过点C'作AC边的垂线段，垂足为P交AB于点Q，
根据垂线段最短可得：CQ+PQ最小，
∵在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
又AC=12，sin∠ACB=32，
∴sin∠ACB=ABAC=AB12=32，
∴AB=63，
∴BC=AC2−AB2=122−(63)2=6，
∴CC'=12，
∴CP+PQ=C'P=CC'sin∠ACB=12×32=63，
故答案为：63．
【分析】作点C关于AB的对称点C’，过点C'作AC边的垂线段，垂足为P交AB于点Q，根据垂线段最短可得：CQ+PQ最小即为C'P的长.由sin∠ACB=ABAC=32可求出AB，利用勾股定理求出BC，即得CC'的长，根据C'P=CC'sin∠ACB即可求解.
13．【答案】①③④
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形 ，
∴BC=CD=AB=BE，∠BCD=∠CBE=90°，
∵∠CND=∠BNE，
∴△CND≌△BNE，
∴DN=EN，故①正确；
②∵BC=AB=BE，F是CE的中点，∠CBE=90°，
∴CE= 2AB，BF=CF= 22AB，
∴∠BCF=∠CBF=45°，
∴∠ABF=∠DCE=90°+45°=135°，
∵BFAB=22=CDCE，
∴△ABF∽△ECD，
∴∠FAB=∠DEC，∠AFB=∠EDC=∠AEO，
∵AB≠BF，
∴∠FAB≠∠AFB，
∴∠FAB≠∠AEO，
∴ OA≠OE，故②错误；
③如图，过点F作FG⊥AE于点G，
∴∠AGF=90°，
∴GF=BG= 12BE= 12AB，
∴AG=AB+BG= 32AB，
∵∠FAB=∠DEC，
∴tan∠CED=tan∠FAB= FGAG=12AB32AB=13，故③正确；
④设AB=6m，则BC=BE=6m，BM=2m，GE=BG=GF=3m，
∴S△BCE= 12·6m·6m=18m，S△EGF= 12·3m·3m= 92m，
S四边形BGFM= 12·（2m+3m）·3m= 152m，
∴S△CMF=S△BCE-S△EGF-S四边形BEFM=6m，S四边形BEFM=S△EGF+S四边形BGFM=12m，
∴S四边形BEFM=2S△CMF，故④正确.
故答案为：①③④.
【分析】①证出△CND≌△BNE，即可得出DN=EN；
②证出△ABF∽△ECD，得出∠FAB=∠DEC，∠AFB=∠EDC=∠AEO，再根据∠FAB≠∠AFB，从而得出
∠FAB≠∠AEO，即可得出OA≠OE；
③过点F作FG⊥AE于点G，求出GF= 12AB，AG= 32AB，根据锐角三角函数定义jk得出tan∠CED=tan∠FAB= 13；
④设AB=6m，得出BC=BE=6m，BM=2m，GE=BG=GF=3m，求出S△CMF=6m，
S四边形BEFM=12m，即可得出S四边形BEFM=2S△CMF.
14．【答案】34
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=10，∠B=∠D=90°，
∴∠BCF+∠BFC=90°，
根据折叠的性质得：∠EFC=∠D=90°，CF=CD=10，
∴∠AFE+∠BFC=90°，
∴∠AFE=∠BCF，
在Rt△BFC中，BC=8，CF=CD=10，
由勾股定理得：BF=CF2−BC2=102−82=6，
则tan∠BCF=BFBC=68=34，
∴tan∠AFE=tan∠BCF=34；
故答案为：34．
【分析】先利用勾股定理求出BF的长，再利用正切的定义可得tan∠AFE=tan∠BCF=34。
15．【答案】2−23
【解析】【解答】解： 3×tan30°−12+(π−3.14)0−|1−3|
=3×33−23+1−3+1
=3−33+2
=2−23
【分析】将先化简成可以进行加减的同类二次根式，再进行运算
16．【答案】522
【解析】【解答】解：∵点M，N分别是AB，AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN＝12BC，
∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，
连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′，如图，
∵BC′是⊙O的直径，
∴∠BAC′＝90°．
∵∠ACB＝45°，
∴∠AC′B＝45°，
∴BC′＝ABsin∠AC'B=ABsin45°=52
∴BC的最大值是52
∴MN最大＝522 ．
故答案为：522．
【分析】根据三角形中位线定理可得MN＝12BC，所以当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时BC最大.连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′，可得△ABC'是等腰直角三角形，可得BC'=2AB，据此求出BC最大值即可.
17．【答案】2
【解析】【解答】解：如图所示，设AD=x，则BD=3x，
∵DF为线段BC的垂直平分线交BC于点F，
∴BD=CD=3x，
∴AC=AD+CD=4x，
∴在RtΔABD中，AB=BD2−AD2=(3x)2−x2=22x，
∴在RtΔABC中，tan∠ABC=ACAB=4x22x=2，
故答案为：2
【分析】FD是BC的垂直平分线，BD=CD，设AD=x，用勾股定理将各边表示出来，根据三角函数的定义求出答案
18．【答案】3202222021
【解析】【解答】解：∵∠B1OA1=30°，OB1=2，A1B1⊥l1，
∴在Rt△OA1B1中，OA1=3，A1B1=12OB1=1，
∵△A1B1C1是等边三角形，
∴A1A2=32A1B1=32，
∴在Rt△OA2B2中，OA2=3+32=332，A2B2=OA23=332×13=32，
∵△A2B2C2是等边三角形，
∴A2A3=32A2B2=32×32=334，
∴在Rt△OA3B3中，OA3=332+334=934，A3B3=934×13=94，
同理可得：AnBn=(32)n−1，
∴第2022个等边三角形A2022B2022C2022的周长为3A2022B2022=3×(32)2022−1=3202222021．
【分析】根据含30°直角三角形的性质求出A1B1=12OB1=1，OA1=3，由等边三角形的性质求出A1A2=32A1B1=32，再由直角三角形的性质求出OA2，A2B2，等边三角形的性质求出A2A3，从而得出规律求出AnBn=(32)n−1，即得求出A2022B2022的长，根据等边三角形的周长公式求出结论即可.
19．【答案】42
【解析】【解答】解：连接AD，
∵BC=BC，∠D=45°，AC是直径，
∴∠CAB=∠D=45°，∠ABC=90°
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵半径为4cm，
∴AC=8，
∴AB=AC·sin∠CAB=22×8=42 cm，
故答案为：42．
【分析】连接AD，易求△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC·sin∠CAB=22AC，据此即可求解.
20．【答案】9
【解析】【解答】解：∵∠AED=90°，F是AD边的中点，EF=4cm，
∴AD=2EF=12cm，
∵∠EAD=30°，
∴AE=AD•cs30°=12× 32 = 63 cm，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B=90°，
∴∠BEA=∠EAD=30°，
在Rt△ABE中，
BE=AE⋅cs∠BEA=63×cs30°=63×32=9 （cm），
故答案为：9．
【分析】先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出AD的长，再根据矩形的性质得出AD∥BC，∠B=90°，然后解Rt△ABE。
21．【答案】解：原式=12+4×22−22+1
=12+222−22+1
=32
【解析】【分析】把特殊角的三角函数值代入，再根据负整数指数幂的性质、算术平方根的定义、零指数幂的性质进行化简，然后合并同类二次根式，即可得出答案.
22．【答案】解：(13)−1+3−8−3sin60°+(π−1)0
=3+(−2)−3×32+1
=3−2−32+1
=12．
【解析】【分析】将各项化简进行加减求和
23．【答案】解：原式=3−1+3−2×32+(−3)−1
=3−1+3−3−3−1
=−2
【解析】【分析】根据绝对值、立方根、零指数幂及负整数指数幂的性质、特殊角三角函数值先化简，再计算乘法，最后计算加减即可.
24．【答案】解：(−1)2022+3cs30°−(22−33)0+(−12)−2
=1+3×32−1+4
=1+32+3
=5.5
【解析】【分析】根据乘方、特殊角三角函数值、零指数幂及负整数指数幂的性质进行计算即可.
25．【答案】解：(π−3.14)0+(12)−1−|−2|+tan45°
=1+2-2+1
=2．
【解析】【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角三角函数值进行计算即可.
26．【答案】（1）解；∵点P纵坐标为4，且在一次函数y=x+1图象上，
∴4=x+1，
解得x=3，
∴P(3，4)．
又∵点P在反比例函数图象上，
∴4=m3，
解得m=12；
（2）解；∵tan∠PMD=12，
∴PDDM=12．
设PD=t(t>0)，则DM=2t，
分类讨论①当M点在P点右侧时，如图，
∴M点的坐标为(3+2t，4−t)，
∴4−t=123+2t，
解得：t1=52，t2=0(舍)
∴3+2t=3+2×52=8，4−t=4−52=32．
∴此时M点的坐标为(8，32)；
②当M点在P点的左侧时，
∴M点的坐标为(3−2t，4+t)，
∴4+t=123−2t，
解得：t1=−52，t2=0(均舍去)．
故此情况不合题意．
综上，M点的坐标为(8，32)．
【解析】【分析】(1)根据一次函数解析式求P点坐标，进而求m；
（2）设M（x，y），分类讨论M在P点左侧和右侧两种情况，根据tan∠PMD=12得PDDM=12，根据p点坐标求出x，y，即可求得答案
27．【答案】（1）证明：如图1，连接AD
∵AC为直径
∴∠ADC=90°即AD⊥BC
∵点D是BC的中点
∴AD垂直平分BC
∴AB=AC
（2）解：如图2，连接OD
∵DE是⊙O的切线
∴∠ODE=90°
∵O，D分别是AC，BC的中点
∴OD是△ABC的中位线
∴OD∥AB
∴∠AED=90°
∴∠B+∠BDE=90°=∠BDE+∠ADE
∴∠B=∠ADE
∵tan∠ADE=AEDE=tanB=DEBE=2
∴DE=2BE=2，AE=2DE=4
∴AC=AB=AE+BE=5
∴⊙O的半径为52．
【解析】【分析】（1）连接AD，由AC为直径可得∠ADC=90°，由点D是BC的中点可得AD垂直平分BC，根据垂直平分线的性质即得结论；
（2）如图2，连接OD ，由切线的性质可得∠ODE=90°，根据三角形中位线定理可得OD∥AB，利用平行线的性质可得∠AED=∠ODE=90°，跟姐姐余角的性质可得∠B=∠ADE，由于tan∠ADE=AEDE
= tanB=DEBE=2 ，据此求出DE、AE的长，根据AC=AB=AE+BE可求出AC的长，即得⊙O的半径 .
28．【答案】（1）解：在Rt△APD中，PD=54，∠APD=37°，
∴AD=PD⋅tan∠APD=54×tan37°≈54×0.75=40.5，
在Rt△CPD中，PD=54，∠CPD=26.6°，
∴CD=PD⋅tan∠CPD=54×tan26.6°≈54×0.5=27，
∴AC=AD−CD=40.5−27=13.5≈14，
答：A、C两点的高度差为14米
（2）解：由题意知四边形PEBD为矩形，
∴PD=EB，
又PD=54，
∴BE=54，
又M为BE中点，
∴EM=12EB=27，
∵i=1：2，
∴PEQE=12，
又PE=10，
∴QE=102≈10×1.414=14.14，
∴QM=EM−EQ=27−14.14=12.86>12，
∴不需要挪走公告牌MN．
【解析】【分析】（1） 在Rt△APD中求出AD=PD⋅tan∠APD≈40.5， 在Rt△CPD中求出CD=PD⋅tan∠CPD≈27，利用AC=AD-CD即可求解；
（2）由题意知四边形PEBD为矩形可得PD=EB=54，由线段的中点可得EM=12EB=27， 由坡度的定义PEQE=12， 从而求出QE，利用QM=EM-EQ即可求解.
29．【答案】（1）证明：如图，连接OB，
∵PA是以AC为直径的⊙O的切线，切点为A，
∴∠PAO＝90°，
∵OA＝OB，
∴ △AOB是等腰三角形
∵AB⊥OP，
∴∠POA＝∠POB，
在△PAO和△PBO中，
AO=BO∠POA=∠P0BOP=OP
∴△PAO≌△PBO（SAS），
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
∴OB⊥PB，
∵ OB是⊙O的半径
∴PB是⊙O的切线；
（2）解： ∵△AOB是等腰三角形，AB⊥OP，AB＝6，
∴DA＝DB＝3，∠PDA＝∠PDB＝90°，
∵cs∠PAB=35=DAPA=3PA，
∴PA＝5，
∴PD＝PA2−AD2=52−32=4，
在Rt△APD和Rt△APO中，
cs∠APD=PDPA，cs∠APD=PAPO，
∴PDPA=PAPO
∴PO=PA2PD=254．
【解析】【分析】（1）先利用“SAS”证明△PAO≌△PBO可得∠PBO＝∠PAO＝90°，再结合OB是⊙O的半径，即可得到PB是⊙O的切线；
（2）利用cs∠APD=PDPA，cs∠APD=PAPO，可得PDPA=PAPO，从而得到PO=PA2PD=254。
30．【答案】（1）6+24
（2）解：利用两角差的余弦公式可知，
cs80°cs35°+sin80°sin35°=cs(80°−35°)=cs45°=22；
（3）解：由题意可知AC=16，∠ACD=∠CAD=45°，∠BAC=30°，
∴AD=AC⋅sin∠ACD=16×22=82，
AB=AC⋅cs∠BAC=16×32=83，
∵∠DAF=∠BAF−∠BAC−∠CAD=90°−30°−45°=15°，
由（1）知cs15°=6+24，
∴AF=AD⋅cs∠DAF=82×6+24=43+4，
∴S矩形ABEF=AB×AF=83×(43+4)=96+323．
【解析】【解答】（1）解：当α>β时，两角差的余弦cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ，
∴cs15°=cs(45°−30°)=cs45°⋅cs30°+sin45°⋅sin30°=22×32+22×12=6+24，
故答案为：6+24；
【分析】（1）由给出的公式计算cs15°=cs(45°−30°)=cs45°⋅cs30°+sin45°⋅sin30即可；
（2）根据两角差的余弦公式求解即可；
（3）先求出AD和BC的长，再求出AF的长，则矩形ABEF的面积即可求解