2023高考数学三轮专题考前回顾 回顾6 立体几何与空间向量

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　立体几何与空间向量1.在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.”[检验1]　如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是________.答案　22.简单几何体的表面积和体积(1)S直棱柱侧＝c·h(c为底面的周长，h为高).(2)S正棱锥侧＝ch′(c为底面周长，h′为斜高).(3)S正棱台侧＝(c′＋c)h′(c与c′分别为上、下底面周长，h′为斜高).(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式S圆柱侧＝2πrl(r为底面半径，l为母线长)，S圆锥侧＝πrl(r为底面半径，l为母线长)，S圆台侧＝π(r′＋r)l(r′，r分别为上、下底面的半径，l为母线长).(5)体积公式V柱＝S·h(S为底面面积，h为高)，V锥＝S·h(S为底面面积，h为高)，V台＝(S＋＋S′)h(S，S′分别为上、下底面面积，h为高).(6)球的表面积和体积S球＝4πR2，V球＝πR3.[检验2]　(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为(　　)A.8        B.6        C.8  D.8(2)已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为(　　)A.  B.4π  C.2π  D.答案　(1)C　(2)D3.空间中的平行关系(1)线面平行：⇒a∥α；⇒a∥α；⇒a∥α；(2)面面平行：⇒α∥β；⇒α∥β；⇒α∥γ；(3)线线平行：⇒a∥b；⇒a∥b；⇒a∥b；⇒a∥b.[检验3]　下列条件能得出平面α∥平面β的是(　　)A.α内有无穷多条直线都与β平行B.直线a∥α，a∥β，且a⊄α，a⊄βC.直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥αD.α内的任何直线都与β平行答案　D4.空间中的垂直关系(1)线面垂直：⇒l⊥α；⇒a⊥β；⇒a⊥β；⇒b⊥α；(2)面面垂直：二面角90°；⇒α⊥β；⇒α⊥β；(3)线线垂直：⇒a⊥b.[检验4]　设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是(　　)A.若m⊥n，n∥α，则m⊥αB.若m∥β，β⊥α，则m⊥αC.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α答案　C5.空间向量在立体几何中的应用设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v.(1)空间位置关系：l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R；l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0；l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0；l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R；α∥β⇔u∥v⇔u＝kv，k∈R；α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0.(2)空间角：①设异面直线l，m的夹角θ，则cos θ＝；②设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝；③设平面α，β的夹角为θ，则cos θ＝.(3)空间距离：设A是平面α外一点，O是α内一点，则A到平面α的距离d＝.注意　求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，容易误以为是线面角的余弦.[检验5]　已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于________.答案　6.三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)⇔顶点在底面射影为底面外心；侧棱两两垂直(两相对棱垂直)⇔顶点在底面射影为底面垂心；斜高相等(侧面与底面所成角相等)⇔顶点在底面射影为底面内心；正棱锥各侧面与底面所成角相等为θ，则S侧cos θ＝S底.[检验6]　过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC.(1)若PA＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是AB边的________点.(2)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心.(3)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心.(4)若P到AB，BC，CA三边距离相等，则点O是△ABC的________心.答案　(1)中　(2)外　(3)垂　(4)内