2023高考数学二轮专题 微专题4 平面向量的基本运算和应用

微专题4　平面向量的基本运算和应用

高考定位　1.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积、夹角及模的运算，难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的线性运算及其几何意义，难度中低档.

1.(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　　)

A.3m－2n  B.－2m＋3n

C.3m＋2n  D.2m＋3n

答案　B

解析　因为BD＝2DA，所以＝3，

所以＝＋＝＋3＝＋3(－)

＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B.

2.(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　)

A.－2  B.－1 

C.1  D.2

答案　C

解析　由|a－2b|＝3，可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝9，

又|a|＝1，|b|＝，所以a·b＝1，故选C.

3.(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　)

A.－6  B.－5 

C.5  D.6

答案　C

解析　由题意，得c＝a＋tb＝( 3＋t，4)，

所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，

b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.

因为〈a，c〉＝〈b，c〉，

所以cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉，

即＝，

即＝3＋t，

解得t＝5，故选C.

4.(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________.

答案　

解析　法一(定义法)　因为a∥b，

所以存在实数k，使a＝kb，

即(2，5)＝k(λ，4)，

得解得

法二(结论法)　因为a∥b，

所以2×4－5λ＝0，

解得λ＝.

热点一　平面向量的线性运算

1.平面向量加减求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”；对平面向量减法抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化.

2.在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比.

例1 (1)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于(　　)

A.－  B.－

C.＋  D.＋

(2)已知△ABC的重心为G，经过点G的直线交AB于D，AC于E，若＝λ，＝μ，则＋＝________.

答案　(1)A　(2)3

解析　(1)作出示意图如图所示.

＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－.

(2)如图，设F为BC中点，

则＝

＝(＋)，

又＝，＝，

∴＝＋，

又G，D，E三点共线，

∴＋＝1，即＋＝3.

易错提醒　在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化.

训练1 (1)(2022·广州模拟)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4CD，M为AD的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)

A.  B. 

C.  D.

(2)在△ABC中，AB＝5，AC＝2，BC边上的高AD＝4，且垂足D在线段BC上，H为△ABC的垂心，且＝x＋y(x，y∈R)，则＝________.

答案　(1)A　(2)

解析　(1)如图，连接BD，

因为M为AD的中点，

所以＝＋，

因为＝＋＝＋，

所以＝＋

＝＋，

所以λ＋μ＝＋＝.

(2)因为AB＝5，AC＝2，AD＝4，AD⊥BC于D，

由勾股定理得BD＝3，CD＝2，

则＝＋＝＋

＝＋(－)＝＋，

又因为点H为△ABC的垂心，AD为三角形的高，

所以点H在AD上，

则存在实数λ，使得＝λ＝λ＋λ＝x＋y，

则x＝λ，y＝λ，所以＝.

热点二　平面向量的数量积

1.数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算和数量积的几何意义.

2.可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知的向量模和夹角进行计算.

例2 (1)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝|b|＝2，则|2a－b|＝(　　)

A.0  B.2 

C.  D.20

(2)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos 〈a，a＋b〉＝(　　)

A.－  B.－ 

C.  D.

(3)已知正三角形的边长为2，P是边AB上一点，且＝2，则·(＋)＝(　　)

A.1  B.2 

C.4  D.6

答案　(1)B　(2)D　(3)D

解析　(1)|2a－b|＝＝＝＝2.故选B.

(2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝49，

∴|a＋b|＝7，

∴cos〈a，a＋b〉＝＝＝＝.故选D.

(3)法一(基底法)　由题意可得，P是边AB上靠近点A的三等分点，

故＝＋.

显然·＝2.

因此，·(＋)＝·(＋)

＝2＋2＋·＝6，故选D.

法二(坐标法)　以AB的中点O为原点，OB，OC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，

则A(－1，0)，B(1，0)，C(0，)，P，

则＝，＝(－1，－)，＝(1，－).

因此，·(＋)＝·(0，－2)＝6，故选D.

易错提醒　两个向量的夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量的夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，而且不能反向共线.

训练2 (1)(2022·长沙模拟)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，则·等于(　　)

A.  B. 

C.  D.

(2)(2022·苏锡常镇调研)已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝2，|b|＝1，若(a＋3b)⊥(2a＋λb)，则实数λ＝________.

答案　(1)D　(2)－1

解析　(1)建立如图

所示的平面直角坐标系，

则A(0，1)，B(0，0)，

C(2，0)，D(2，1)，

设E(x，y)，

所以＝(x，y－1)，＝(x，y)，

＝(2，1)，

∵⊥，且∥，

∴解得

∴E，＝，＝，

∴·＝×＋×＝.

(2)因为向量a，b的夹角为120°，|a|＝2，|b|＝1，且(a＋3b)⊥(2a＋λb)，

所以(a＋3b)·(2a＋λb)＝0，

即2a2＋(6＋λ)a·b＋3λb2＝8＋(6＋λ)×2×1×＋3λ＝0，

解得λ＝－1.

热点三　平面向量的综合应用

三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，如向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.

例3 已知ω＞0，a＝(sin ωx，－cos ωx)，b＝(cos ωx，cos ωx)，f(x)＝a·b，x1，x2是y＝f(x)－的两个零点，且|x1－x2|min＝π.

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)若α∈，f＝，求sin 2α的值.

解　(1)f(x)＝sin ωxcos ωx－cos2ωx

＝sin 2ωx－

＝sin 2ωx－cos 2ωx－

＝sin－.

∵x1，x2是函数y＝f(x)－

＝sin－1的两个零点，

即x1，x2是方程sin＝1的两个实根，

且|x1－x2|min＝π，

∴T＝＝π，∴ω＝1.

∴f(x)＝sin－.

由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，

得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z).

(2)f＝sin－＝，

∴sin＝.

∵0＜α＜，∴－＜α－＜，

∴cos＝.

∵sin α＝sin＝sincos ＋cossin ＝，

cos α＝cos＝coscos －sinsin ＝，

∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝.

规律方法　对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.

训练3 △ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行.

 (1)求A的大小；

 (2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积.

解　(1)因为m∥n，所以asin B－bcos A＝0，

由正弦定理，得sin Asin B－sin Bcos A＝0，

又sin B≠0，从而tan A＝，

由于0＜A＜π，所以A＝.

(2)法一　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，

而a＝，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c，

即c2－2c－3＝0，

因为c＞0，所以c＝3，

故△ABC的面积为S＝bcsin A＝.

法二　由正弦定理，得＝，

从而sin B＝，

又由a＞b，知A＞B，

所以cos B＝，

故sin C＝sin(A＋B)＝sin

＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝.

所以△ABC的面积为S＝absin C＝.

一、基本技能练

1.已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)

A.4  B.3 

C.2  D.0

答案　B

解析　a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B.

2.(2022·青岛模拟)已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，则2a－b在a方向上的投影向量为(　　)

A.a  B.a 

C.b  D.b

答案　A

解析　∵向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，

∴(2a－b)·a＝2|a|2－a·b＝2×22－2×6×＝2，

∴2a－b在a方向上的投影向量为a.

3.设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·＝(　　)

A.20  B.15 

C.9  D.6

答案　C

解析　＝＋，＝－＝－＋，

∴·＝·

＝2－2

＝×36－×16＝9，选C.

4.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n等于(　　)

A.0  B.1 

C.2  D.3

答案　C

解析　如图，连接AO，由O为BC的中点可得，

＝(＋)＝＋，

∵M，O，N三点共线，

∴＋＝1.

∴m＋n＝2.

5.(多选)(2022·广州模拟)设向量a＝(－1，1)，b＝(0，2), 则(　　)

A.|a|＝|b|  B.(a－b)∥b

C.(a－b)⊥a  D.a与b的夹角为

答案　CD

解析　∵a＝(－1，1)，b＝(0，2)，a－b＝(－1，－1)，

对于A，|a|＝，|b|＝2，

∴|a|≠|b|，故A错误；

对于B，－1×2－(－1)×0≠0，

∴a－b与b不平行，故B错误；

对于C，(a－b)·a＝－1×(－1)＋(－1)×1＝0，

∴(a－b)⊥a，故C正确；

对于D，cos〈a，b〉＝＝＝，

又a与b的夹角范围是[0，π]，

∴a与b的夹角为，故D正确.

6.(2022·九江模拟)我国东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时，利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若＝a，＝b，＝3，则＝(　　)

A.a＋b  B.a＋b

C.a＋b  D.a＋b

答案　B

解析　＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＝－＋，

解得＝＋，

即＝a＋b，故选B.

7.(2022·全国乙卷改编)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝________.

答案　5

解析　由题意知a－b＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝＝5.

8.(2022·泰安模拟)已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，1)，c＝(3，2).若向量a与向量kb＋c共线，则实数k＝________.

答案　1

解析　已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，1)，c＝(3，2)，

所以kb＋c＝(－2k＋3，k＋2)，

因为向量a与向量kb＋c共线，

所以k＋2＝3×(－2k＋3)，解得k＝1.

9.已知非零向量a，b满足|b|＝2|a|，且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角为________.

答案　π

解析　设a与b的夹角为θ，

由(a＋b)⊥a，得(a＋b)·a＝0，

即a·b＝－a2，

又cos θ＝＝＝＝－，且0≤θ≤π，

则θ＝π.

10.在同一平面中，＝，＝2.若＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n＝________.

答案　

解析　由题意得，＝，＝，

故＝＋＝＋＝＋(－)

＝＋＝＋，

所以m＝，n＝，

故m＋n＝.

11.已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(－，)，x∈[0，π].

(1)若a⊥b，求x的值；

(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.

解　(1)由题意，得－cos x＋sin x＝0，

所以tan x＝，

又x∈[0，π]，所以x＝.

(2)f(x)＝a·b＝－cos x＋sin x＝2sin，

因为x∈[0，π]，所以x－∈，

所以sin∈，

所以f(x)∈[－，2]，

即f(x)的最大值为2，此时x－＝，则x＝；

f(x)的最小值为－，此时x－＝－，则x＝0.

12.在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且＝2.

(1)若∠ABD＝，求BC的长；

(2)若AC＝3，求cos∠BAD.

解　(1)在△ABD中，AB＝4，AD＝2，∠ABD＝，

由正弦定理得＝，

所以sin∠ADB＝＝1，

因为0<∠ADB<π，

所以∠ADB＝.

所以BD＝2，

所以DE＝BE＝，AE＝.

所以cos∠AED＝cos∠BEC＝.

因为＝2，

所以EC＝.

由余弦定理得BC2＝BE2＋EC2－2BE·EC·cos∠BEC＝2＋－2×××＝，

所以BC＝.

(2)法一　因为AC＝3，＝2，所以AE＝2.

设DE＝BE＝x，在△ABD中，由余弦定理得

cos∠ADB＝.

在△AED中，由余弦定理得cos∠ADB＝，

所以＝，

解得x＝2，

所以BD＝4.

在△ABD中，由余弦定理得cos∠BAD＝＝＝－.

法二　因为AC＝3，＝2，所以||＝2，

在△ABD中，E为BD的中点，

所以＋＝2，

平方得||2＋||2＋2·＝4||2，

即16＋8＋2×4×2×cos∠BAD＝16，

解得cos∠BAD＝－.

二、创新拓展练

13.(多选)(2022·湖州调研)四边形ABCD为边长为1的正方形，M为边CD的中点，则(　　)

A.＝2  B.－＝

C.＋＝  D.·＝1

答案　BD

解析　由题意得＝＝2＝－2，故选项A错误；

－＝－＝＋＝，故选项B正确；

＋＝＋＝，故选项C错误；

·＝(＋)·＝·＋·＝1＋0＝1，故选项D正确.综上所述，故选BD.

14.(多选)(2022·武汉质检)已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的两点，且＝，＝2，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是(　　)

A.·＝－1 B.＋＝0

C.|＋＋|＝ D.在方向上的投影向量的长度为

答案　BCD

解析　因为＝，△ABC是等边三角形，

所以CE⊥AB，

所以·＝0，选项A错误；

以E为坐标原点，，的方向分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，

所以E(0，0)，A(1，0)，B(－1，0)，C(0，)，D，

设O(0，y)，y∈(0，)，

则＝(1，y)，＝，

又∥，

所以y－＝－y，

解得y＝，

即O是CE的中点，＋＝0，

所以选项B正确；

|＋＋|＝|2＋|＝||＝.所以选项C正确；

＝，＝(1，)，

在方向上的投影向量的长度为＝＝，所以选项D正确.

15.(多选)(2022·苏州模拟)在△ABC中，＝c，＝a，＝b，则下列命题为真命题的有(　　)

A.若|a|>|b|，则sin A>sin B

B.若a·b>0，则△ABC为锐角三角形

C.若a·b＝0，则△ABC为直角三角形

D.若(b＋c－a)·(b＋a－c)＝0，则△ABC为直角三角形

答案　ACD

解析　对于A，若|a|>|b|，由正弦定理得2Rsin A>2Rsin B，

∴sin A>sin B，则A正确；

对于B，若a·b>0，则cos(π－∠ACB)>0，

∴cos∠ACB<0，即∠ACB为钝角，

∴△ABC为钝角三角形，故B错误；

对于C，若a·b＝0，则AC⊥BC，

∴△ABC为直角三角形，故C正确；

对于D，若(b＋c－a)·(b＋a－c)＝0，则b2－(a－c)2＝0，

∴a2＋c2－b2＝2a·c，

即＝－cos B，

由余弦定理知＝cos B，

∴cos B＝－cos B，则cos B＝0，

∵B∈(0，π)，∴B＝，△ABC为直角三角形，故D正确.故选ACD.

16.在平面凸四边形ABCD中，AB＝2，点M，N分别是边AD，BC的中点，且MN＝，若·(－)＝，则·＝________.

答案　－2

解析　因为点M，N分别是AD，BC的中点，

所以＝＋＝(－)，

则有·(－)＝(－)·(－)

＝(－)·(＋－)

＝(－)·(＋)＝.

又因为AB＝2，所以CD＝1，

则由＝(－)两边平方化简得

5＝||2－2·，

即·＝＝－2.

17.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且C＝，a＋b＝λc(其中λ>1).

(1)若λ＝，证明：△ABC为直角三角形；

(2)若·＝λ2，且c＝3，求λ的值.

(1)证明　∵λ＝，∴a＋b＝c，

由正弦定理得sin A＋sin B＝sin C，

∵C＝，∴sin B＋sin＝，

即sin B＋cos B＋sin B＝，

∴sin B＋cos B＝，

即sin B＋cos B＝，

则sin＝，

又B∈(0，π)，

从而B＋＝或B＋＝，

解得B＝或B＝.

若B＝，则A＝，△ABC为直角三角形；

若B＝，△ABC也为直角三角形.

所以△ABC为直角三角形.

(2)解　若·＝λ2，

即||||cos C＝λ2，又C＝，

则ab＝λ2，

∴ab＝λ2.

由余弦定理知a2＋b2－c2＝2abcos C，

即a2＋b2－ab＝c2＝9，

即(a＋b)2－3ab＝9，

又a＋b＝3λ，故9λ2－λ2＝9，

解得λ2＝4，

又λ>1，∴λ＝2.