2023高考数学二轮专题 微专题22 直线与圆锥曲线

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微专题22　直线与圆锥曲线高考定位　直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及弦中点等问题，难度中等.1.(2021·新高考Ⅱ卷)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝(　　)A.1  B.2  C.2  D.4答案　B解析　抛物线的焦点坐标为，其到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，解得：p＝2(p＝－6舍去).2.(2022·全国甲卷)记双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________.答案　2((1，]内的任意值均可)解析　双曲线C的渐近线方程为y＝±x，若直线y＝2x与双曲线C无公共点，则2≥，∴≤4，∴e2＝＝1＋≤5，又e＞1，∴e∈(1，]，∴填写(1，]内的任意值均可.3.(2021·浙江卷)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0).若过F1的直线和圆＋y2＝c2相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则该直线的斜率是________；椭圆的离心率是________.答案　　解析　设过F1的直线与圆的切点为M，圆心A，则|AM|＝c，|AF1|＝c，所以|MF1|＝c，所以该直线的斜率k＝＝＝.因为PF2⊥x轴，所以|PF2|＝，又|F1F2|＝2c，所以k＝＝＝＝，解得e＝(e＝－舍去).4.(2022·新高考Ⅱ卷)已知直线l与椭圆＋＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2，则l的方程为________.答案　x＋y－2＝0解析　法一　设直线l的方程为＋＝1(m>0，n>0)，分别令y＝0，x＝0，得点M(m，0)，N(0，n).设A(x1，y1)，B(x2，y2).由题意知线段AB与线段MN有相同的中点，所以即因为kAB＝kMN，所以＝＝－.将A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程，得相减得＋＝0，由题意知x1＋x2≠0，x1≠x2，所以·＝－，即·＝－，整理得m2＝2n2.①又|MN|＝2，所以由勾股定理，得m2＋n2＝12，②由①②并结合m>0，n>0，得所以直线l的方程为＋＝1，即x＋y－2＝0.法二　设直线l的方程为＋＝1(m>0，n>0)，分别令y＝0，x＝0，得点M(m，0)，N(0，n).由题意知线段AB与线段MN有相同的中点，设为Q，则Q，则kAB＝＝－，kOQ＝＝.由椭圆中点弦的性质知，kAB·kOQ＝－＝－，即·＝－，以下同法一.热点一　中点弦问题已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB的斜率为k.(1)若椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，则k＝－·；(2)若双曲线E的方程为－＝1(a>0，b>0)，则k＝·；(3)若抛物线E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝.例1 (1)(2022·宝鸡二模)椭圆＋＝1中以点M(2，1)为中点的弦所在直线方程为(　　)A.4x＋9y－17＝0 B.4x－9y－17＝0C.x＋3y－2－3＝0 D.x－3y－2＋3＝0(2)(2022·广州调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，过点F的直线x－y＋＝0与椭圆C相交于不同的两点A，B，若P为线段AB的中点，O为坐标原点，直线OP的斜率为－，则椭圆C的方程为(　　)A.＋y2＝1  B.＋＝1C.＋＝1  D.＋＝1答案　(1)A　(2)B解析　(1)设以点M(2，1)为中点弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减得＋＝0，因为M(2，1)为中点，所以＝2，＝1，所以斜率k＝＝－＝－(或直接利用结论k＝－·＝－×＝－)，所以所求直线方程为y－1＝－(x－2)，即4x＋9y－17＝0.(2)因为直线x－y＋＝0过点F(－，0)，所以c＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＋＝1，＋＝1两式相减并化简得－＝·，即－＝·1，所以＝，所以a2＝2b2＝b2＋c2，所以b＝c＝，a＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.规律方法　1.处理中点弦问题的常用方法：(1)根与系数的关系，(2)点差法.2.利用点差法需注意保证直线与曲线相交.训练1 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，虚轴的上端点为B，点P，Q在双曲线上，且点M(－2，1)为线段PQ的中点，PQ∥BF，双曲线的离心率为e，则e2等于(　　)A.  B.C.  D.答案　A解析　法一　由题意知F(c，0)，B(0，b)，则kPQ＝kBF＝－.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则两式相减，得＝.因为线段PQ的中点为M(－2，1)，所以x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，又kPQ＝＝－，所以－＝，整理得a2＝2bc，所以a4＝4b2c2＝4c2(c2－a2)，即4e4－4e2－1＝0，得e2＝，或e2＝(舍去).法二　由题意知F(c，0)，B(0，b)，则kBF＝－.设直线PQ的方程为y－1＝k(x＋2)，即y＝kx＋2k＋1，代入双曲线方程，得(b2－a2k2)x2－2a2k(2k＋1)x－a2(2k＋1)2－a2b2＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－4，所以＝－4，又k＝kBF＝－，所以2a2·＝－4b2＋4a2.整理得a2＝2bc，所以c2－b2－2bc＝0，即－－1＝0，得＝＋1，或＝1－(舍去)，则e2＝＝＝＝＝.热点二　弦长问题已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2|＝.例2 (2022·青岛模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，点P在椭圆E上.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设直线l：x＝my＋1(m∈R)与椭圆E相交于A，B两点，与圆x2＋y2＝a2相交于C，D两点，当|AB|·|CD|2的值为8时，求直线l的方程.解　(1)因为点P在椭圆上，根据椭圆定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a，又|PF1|＝＝，|PF2|＝，所以2a＝＋＝2，即a＝，∵c＝1，∴b2＝a2－c2＝1，故椭圆E的标准方程为＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x，整理得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，所以Δ＝8m2＋8>0，y1＋y2＝－，y1y2＝－，则|AB|＝＝＝.设圆x2＋y2＝2的圆心O到直线l的距离为d，则d＝，所以|CD|＝2＝2＝2，则|AB|·|CD|2＝×4×＝＝8，解得m＝±1，经验证m＝±1符合题意.故所求直线的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.规律方法　1.设直线方程要注意斜率不存在的情况.若已知直线过(t，0)，可设直线方程为x＝my＋t(m≠0)；2.联立直线、曲线的方程组消元后，一需要二次项系数不等零，二需要Δ＞0；3.点差法，要检验中点是否在圆锥曲线内部，若中点在曲线内部，可不必检验Δ＞0.训练2 (2022·温州调研)椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形.(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交C于A，B两点，且＝2，求|AB|.解　(1)∵两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形，∴b＝c，∵椭圆过点P，∴＋＝1，又a2＝b2＋c2，解得a2＝2，b2＝1，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)∵F(1，0)，设lAB：x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，∴∵＝2，∴y1＝－2y2，∴∴2＝，∴m2＝，∴|AB|＝·|y1－y2|＝·＝.热点三　圆锥曲线的切线问题1.直线与圆锥曲线相切时，它们的方程组成的方程组消元后所得方程(二次项系数不为零)的判别式为零.2.椭圆＋＝1(a>b>0)在(x0，y0)处的切线方程为＋＝1；双曲线－＝1(a>0，b>0)在(x0，y0)处的切线方程为－＝1；抛物线y2＝2px(p＞0)在(x0，y0)处的切线方程为y0y＝p(x＋x0).例3 (1)已知椭圆E：＋＝1，点P是直线l：x＝4上的任意一点，过点P作椭圆E的两条切线，切点分别是A，B，则|AB|的最小值是________.(2)(2022·北京石景山区模拟)设A，B为抛物线C：y＝x2上两个不同的点，且直线AB过抛物线C的焦点F，分别以A，B为切点作抛物线C的切线，两条切线交于点P.则下列结论：①点P一定在抛物线C的准线上；②PF⊥AB；③△PAB的面积有最大值无最小值.其中，正确的个数是(　　)A.0  B.1  C.2  D.3答案　(1)2　(2)C解析　(1)设P(4，t)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则切线PA的方程为＋＝1，切线PB的方程为＋＝1.因为它们都经过点P，所以故直线AB的方程为＋＝1，即x＝－y＋2.联立消去x得，(t2＋8)y2－8ty－16＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝－，所以|AB|＝＝＝4，所以当t＝0时，|AB|min＝2.(2)由抛物线知焦点F，可设直线AB方程为y＝kx＋，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与抛物线方程得x2－kx－＝0，则x1＋x2＝k，x1x2＝－，y1＋y2＝k2＋，y1y2＝，切线AP的方程为y－y1＝2x1(x－x1)，化简得y＋y1＝2x1x，同理切线BP的方程为y＋y2＝2x2x，联立解得P，故①正确；∴kPF＝＝－，∴kPF·k＝－1，故②正确；S△PAB＝|AB|d＝·(k2＋1)·＝，当k＝0时，S△PAB有最小值，无最大值，故③错误，故选C.规律方法　1.圆锥曲线在某点处的切线方程可通过求导的方法来解决.2.过圆锥曲线外一点作曲线的两条切线，过两切点的直线方程与曲线在该点处的切线方程相同.例如：过椭圆C：＋＝1(a>b>0)外一点P(x0，y0)作椭圆的两条切线PA，PB(A，B为切点)，则直线AB的方程为＋＝1.训练3 (1)(2022·石家庄模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点A(x0，y0)处的切线l与圆M：(x＋2)2＋y2＝4相切于另一点B，则抛物线焦点F与切点A距离|AF|的最小值为________.(2)如图，已知点P(x0，y0)是双曲线C1：－＝1上的点，过点P作椭圆C2：＋＝1的两条切线，切点为A，B，直线AB交C1的两渐近线于点E，F，O是坐标原点，则·的值为(　　)A.  B.1  C.  D.答案　(1)8　(2)B解析　(1)抛物线y2＝2px(p>0)上一点A(x0，y0)处的切线l方程为y0y＝p(x0＋x)，整理得px－y0y＋px0＝0，因为切线l与圆M相切，则d＝＝2，同时平方化简得－4p2x0＋p2x＝4y，又y＝2px0，∴－4p2x0＋p2x＝8px0，解得x0＝4＋，即xA＝4＋，此时|AF|＝4＋＋≥2＋4＝8，当且仅当＝，即p＝4时取等号，故|AF|的最小值为8.(2)椭圆C2关于点P(x0，y0)的切点弦AB的方程为＋＝1，即3x0x＋4y0y＝12，由解得E，同理F，则·＝＋＝＝1，故选B.热点四　直线与圆锥曲线位置关系的应用直线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)联立直线的方程与圆锥曲线的方程.(2)消元得到关于x或y的一元二次方程.(3)利用判别式Δ，判断直线与圆锥曲线的位置关系.例4 (1)已知直线l与椭圆＋＝1(a>b>0)相切，与直线x＝－a，x＝a分别交于点M，N，F为椭圆的左焦点，若以MN为直径的圆为E，则F(　　)A.在圆E上 B.在圆E内C.在圆E外 D.以上三种情况都有可能(2)(2022·长沙模拟)已知椭圆Г：＋＝1，过其左焦点F1作直线l交椭圆Г于P，A两点，取P点关于x轴的对称点B.若G点为△PAB的外心，则＝(　　)A.2  B.3C.4  D.以上都不对答案　(1)A　(2)C解析　(1)显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，由可得(a2k2＋b2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0，因为直线l与椭圆相切，所以Δ＝(2a2km)2－4(a2k2＋b2)(a2m2－a2b2)＝0，故m2＝a2k2＋b2.易知F(－c，0)，M(－a，－ak＋m)，N(a，ak＋m)，则＝(c－a，m－ak)，＝(c＋a，m＋ak)，则·＝c2－a2＋m2－a2k2＝－b2＋a2k2＋b2－a2k2＝0，故∠MFN＝90°，即点F在圆E上.(2)根据题意可得F1(－1，0)，显然直线PA的斜率存在，故可设方程为y＝k(x＋1)，由联立消去y，可得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，设P(x1，y1)，A(x2，y2)，故x1＋x2＝，x1x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2k＝，故|PA|＝＝，设PA的中点为H，则其坐标为，显然x轴垂直平分PB，故可设G(x3，0)，又GH直线方程为：y－＝－，令y＝0，解得x＝，故|GF1|＝＝，故＝＝4，故选C.易错提醒　1.直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.2.直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合).训练4 已知F1，F2是椭圆E1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，曲线E2：y2＝4x的焦点恰好也是F2，O为坐标原点，过椭圆E1的左焦点F1作与x轴垂直的直线交椭圆于M，N，且△MNF2的面积为3.(1)求椭圆E1的方程；(2)过F2作直线l交E1于A，B，交E2于C，D，且△ABF1与△OCD的面积相等，求直线l的斜率.解　(1)因为曲线E2：y2＝4x的焦点恰好也是F2，所以椭圆中c＝1，2c＝2，因为△MNF2的面积为3，所以|MN|＝3，所以解得a＝2，c＝1，b＝，所以椭圆的方程为＋＝1.(2)因为O为F1，F2的中点，所以O到直线l的距离为F1到l距离的一半，又因为△ABF1与△OCD的面积相等，所以|CD|＝2|AB|，因为F2(1，0)，设l的方程为y＝k(x－1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，联立方程组可得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，由两点间距离公式可得，|AB|＝|x1－x2|＝＝4－，联立方程组可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则x3＋x4＝2＋，x3x4＝1，所以|CD|＝x3＋x4＋2＝4＋，因为＝＝2，解得k＝±，故直线l的斜率为±.一、基本技能练1.椭圆＋＝1中，以点M(－1，2)为中点的弦所在直线斜率为(　　)A.  B.  C.  D.－答案　B解析　设以M为中点的弦为弦AB，弦AB的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式相减得＋＝0，又弦AB中点为M(－1，2)，∴x1＋x2＝－2，y1＋y2＝4，即＋＝0，∴k＝＝.2.(2022·广州二模)抛物线y2＝4x的焦点为F，点A在抛物线上.若|AF|＝3，则直线AF的斜率为(　　)A.±  B.±2  C.  D.2答案　B解析　由题意得F(1，0)，设点A(x0，y0)，则|AF|＝x0＋1＝3，故x0＝2，y0＝±2，故点A坐标为(2，2)或(2，－2)，所以直线AF的斜率为±2.故选B.3.(2022·金华调研)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆x2＋y2－4y＋2＝0所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为(　　)A.  B.  C.2  D.答案　C解析　不妨设双曲线的一条渐近线方程为：bx＋ay＝0，圆x2＋y2－4y＋2＝0的圆心为(0，2)，半径为，可得圆心到直线的距离为＝，整理得4a2＝a2＋b2，即4a2＝c2，∴e＝＝2，故选C.4.(2022·福州二模)F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，B是椭圆的上顶点，过点F1作BF2的垂线交椭圆C于P，Q两点，若3＝7，则椭圆C的离心率是(　　)A.或  B.或C.或  D.或答案　B解析　由椭圆C的方程可得B(0，b)，F2(c，0)，F1(－c，0)，所以kBF2＝－，设直线PQ的方程为y＝(x＋c)，即x＝y－c，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立整理得(b4＋a2c2)y2－2b3c2y－b4c2＝0，可得y1＋y2＝，①y1y2＝－，②因为3＝7，则3(－c－x1，－y1)＝7(x2＋c，y2)，可得y1＝－y2代入①可得y2＝－.③将y1＝－y2代入②可得y＝，④③代入④可得＝化简，得25c4－25a2c2＋4a4＝0，即25e4－25e2＋4＝0，解得e2＝或e2＝，即e＝或e＝，故选B.5.已知椭圆M：＋＝1(a>)，过焦点F的直线l与M交于A，B两点，坐标原点O在以AF为直径的圆上，若|AF|＝2|BF|，则M的方程为(　　)A.＋＝1  B.＋＝1C.＋＝1  D.＋＝1答案　A解析　由题意不妨设F(－c，0)，因为原点O在以AF为直径的圆上，所以OA⊥OF，可得A为椭圆M短轴的端点，则A(0，)，因为|AF|＝2|BF|，所以B代入椭圆M方程中可得＋＝1，即a2＝3c2，又c2＝a2－2，所以a2＝3(a2－2)，解得a2＝3，所以椭圆M的方程为＋＝1，故选A.6.(多选)(2022·烟台模拟)已知双曲线C：－＝1，F1，F2为C的左、右焦点，则(　　)A.双曲线－＝1(m>0)和C的离心率相等B.若P为C上一点，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的周长为6＋2C.若直线y＝tx－1与C没有公共点，则t<－或t>D.在C的左、右两支上分别存在点M，N，使得4＝答案　BC解析　选项A：双曲线C：－＝1的离心率e＝，双曲线－＝1(m>0)的离心率e＝＝，则双曲线－＝1(m>0)和C的离心率不一定相等.判断错误；选项B：P为C：－＝1上一点，且∠F1PF2＝90°，则有整理得|PF1|＋|PF2|＝2，则△F1PF2的周长为6＋2.选项B判断正确；选项C：由可得(5－4t2)x2＋8tx－24＝0，由题意可知，方程(5－4t2)x2＋8tx－24＝0无解.当5－4t2＝0时，方程(5－4t2)x2＋8tx－24＝0有解；当5－4t2≠0时，则有解之得t<－或t>，故若直线y＝tx－1与C没有公共点，则t<－或t>.判断正确；选项D：根据题意，过双曲线C的左焦点F1的直线MN方程可设为x＝ty－3，令M(x1，y1)，N(x2，y2)，由4＝，可得y2＝4y1，由可得(5t2－4)y2－30ty＋25＝0，则有则有整理得19t2＋100＝0，显然不成立.当过双曲线C的左焦点F1的直线MN为水平直线时，方程为y＝0，则M＝(－2，0)，N(2，0)，＝(1，0)，＝(5，0)，即5＝.综上可知，不存在分别在C的左、右两支上M，N使得4＝.判断错误.故选BC.7.(2022·西安模拟)已知直线y＝kx－1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，则b的取值范围是________.答案　[1，2)解析　由题意直线y＝kx－1恒过定点N(0，－1)，要使直线y＝kx－1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，则只需要点N(0，－1)在椭圆上或椭圆内，即≤1，解得b≥1，又焦点在x轴上，∴b<2.∴1≤b<2.8.已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________.答案　8解析　因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，所以四边形PF1QF2为矩形，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由椭圆定义可得|PF1|＋|PF2|＝m＋n＝2a＝8，所以m2＋2mn＋n2＝64，又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，即m2＋n2＝48，所以mn＝8，即四边形PF1QF2的面积为|PF1||PF2|＝mn＝8，故答案为8.9.(2022·南通、泰州等七市调研)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)是双曲线右支上的两点，x1＋y1＝x2＋y2＝3.记△PQF1，△PQF2的周长分别为C1，C2，若C1－C2＝8，则双曲线的右顶点到直线PQ的距离为________.答案　解析　根据双曲线的定义，若C1－C2＝(|PQ|＋|PF1|＋|QF1|)－(|PQ|＋|PF2|＋|QF2|)＝4a＝8，所以a＝2.故双曲线右顶点为(2，0)，因为x1＋y1＝x2＋y2＝3，所以P，Q在x＋y＝3上，即直线PQ的方程为x＋y＝3，所以双曲线的右顶点到直线PQ的距离为d＝.10.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过原点的直线l与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A，B，∠F1AF2＝60°，四边形AF1BF2的周长p与面积S满足p2＝S，则该双曲线的离心率为________.答案　解析　由题知|AF1|－|AF2|＝2a，四边形AF1BF2是平行四边形，|AF1|＋|AF2|＝，联立解得|AF1|＝a＋，|AF2|＝－a，∵∠F1AF2＝60°，四边形AF1BF2的面积S＝|AF1||AF2|＝，∵p2＝S，∴p2＝×，即p2＝64a2，由|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|cos 60°＝(|AF1|－|AF2|)2＋|AF1||AF2|，可得4c2＝4a2＋－a2＝4a2＋3a2＝7a2，即e＝，故答案为.11.(2022·临汾二模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，其准线与x轴交于点P，过点P作直线l与C交于A，B两点，点D与点A关于x轴对称.(1)证明：直线BD过点F；(2)若＝3，求l的斜率.(1)证明　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，－y1)，直线l的斜率为k，由题可知k一定存在，直线l的方程为：y＝k.由得ky2－2py＋kp2＝0，Δ＝4p2－4k2p2>0，则－1<k<1.y1＋y2＝，y1y2＝p2，kBD＝＝＝，故直线BD的方程为y＋y1＝，即y＝，故直线BD过点F.(2)解　由＝3可得由(1)可知，y1＋y2＝4y2＝，故y2＝，又x1＋3x2＝2p，故＋＝2p，即y＋3y＝4p2＝12y，故y＝＝，所以k2＝，满足Δ>0，故k＝±.12.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，点M是x轴上的一点，过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A在x轴的上方)，若|AM|＝2|MB|，且直线l与圆O：x2＋y2＝相切于点N，求△OMN的面积.解　(1)由题意知解得所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)设M(m，0)，直线l：x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AM|＝2|MB|，得y1＝－2y2，由得(t2＋4)y2＋2mty＋m2－4＝0.Δ＝－16(m2－t2－4)>0，即m2<t2＋4.由根与系数的关系得y1＋y2＝－，y1y2＝.由y1y2＝－2y，y1＋y2＝－2y2＋y2＝－y2，得y1y2＝－2[－(y1＋y2)]2＝－2(y1＋y2)2，即＝－2，化简得(m2－4)·(t2＋4)＝－8t2m2，所以原点O到直线l的距离d＝，又直线l与圆O：x2＋y2＝相切，所以＝，即t2＝m2－1.由得21m4－16m2－16＝0，即(3m2－4)(7m2＋4)＝0，解得m2＝，此时t2＝，满足Δ>0，此时点M的坐标为，在Rt△OMN中，|MN|＝＝，所以S△OMN＝××＝.二、创新拓展练13.(2022·丽水调研)在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，B(9，6)，动点C在线段OB上，BD⊥y轴，CE⊥y轴，CF⊥BD，垂足分别是D，E，F，OF与CE相交于点P.已知点Q在点P的轨迹上，且∠OAQ＝120°，则|AQ|＝(　　)A.4  B.2  C.  D.答案　A解析　设P(x，y)，则yC＝y，∵直线OB为y＝x，∴C，E(0，y)，F，∵FC∥y轴，∴△OPE∽△FPC，∴＝，∴＝，即y2＝4x，∴P的轨迹方程为：y2＝4x(0≤x≤9)，故A(1，0)为该抛物线的焦点，设Q(x0，y0)，则y＝4x0，＝(x0－1，y0)，＝(－1，0)，∴cos∠OAQ＝＝＝＝－，解得x0＝3，∴|AQ|＝x0＋＝3＋1＝4.故选A.14.(多选)(2022·苏北四市调研)已知椭圆C：mx2＋ny2＝1与直线y＝x＋1交于A，B两点，且|AB|＝，M为AB的中点，若P是直线AB上的点，则(　　)A.椭圆C的离心率为B.椭圆C的短轴长为C.·＝－3D.P到C的两焦点距离之差的最大值为2答案　ACD解析　令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则则m(x－x)＋n(y－y)＝0，则＋＝0，则＋·＝0，则＋kABkOM＝0，所以＋1×＝0，所以＝，则m<n，>，椭圆的标准方程为＋＝1，所以椭圆C的焦点在x轴上，即＝＝＝，∴e2＝＝＝1－＝，即e＝，A正确；椭圆C的方程为x2＋2y2＝2b2，联立消y可得3x2＋4x＋2－2b2＝0，Δ＝16－12(2－2b2)＝24b2－8>0，可得b2>，则∴|AB|＝＝＝，所以b2＝3，则b＝，所以椭圆C短轴长为2b＝2，B错误；·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋1)·(x2＋1)＝2x1x2＋(x1＋x2)＋1＝－×3＋1＝－3，C正确；椭圆C的方程为x2＋2y2＝6，其标准方程为＋＝1，c＝＝，椭圆C的左焦点为F1(－，0)，右焦点为F2(，0)，如图所示：设点F1关于直线AB的对称点为点E(m，n)，则解得即点E(－1，1－)，易知|PF1|＝|PE|，则||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PE||≤|EF2|＝＝2，当且仅当点P，E，F2三点共线时，等号成立，D正确.故选ACD.15.(多选)(2022·重庆诊断)已知F为抛物线C：y2＝6x的焦点，过直线x＝－上一动点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则下列恒为定值的是(　　)A.  B.C.  D.答案　BCD解析　根据题意，得x＝－为抛物线的准线，焦点为F，设P，设过点P与曲线C相切的直线方程为：y－y0＝k(k≠0)，由得ky2－6y＋6y0＋9k＝0，由直线与曲线相切得Δ＝36－4k(6y0＋9k)＝0，整理得3k2＋2ky0－3＝0，设切线PA的斜率为k1，切线PB的斜率为k2，则k1＋k2＝－，k1k2＝－1，即切线PA与PB垂直.由3k2＋2ky0－3＝0得y0＝并代入ky2－6y＋6y0＋9k＝0，整理得k2y2－6ky＋9＝0，解得y＝，再由y＝，y0＝代入y－y0＝k，得x＝，所以A，B，所以kAB＝＝＝，kPF＝＝－，所以AB⊥PF，因为3k＋2k1y0－3＝0，kAF＝＝＝，所以A，B，F三点共线(如图)所以△PAB为直角三角形，PF为边AB上的高.对于A，由等面积法得S△PAB＝|PA||PB|＝|AB|·|PF|，即＝|PF|，由于P为动点，故|PF|不为定值，故A错误；对于B，由过焦点弦的性质＝＝＝＝(定值)，B正确；对于C，由切线PA与切线PB垂直，故·＝0，即＝0(定值)，C正确；对于D，由题知△PBF∽△APB，所以|PF|2＝|AF|·|BF|，所以＝＝cos α＝cos 180°＝－1(定值)，故D正确，故选BCD.16.(2022·沈阳模拟)双曲线T：－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，圆x2＋y2＝c2与T及T的渐近线分别在第一象限交于点M，N.若M，N关于直线y＝x对称，则T的离心率为________.答案　解析　双曲线－＝1(a>0，b>0)，一条渐近线方程为y＝x，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中x1，x2，y1，y2>0，联立方程组可得x2＝a2，∴x＝±a，即M的横坐标为x1＝a.联立方程组整理得b2(c2－y2)－a2y2＝a2b2，即y2＝，解得y＝±，即点N的纵坐标为y2＝.因为点M与点N关于直线y＝x对称可得x1＝y2，即a＝，即b2＝ac，∴c2－a2＝ac，即e2－e－1＝0，解得e＝或e＝，又∵双曲线离心率e>1，∴e＝.17.(2022·丽水质检)在平面直角坐标系中，顶点在原点、以坐标轴为对称轴的抛物线C经过点(1，2).(1)求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C关于x轴对称，过焦点F的直线交C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交直线AB于点P，交C的准线于点Q.若|AB|＝|PQ|，求直线AB的方程.解　(1)当焦点在x轴时，设抛物线C：y2＝2px(p>0).将点(1，2)代入得p＝2，此时抛物线的方程为y2＝4x.当焦点在y轴时，设抛物线C：x2＝2py(p>0)，将点(1，2)代入得p＝，此时抛物线的方程为x2＝y.综上，抛物线C的方程为y2＝4x或x2＝y.(2)当抛物线C的焦点在x轴时，其方程为y2＝4x，焦点坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1.∵当直线AB的斜率不存在时，|AB|＝4，|PQ|＝2，不符合题意，∴直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).由消去y得，k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.∴Δ＝16k2＋16>0，x1＋x2＝，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋，线段AB的中点P为，∴直线PQ的方程为y－＝－.令x＝－1，得y＝＋，∴Q，∴|PQ|＝＝2.由|PQ|＝|AB|得，2＝4＋，解得k＝±，∴直线AB的方程为y＝x－或y＝－x＋.