2023高考数学二轮专题 微专题28 解析几何中优化运算的方法

微专题28　解析几何中优化运算的方法

1.焦点三角形的面积

(1)设P点是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上异于长轴端点的任一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积记为S△PF1F2，则S△PF1F2＝b2tan .

(2)设P点是双曲线－＝1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积记为S△PF1F2，则S△PF1F2＝.

2.中心弦的性质

设A，B为圆锥曲线关于原点对称的两点，P为该曲线上异于A，B的点.

(1)若圆锥曲线为椭圆＋＝1(a>b>0)，则kPAkPB＝－＝e2－1.

(2)若圆锥曲线为双曲线－＝1(a>0，b>0)，则kPAkPB＝＝e2－1.

3.中点弦的性质

设圆锥曲线以M(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦AB所在的直线的斜率为k.

(1)若圆锥曲线为椭圆＋＝1(a＞b＞0)，则kAB＝－，kAB·kOM＝－＝e2－1.

(2)若圆锥曲线为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，则kAB＝，kAB·kOM＝＝e2－1.

(3)若圆锥曲线为抛物线y2＝2px(p＞0)，则kAB＝.

4.圆锥曲线的切线方程

设M(x0，y0)为圆锥曲线上的点，

(1)若圆锥曲线为椭圆＋＝1(a>b>1)，则椭圆在M处的切线方程为＋＝1.

(2)若圆锥曲线为双曲线－＝1(a>0，b>0)，则双曲线在M处的切线方程为－＝1.

(3)若圆锥曲线为抛物线y2＝2px(p>0)，则抛物线在M处的切线方程为y0y＝p(x＋x0).

5.与抛物线的焦点弦有关的二级结论

过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F倾斜角为θ的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；(2)两焦半径长为，；(3)＋＝；(4)|AB|＝，S△AOB＝.

类型一　优化运算的基本途径

途径1　回归定义

当题目条件涉及圆锥曲线的焦点时，要考虑利用圆锥曲线的定义表示直线与圆锥曲线相交所得的弦长.

例1 已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程.

解　设直线l：y＝x＋t，

A(x1，y1)，B(x2，y2).

由题设得F，故结合抛物线的定义可得|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋.

由题设可得x1＋x2＝.

由

可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，

则x1＋x2＝－，

从而－＝，

解得t＝－，所以直线l的方程为y＝x－.

途径2　设而不求

在解决直线与圆锥曲线的相关问题时，通过设点的坐标，应用“点差法”或借助根与系数的关系来进行整体处理，设而不求，避免方程组的复杂求解，简化运算.

例2 已知点M到点F(3，0)的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小2.

(1)求点M的轨迹E的方程；

(2)过点P(m，0)(m>0)作互作垂直的两条直线l1，l2，它们与(1)中轨迹E分别交于点A，B及点C，D，且G，H分别是线段AB，CD的中点，求△PGH面积的最小值.

解　(1)由题意知，点M到点F(3，0)的距离与到直线l′：x＋3＝0的距离相等，

结合抛物线的定义，可知轨迹E是以F(3，0)为焦点，以直线l′：x＋3＝0为准线的抛物线，

则知＝3，解得p＝6，

故M的轨迹E的方程为y2＝12x.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则有y＝12x1，y＝12x2，

以上两式作差，并整理可得＝＝.

即kAB＝，同理可得kCD＝，

易知直线l1，l2的斜率存在且均不为0，

又由于l1⊥l2，

可得kAB·kCD＝＝－1，

即yGyH＝－36，

所以S△PGH＝|PG|·|PH|＝·|yG| ·|yH|

＝18≥18

＝18＝36，

当且仅当|kAB|＝|kCD|＝1时，等号成立，故△PGH面积的最小值为36.

途径3　换元引参

结合解决问题的需要，根据题目条件引入适当的参数或相应的参数方程，巧妙转化相应的解析几何问题，避开复杂的运算.

例3 设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点.若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|>.

证明　法一　设P(acos θ，bsin θ)(0≤θ<2π)，

则线段OP的中点Q的坐标为.

|AP|＝|OA|⇔AQ⊥OP⇔kAQ×k＝－1.

又A(－a，0)，

所以kAQ＝，

即bsin θ－akAQcos θ＝2akAQ.

2akAQ＝sin(θ－α)，

tan θ＝，

从而可得|2akAQ|≤<a，

解得|kAQ|<，

故|k|＝>.

法二　依题意，直线OP的方程为y＝kx，

可设点P的坐标为(x0，kx0).

由点P在椭圆上，得＋＝1.

因为a>b>0，kx0≠0，

所以＋<1，

即(1＋k2)x<a2.①

由|AP|＝|OA|及A(－a，0)，

得(x0＋a)2＋k2x＝a2，

整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0，

于是x0＝，

代入①，得(1＋k2)·<a2，

解得k2>3，所以|k|>.

法三　依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0).

联立

消去y0并整理，得x＝.①

由|AP|＝|OA|，A(－a，0)及y0＝kx0，

得(x0＋a)2＋k2x＝a2，

整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0.

而x0≠0，于是x0＝，

代入①，整理得(1＋k2)2＝4k2＋4.

又a>b>0，

故(1＋k2)2>4k2＋4，

即k2＋1>4，

因此k2>3，所以|k|>.

训练1 (1)(2022·杭州质检)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)

A.  B. 

C.  D.

(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点(1，－2)，经过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，A在x轴的上方，Q(－1，0)，若以QF为直径的圆经过点B，则|AF|－|BF|＝(　　)

A.2  B.2 

C.2  D.4

答案　(1)D　(2)D

解析　(1)由已知，得F1(－，0)，F2(，0)，

设双曲线C2的实半轴长为a，

由椭圆及双曲线的定义和已知，

可得

解得a2＝2，故a＝，

所以双曲线C2的离心率e＝＝.

(2)由于抛物线C：y2＝2px(p>0)过点(1，－2)，

则有4＝2p，解得p＝2，

设直线l的倾斜角为α∈，

根据焦半径公式，

可得|AF|＝，|BF|＝，

由于以QF为直径的圆经过点B，则有BQ⊥BF，在Rt△QBF中，|BF|＝2cos α，

则有|BF|＝＝2cos α，

即1－cos2α＝cos α，

所以|AF|－|BF|＝－＝＝＝4，故选D.

类型二　优化运算之二级结论的应用

圆锥曲线中有很多的二级结论，应用这些结论能够迅速、准确地解题.

应用1　椭圆中二级结论的应用

例4 (1)A，B是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，M是椭圆上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为－，则椭圆C的离心率为(　　)

A.  B. 

C.  D.

(2)已知椭圆方程为＋y2＝1，右焦点为F，上顶点为B.直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P.若MP∥BF，则直线l方程为________.

答案　(1)D　(2)x－y＋＝0

解析　(1)椭圆上不同于A，B的任意一点与左、右顶点的斜率之积为－，

∴－＝－，

∴＝，∴椭圆的离心率e＝＝＝.

(2)设点M(x0，y0)为椭圆＋y2＝1上一点.

由过点M与椭圆相切的结论，可设l：＋y0y＝1，

在直线MN的方程中，

令x＝0，可得y＝，

由题意可知y0>0，即点N.

直线BF的斜率为kBF＝－＝－，

所以，直线PN的方程为y＝2x＋.

在直线PN的方程中，

令y＝0，可得x＝－，

即点P.

因为MP∥BF，则kMP＝kBF，

即＝＝－，

整理可得(x0＋5y0)2＝0，

所以x0＝－5y0.

又因为＋y＝1，所以6y＝1.

因为y0>0，故y0＝，x0＝－，

所以直线l的方程为－x＋y＝1，即x－y＋＝0.

训练2 (1)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)

A.＋＝1  B.＋＝1

C.＋＝1  D.＋＝1

(2)(2022·金华模拟)已知P是椭圆＋＝1(a>b>0)上一动点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，当∠F1PF2＝时，S△F1PF2＝4；当线段PF1的中点落到y轴上时，tan∠F1PF2＝，则椭圆的标准方程为(　　)

A.＋＝1  B.＋＝1

C.＋＝1  D.＋＝1

答案　(1)D　(2)A

解析　(1)由题意知c＝3，即a2－b2＝9，

AB的中点记为P(1，－1)，

由kAB·kOP＝－，

则(－1)×＝－，

∴a2＝2b2，又a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9，

∴E的方程为＋＝1.

(2)设|PF1|＝m，|PF2|＝n，

当∠F1PF2＝时，由题意知S△F1PF2＝b2tan，

 即4＝b2tan，所以b2＝12.

当线段PF1的中点落到y轴上时，又O为F1F2的中点，

所以PF2∥y轴，即PF2⊥x轴.

由tan∠F1PF2＝，得＝，

即n＝，

则m＝c，且n＝＝.

所以联立解得

所以椭圆标准方程为＋＝1.

应用2　双曲线中二级结论的应用

例5 (1)已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为M(－12，－15)，则E的方程为(　　)

A.－＝1  B.－＝1

C.－＝1  D.－＝1

(2)已知P(1，1)是双曲线外一点，过P引双曲线x2－＝1的两条切线PA，PB，A，B为切点，求直线AB的方程为________.

答案　(1)B　(2)2x－y－2＝0

解析　(1)由题意可知kAB＝＝1，kMO＝＝，

由双曲线中点弦性质得kMO·kAB＝，

即＝，又9＝a2＋b2，

联立解得a2＝4，b2＝5，

故双曲线的方程为－＝1.

(2)设切点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则PA：x1x－＝1，PB：x2x－＝1，

又点P(1，1)代入得x1－y1＝1，x2－y2＝1，

∴点A(x1，y1)，B(x2，y2)均在直线x－y＝1上，

∴过直线AB的方程为x－y＝1，

即2x－y－2＝0.

训练3 (1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，实轴的两个端点为A，B，点P为双曲线上不同于顶点的任一点，则直线PA与PB的斜率之积为________.

(2)已知P是椭圆＋＝1(a1>b1>0)和双曲线－＝1(a2>0，b2>0)的一个交点，F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，e1，e2分别为椭圆和双曲线的离心率，若∠F1PF2＝，则e1·e2的最小值为________.

答案　(1)3　(2)

解析　(1)由题意知＝2，即＝4，

∴c2＝4a2，∴a2＋b2＝4a2，

∴b2＝3a2，∴kPA·kPB＝＝3.

(2)因为点P为椭圆和双曲线的公共点，F1，F2是两曲线的公共焦点，则由焦点三角形的面积公式得S△PF1F2＝btan＝，化简得b＝3b，即a－c2＝3(c2－a)，等式两边同除c2，得－1＝3－，

所以4＝＋≥，解得e1·e2≥，

所以e1·e2的最小值为.

应用3　抛物线中二级结论的应用

例6 (1)(2022·泰州调研)已知F是抛物线C：y2＝4x焦点，过点F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)

A.16  B.14 

C.12  D.10

(2)已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点(点A在第一象限)，若＝4，则△AOB的面积为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　(1)A　(2)B

解析　(1)如图，设直线l1的倾斜角为θ，θ∈，

则直线l2的倾斜角为＋θ，

由抛物线的焦点弦弦长公式知

|AB|＝＝，|DE|＝＝，

∴|AB|＋|DE|＝＋

＝≥＝16，

当且仅当sin2θ＝cos2θ，即sin θ＝cos θ，

即θ＝时取“＝”.

(2)由题意知＝3，设l的倾斜角为θ，则|AF|＝，|BF|＝，

∴＝3，cos θ＝，sin θ＝，

S＝＝＝.

训练4 (1)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为2，则|AB|＝(　　)

A.24  B.8 

C.12  D.16

(2)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M，N两点，且|MF|＝2|NF|，则直线l的斜率为(　　)

A.±  B.±2 

C.±  D.±

答案　(1)A　(2)B

解析　(1)由题意知p＝2，S△AOB＝＝2，

∴sin θ＝，

∴|AB|＝＝24.

(2)由抛物线的焦点弦的性质知＋＝＝1，

又|MF|＝2|NF|，

解得|NF|＝，|MF|＝3，∴|MN|＝，

设直线l的倾斜角为θ，∴k＝tan θ，

又|MN|＝，∴＝，

∴sin2θ＝，∴cos2θ＝，

∴tan2θ＝8，∴tan θ＝±2，

故k＝±2.

一、基本技能练

1.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　D

解析　抛物线C：y2＝3x中，2p＝3，p＝，故S△OAB＝＝＝.

2.已知椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1的斜率的取值范围是(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　B

解析　由周角定理得kPA1·kPA2＝－＝－，

又kPA2∈[－2，－1]，

∴kPA1＝∈.

3.已知斜率为k(k>0)的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，O为坐标原点，M是线段AB的中点，F是C的焦点，△OFM的面积等于3，则k＝(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　B

解析　设AB的中点M(x0，y0)，由中点弦的性质得k＝(y0≠0).

由抛物线方程知p＝2，所以k＝，

另焦点F(1，0)，

又S△OFM＝3，可知×1×y0＝3，

所以y0＝6，再代入k＝＝.

4.椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是(　　)

A.3  B. 

C.2  D.

答案　D

解析　设椭圆＋＝1上的点P(4cos θ，2sin θ)，

则点P到直线x＋2y－＝0的距离为

d＝

＝，

所以dmax＝＝，故选D.

5.已知点A(0，－)，B(2，0)，点P为函数y＝2图象上的一点，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　)

A.1＋2  B.7

C.3  D.不存在

答案　B

解析　由y＝2，得－x2＝1(y＞0).

设点A′(0，)，即点A′(0，)，A(0，－)为双曲线－x2＝1的上、下焦点.

由双曲线的定义得|PA|－|PA′|＝4，

则|PA|＋|PB|＝4＋|PA′|＋|PB|

≥4＋|BA′|＝7，当且仅当B，P，A′共线时取等号，故选B.

6.(2022·丽水调研)已知椭圆Г：＋＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与Г相交于A，B两点，且＝3，则k＝(　　)

A.1  B.2 

C.  D.

答案　D

解析　依题意a＝2b，e＝＝，

因为＝3，

所以λ＝3，设直线的倾斜角为α，则e＝

得＝，|cos α|＝，

又k>0，∴α∈，

得cos α＝，所以k＝tan α＝.

7.抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|＝8，则抛物线的方程为________.

答案　y2＝2x

解析　∵|AB|＝＝＝8p＝8，

∴p＝1，∴抛物线的方程为y2＝2x.

8.已知点P为椭圆：＋y2＝1内一定点，经过点P引一条弦，使此弦被点P平分，则此弦所在的直线方程为________.

答案　2x＋4y－3＝0

解析　直线与椭圆交于A，B，P为AB中点.

由kAB·kOP＝－得kAB×1＝－，

即kAB＝－，

则直线方程为y－＝－，

即2x＋4y－3＝0.

9.(2022·南京模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为2a2，则双曲线的离心率为________.

答案　

解析　如图.设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′，

因为以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F(c，0)，

所以S△AF′F＝S△ABF＝2a2且∠F′AF＝∠θ＝，

根据双曲线焦点三角形面积公式，得S△AF′F＝.

所以2a2＝b2，即＝2，

e＝＝.

10.(2022·武汉调研)已知双曲线C1：－＝1(a1>0，b1>0)与C2：－＝1(a2>0，b2>0)有相同的渐近线，若C1的离心率为2，则C2的离心率为________.

答案　

解析　设双曲线C1，C2的半焦距分别为c1，c2，

因为C1的离心率为2，

所以C1的渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x＝±x，

所以C2的渐近线方程为

y＝±x＝±x，

所以＝，

所以C2的离心率为＝＝.

11.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，直线l：y＝kx＋a，直线l与椭圆C交于M，N两点，与y轴交于点P，O为坐标原点.

(1)若k＝1，且N为线段MP的中点，求椭圆C的离心率；

(2)若椭圆长轴的一个端点为Q(2，0)，直线QM，QN与y轴分别交于A，B两点，当·＝1时，求椭圆C的方程.

解　(1)由题意知直线l：y＝x＋a与x轴交于点(－a，0)，

∴点M为椭圆C的左顶点，即M(－a，0).

设N，

代入椭圆C：＋＝1得＋＝1，

即＝，

则e2＝＝1－＝，∴e＝，

即椭圆C的离心率e＝.

(2)由题意得a＝2，

∴椭圆C：b2x2＋4y2＝4b2(b>0)，

联立

消去y得(4k2＋b2)x2＋16kx＋16－4b2＝0，

∵直线QM：y＝(x－2)，

∴A，＝.

∵yM＝kxM＋2，

∴yM－2＝kxM，

即＝，

同理＝，

∴·＝＝4－b2＝1，

即b2＝3，

∴椭圆C的标准方程为＋＝1.

12.在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2.记M的轨迹为C.

(1)求C的方程；

(2)设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

解　(1)因为|MF1|－|MF2|＝2<|F1F2|＝2，

所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支.

设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，半焦距为c，则2a＝2，c＝，

得a＝1，b2＝c2－a2＝16，

所以点M的轨迹C的方程为x2－＝1(x≥1).

(2)设T，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为零，设直线AB的方程为y－t＝k1(k1≠0)，直线PQ的方程为y－t＝k2(k2≠0)，

由

得(16－k)x2－2k1x－－16＝0.

设A(xA，yA)，B(xB，yB)，

由题意知16－k≠0，

则xAxB＝，

xA＋xB＝，

所以|TA|＝＝，

|TB|＝＝，

则|TA|·|TB|＝(1＋k)

＝(1＋k)

＝(1＋k)＝.

同理得|TP|·|TQ|＝.

因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，

所以＝，

所以k－16＋kk－16k＝k－16＋kk－16k，

即k＝k，

又k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0.

故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.

二、创新拓展练

13.(2022·广东四校联考)倾斜角为的直线经过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F，与双曲线C的右支交于A，B两点，且＝λ(λ≥5)，则双曲线C的离心率的范围是(　　)

A.  B.

C.(1，2)  D.

答案　D

解析　tan >⇒<⇒b2<3a2⇒c2－a2<3a2⇒c2<4a2，∴<4，即e<2；|ecos θ|＝⇒＝＝＝1－∈，即≤<1，故≤e<2.

14.(多选)(2022·海南调研)已知斜率为的直线l经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线C交于点A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AB|＝8，则以下结论正确的是(　　)

A.＋＝1  B.|AF|＝6

C.|BD|＝2|BF|  D.F为AD中点

答案　BCD

解析　法一　如图，过点B作x＝－的垂线，垂足为B′，F，

直线l的斜率为，

则直线l的方程为y＝，

联立

得12x2－20px＋3p2＝0.

解得xA＝，xB＝，

由|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝＝8，得p＝3.

所以抛物线方程为y2＝6x.

则|AF|＝xA＋＝2p＝6，故B正确；

所以|BF|＝8－|AF|＝2，

|BD|＝＝＝4，

∴|BD|＝2|BF|，故C正确；

所以|AF|＝|DF|＝6，则F为AD中点，故D正确；

而＋＝，故A错误.

法二　设直线AB的倾斜角为θ，

利用抛物线的焦点弦的性质，由|AB|＝＝8，则p＝3，

|AF|＝＝6，|BF|＝＝2，

＋＝＝，

在Rt△DBB′中，cos θ＝，所以|BD|＝4，|DF|＝|BF|＋|BD|＝6，因此F为AD中点.

故选BCD.

15.已知A，B是抛物线y2＝4x上的两点，F是焦点，直线AF，BF的倾斜角互补，记AF，AB的斜率分别为k1，k2，则－＝________.

答案　1

解析　F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

根据抛物线的对称性，且两直线的倾斜角互补，

所以(x2，－y2)在直线AF上，

直线AF：y＝k1(x－1)，代入y2＝4x，

化简可得kx2－(2k＋4)x＋k＝0，

根据韦达定理，可得

又k2＝＝＝，

所以k＝＝＝，

故－＝1.

16.已知P是圆C：(x－2)2＋(y＋2)2＝1上一动点，过点P作抛物线x2＝8y的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB斜率的最大值为________.

答案　

解析　由题意可知，PA，PB的斜率都存在，分别设为k1，k2，切点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

设P(m，n)，过点P的抛物线的切线为

y＝k(x－m)＋n，

联立

得x2－8kx＋8km－8n＝0，

因为Δ＝64k2－32km＋32n＝0，

即2k2－km＋n＝0，

所以k1＋k2＝，k1k2＝，

又由x2＝8y得y′＝，

所以x1＝4k1，y1＝＝2k，

x2＝4k2，y2＝＝2k，

所以kAB＝＝＝＝，

因为点P(m，n)满足(x－2)2＋(y＋2)2＝1，

所以1≤m≤3，因此≤≤，

即直线AB斜率的最大值为.

17.已知点A为圆B：(x＋2)2＋y2＝32上任意一点，定点C的坐标为(2，0)，线段AC的垂直平分线交AB于点M.

(1)求点M的轨迹方程；

(2)若动直线l与圆O：x2＋y2＝相切，且与点M的轨迹交于点E，F，求证：以EF为直径的圆恒过坐标原点.

(1)解　圆B的圆心为B(－2，0)，半径r＝4，|BC|＝4.

连接MC，由已知得|MC|＝|MA|，

∵|MB|＋|MC|＝|MB|＋|MA|＝|BA|＝r＝4>|BC|，

∴由椭圆的定义知：点M的轨迹是中心在原点，以B，C为焦点，长轴长为4的椭圆，

即a＝2，c＝2，b2＝a2－c2＝4，

∴点M的轨迹方程为＋＝1.

(2)证明　当直线EF的斜率不存在时，

直线EF的方程为x＝±，

E，F的坐标分别为，或，，

·＝0.

当直线EF斜率存在时，设直线EF的方程为y＝kx＋m，

∵EF与圆O：x2＋y2＝相切，

∴＝，即3m2＝8k2＋8.

设E(x1，y1)，F(x2，y2)，

∴·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，(*)

联立

消去y得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，

∴x1＋x2＝－，

x1x2＝，

代入(*)式得·＝(1＋k2)·－＋m2＝，

又∵3m2＝8k2＋8，

∴·＝0，

综上，以EF为直径的圆恒过定点O.