2023高考数学二轮专题 微专题30 基本初等函数、函数与方程

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微专题30　基本初等函数、函数与方程高考定位　1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型；2.函数零点的个数判断及参数范围是高考热点，常以压轴题的形式出现.1.(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(　　)A.a＞0＞b  B.a＞b＞0C.b＞a＞0  D.b＞0＞a答案　A解析　因为9m＝10，所以m＝log910，所以a＝10m－11＝10log910 －11＝10log910 －10log1011 .因为log910－log1011＝－＝＞＝＞0，所以a＞0.b＝8log910 －9＝8log910 －8log89 ，因为log910－log89＝－＝＜＝＜0，所以b＜0.综上，a＞0＞b.故选A.2.(2019·浙江卷)设a，b∈R，函数f(x)＝若函数y＝f(x)－ax－b恰有3个零点，则(　　)A.a<－1，b<0  B.a<－1，b>0C.a>－1，b<0  D.a>－1，b>0答案　C解析　由题意可得，当x≥0时，f(x)－ax－b＝x3－(a＋1)x2－b.令f(x)－ax－b＝0，则b＝x3－(a＋1)x2＝x2[2x－3(a＋1)].因为对任意的x∈R，f(x)－ax－b＝0有3个不同的实数根，所以要使其满足条件，则当x≥0时，b＝x2[2x－3(a＋1)]必须有2个实根，所以>0，解得a>－1.所以b<0.故选C.3.(2021·天津卷)设a∈R，函数f(x)＝若f(x)在区间(0，＋∞)内恰有6个零点，则a的取值范围是(　　)A.∪  B.∪C.∪  D.∪答案　A解析　因为x2－2(a＋1)x＋a2＋5＝0最多有2个根，所以cos (2πx－2πa)＝0至少有4个根.由2πx－2πa＝＋kπ，k∈Z可得x＝＋＋a，k∈Z.由0＜＋＋a＜a，可得－2a－＜k＜－.①当x＜a时，当－5≤－2a－＜－4时，f(x)有4个零点，即＜a≤；当－6≤－2a－＜－5时，f(x)有5个零点，即＜a≤；当－7≤－2a－＜－6时，f(x)有6个零点，即＜a≤；②当x≥a时，f(x)＝x2－2(a＋1)x＋a2＋5，Δ＝4(a＋1)2－4(a2＋5)＝8(a－2)，当a＜2时，Δ＜0，f(x)无零点；当a＝2时，Δ＝0，f(x)有1个零点x＝3；当a＞2时，令f(a)＝a2－2a(a＋1)＋a2＋5＝－2a＋5≥0，则2＜a≤，此时f(x)有2个零点；所以当a＞时，f(x)有1个零点.综上，要使f(x)在区间(0，＋∞)内恰有6个零点，则应满足或或则可解得a的取值范围是∪.4.(2021·北京卷)已知f(x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论：①若k＝0，则f(x)有两个零点；②∃k<0，使得f(x)有一个零点；③∃k<0，使得f(x)有三个零点；④∃k>0，使得f(x)有三个零点.以上正确结论的序号是________.答案　①②④解析　令f(x)＝|lg x|－kx－2＝0，可转化成两个函数y1＝|lg x|，y2＝kx＋2的图象的交点个数问题.对于①，当k＝0时，y2＝2与y1＝|lg x|的图象有两个交点，①正确；对于②，存在k<0，使y2＝kx＋2与y1＝|lg x|的图象相切，②正确；对于③，若k<0，则y1＝|lg x|与y2＝kx＋2的图象最多有2个交点，③错误；对于④，当k>0时，过点(0，2)存在函数g(x)＝lg x(x>1)图象的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故④正确.热点一　基本初等函数的图象与性质1.指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0＜a＜1，a＞1两种情况，着重关注两个函数图象的异同.2.幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1，2，3，，－1五种情况.例1 (1)(2022·青岛二模)已知函数f(x)＝ax＋b的图象如图所示，则函数y＝loga(|x|＋b)的图象可以是(　　)(2)(2022·临汾二模)若xlog34＝1，则4x－4－x＝(　　)A.  B.  C.  D.答案　(1)D　(2)B解析　(1)由函数f(x)＝ax＋b的图象可知，0＜a＜1，－1＜b＜0，函数y＝f(x)＝loga(|x|＋b)的定义域为(－∞，b)∪(－b，＋∞)，且f(－x)＝loga(|－x|＋b)＝loga(|x|＋b)＝f(x)，即函数y＝loga(|x|＋b)为偶函数，又函数y＝loga(|x|＋b)＝所以y＝loga(|x|＋b)在(－b，＋∞)上单调递减.故选D.(2)∵xlog34＝1，∴x＝＝log43，∴4x－4－x＝4log43－4－log43＝3－＝.故选B.规律方法　1.指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决指数函数、对数函数问题时，首先要看底数a的取值范围.2.基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化.训练1 (1)(2022·南通调研)设a＝20.3，b＝log0.32，c＝0.32，则三者的大小顺序是(　　)A.a＞b＞c  B.a＞c＞bC.c＞b＞a  D.b＞a＞c(2)若2x－2y<3－x－3－y，则(　　)A.ln(y－x＋1)>0  B.ln(y－x＋1)<0C.ln|x－y|>0  D.ln|x－y|<0答案　(1)B　(2)A解析　(1)因为a＝20.3＞1，b＝log0.32＜0，c＝0.32∈(0，1)，所以a＞c＞b，故选B.(2)设函数f(x)＝2x－3－x.因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增，所以f(x)在R上单调递增.原已知条件等价于2x－3－x<2y－3－y，即f(x)<f(y)，所以x<y，即y－x>0，y－x＋1>1，所以A正确，B不正确.因为|x－y|与1的大小不能确定，所以C，D不正确.热点二　函数的零点判断函数零点个数的方法：(1)利用零点存在定理判断.(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根.(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性.考向1　函数零点的判断例2 已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(1－x)－1的零点个数为(　　)A.1  B.2  C.3  D.4答案　C解析　由g(x)＝0可得f(1－x)＝1.当x≤0时，x2＋2x＝1⇒x＝－1－，或x＝－1＋(舍去)，当x＞0时，|lg x|＝1⇒x＝10或x＝.故1－x＝－1－⇒x＝2＋是g(x)的零点，1－x＝10⇒x＝－9是g(x)的零点，1－x＝⇒x＝是g(x)的零点.综上所述，g(x)共有3个零点.故选C.考向2　求参数的值或范围例3 (多选)设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数b可取的值可能是(　　)A.0  B.  C.  D.1答案　BCD解析　函数g(x)＝f(x)－b有三个零点等价于函数y＝f(x)的图象与函数y＝b的图象有三个不同的交点，当x≤0时，f(x)＝(x＋1)ex，则f′(x)＝ex＋(x＋1)ex＝(x＋2)ex，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，0]上单调递增，且f(－2)＝－，f(0)＝1，f(x)＝0，从而可得f(x)的图象如图所示，通过图象可知，若函数y＝f(x)的图象与函数y＝b的图象有三个不同的交点，则b∈(0，1].考向3　零点的代数式问题例4 (2022·浙江五校联考)设函数f(x)＝关于x的方程f(x)＝t有四个实根x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)，则x1＋x2＋x3＋x4的最小值为________.答案　10解析　作出函数f(x)的大致图象如图所示.由图可知x1＋x2＝4，由|log2(x－4)|＝f(2)＝4，得x＝或20，则5<x4<20.又因为log2(x3－4)＋log2(x4－4)＝0，所以(x3－4)(x4－4)＝1，所以x3＝＋4，则x3＋x4＝(x4－4)＋＋5，又x4－4∈(1，16)，所以x3＋x4≥2＋5＝6，当且仅当(x4－4)＝，即x4＝6时等号成立.故x1＋x2＋x3＋x4的最小值为10.规律方法　利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法训练2 (1)函数f(x)＝ex＋x3－9的零点所在的区间为(　　)A.(0，1)  B.(1，2)  C.(2，3)  D.(3，4)(2)(2022·湖州质检)已知函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)＋f(x)＋t＝0有三个不同的实根，则t的取值范围是(　　)A.(－∞，－2]   B.[1，＋∞)C.[－2，1]   D.(－∞，－2]∪[1，＋∞)(3)(2022·成都诊断)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)有三个不同的零点x1，x2，x3.则x1x2x3的值为________.答案　(1)B　(2)A　(3)0或－解析　(1)由y＝ex为增函数，y＝x3为增函数，可知f(x)＝ex＋x3－9为增函数，由f(1)＝e－8＜0，f(2)＝e2－1＞0，根据零点存在定理可得∃x0∈(1，2)使得f(x0)＝0，故选B.(2)设m＝f(x)，作出函数f(x)的图象如图，则当m≥1时，m＝f(x)有两个根，当m<1时，m＝f(x)有1个根，若关于x的方程f2(x)＋f(x)＋t＝0有三个不同的实根，则m2＋m＋t＝0有2个不同的实根，且m≥1或m<1，若m＝1时，t＝－2，此时由m2＋m－2＝0得m＝1或m＝－2，满足f(x)＝1有两个根，f(x)＝－2有1个根，满足条件；当m≠1时，设h(m)＝m2＋m＋t，则h(1)<0，即1＋1＋t<0，则t<－2.综上，t≤－2，故选A.(3)f(x)的图象如下：其中f＝，若函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)有三个不同的零点x1，x2，x3.则m＝0或m＝.当m＝0时，三个零点为－，0，1，故x1x2x3＝0，当m＝时，小于0的零点为－，大于0的两个零点之积为1，所以x1x2x3＝－.热点三　函数模型及其应用应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键：(1)一般程序：⇒⇒⇒(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地写出相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.例5 (1)牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：θ－θ0＝(θ1－θ0)e－kt，其中t为时间(单位：min)，θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度，假设在室内温度为20 ℃的情况下，一杯开水由100 ℃降低到60 ℃需要10 min，则k的值约为(　　)(结果精确到0.001，参考数据：e2≈7.389，ln 2≈0.693)A.0.035  B.0.069  C.0.369  D.0.740(2)(2022·天津模拟)一种药在病人血液中的量不少于1 500 mg才有效，而低于500 mg病人就有危险.现给某病人注射了这种药2 500 mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过________小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，结果精确到0.1 h)(　　)A.2.3小时  B.3.5小时C.5.6小时  D.8.8小时答案　(1)B　(2)A解析　(1)由题意可知θ0＝20 ℃，θ1＝100 ℃，θ＝60 ℃，t＝10 min，则有60－20＝(100－20)e－10k，所以e－10k＝，两边取自然对数，得ln e－10k＝ln，即－10k＝－ln 2，所以k＝≈0.069.故选B.(2)设应在病人注射这种药x小时后再向病人的血液补充这种药，则500≤2 500×(1－20%)x≤1 500，整理可得0.2≤0.8x≤0.6，两边取对数，得log0.80.6≤x≤log0.80.2，∵log0.80.6＝＝＝≈2.3，log0.80.2＝＝≈7.2，∴2.3≤x≤7.2，即应在用药2.3小时后再向病人的血液补充这种药.故选A.规律方法　1.构建函数模型解决实际问题的失分点(1)不能选择相应变量得到函数模型.(2)构建的函数模型有误.(3)忽视函数模型中变量的实际意义.2.解决新概念信息题的关键(1)仔细审题，明确问题的实际背景，依据新概念进行分析.(2)有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们所熟知的问题.训练3 (1)体育运动是增强体质的最积极有效的方法，经常进行体育运动能增强身体机能，提高抗病能力.对于14～18岁的青少年，每天进行中等强度的运动有助于提高睡眠质量，使第二天精神充足，学习效率更高.是否达到中等强度运动，简单测量方法为f(t)＝a·et，其中t为运动后心率(单位：次/分)与正常时心率的比值，a为每个个体的体质健康系数.若f(t)介于25～28之间，则达到了中等强度运动；若低于25，则运动不足；若高于28，则运动过量.已知某同学正常时心率为78，体质健康系数a＝5，他经过慢跑后心率y(单位：次/分)满足y＝78·，x为慢跑里程(单位：米).已知学校运动场每圈400米，若该同学要达到中等强度运动，则较合适的慢跑圈数为(　　)(e为自然对数的底数，e≈2.718)A.3  B.4  C.5  D.6(2)已知海面上的大气压强是760 mmHg，大气压强p(单位：mmHg)和高度h(单位：m)之间的关系为p＝760e－hk(e是自然对数的底数，k是常数)，根据实验知1 000 m高空处的大气压强是645 mmHg，则3 000 m高空处的大气压强约为(　　)参考数据：≈0.72，≈0.61.A.322.5 mmHg  B.463.6 mmHgC.215.0 mmHg  D.146.0 mmHg答案　(1)B　(2)B解析　(1)由题意设跑了k(k∈N*)圈，则x＝400k，t＝＝ln＋1＝ln(e)，则f(t)＝5·et＝5·eln　(e )＝5e∈(25，28)，则k＝4，故选B.(2)依题意，645＝760e－1 000k，则k＝－ln＝－ln ，故当h＝3 000时，p＝760e－3 000×＝760×≈760×0.61＝463.6.故选B.一、基本技能练1.(2022·徐州模拟)已知a＝log6，b＝log7，c＝60.1，则(　　)A.b<c<a  B.b<a<cC.c<a<b  D.a<b<c答案　B解析　因为a＝log6＝log67>log66＝，log6<log66＝1，所以<a<1.因为b＝log7＝log76<log77＝，即b<.因为c＝60.1>60＝1，c>1.所以b<a<c.2.(2022·合肥二模)函数f(x)＝ex＋4－e－x(e是自然对数的底数)的图象关于(　　)A.直线x＝－e对称  B.点(－e，0)对称C.直线x＝－2对称  D.点(－2，0)对称答案　D解析　由题意f(－2e－x)＝e－x－2e＋4－e－(－2e－x)＝e－x－2e＋4－e2e＋x，它与f(x)之间没有恒等关系，相加也不为0，A，B均错；而f(－4－x)＝e－4－x＋4－e－(－4－x)＝e－x－e4＋x＝－f(x)，所以f(x)的图象关于点(－2，0)对称.故选D.3.已知x0是函数f(x)＝＋log2(x＋1)－4的零点，则(x0－1)(x0－2)(x0－3)(x0－4)的值(　　)A.为正数  B.为负数C.等于0  D.无法确定正负答案　B解析　由题可知f(x)在[0，＋∞)上单调递增(增函数＋增函数＝增函数)，且f(3)＝＋log24－4<0，f(4)＝2＋log25－4>0，则x0∈(3，4)，所以(x0－1)>0，(x0－2)>0，(x0－3)>0，(x0－4)<0，所以(x0－1)(x0－2)(x0－3)(x0－4)<0.4.(2022·泰安模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋2)＝f(－x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数y＝f(x)－x3的零点个数是(　　)A.2  B.3  C.4  D.5答案　B解析　由f(x＋2)＝f(－x)可得f(x)关于x＝1对称，由函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)＝－f(x＋2)＝－[－f(x＋2＋2)]＝f(x＋4)，所以f(x)的周期为4，函数y＝f(x)－x3的零点，即y＝f(x)－x3＝0的解，即函数y＝f(x)和y＝x3的图象交点，根据f(x)的性质可得如图所示的图象，结合y＝x3的图象，由图象可得共有3个交点，即共有3个零点，故选B.5.若正实数a，b，c满足a＋2－a＝2，b＋3b＝3，c＋log4c＝4，则正实数a，b，c之间的大小关系为(　　)A.b＜a＜c  B.a＜b＜cC.a＜c＜b  D.b＜c＜a答案　A解析　∵y＝2－x与y＝2－x的图象在(0，＋∞)只有一个交点，∴x＋2－x－2＝0在(0，＋∞)只有一个根，设为a.令f(x)＝x＋2－x－2，∵f(2)＝2＋2－2－2＝＞0，f(1)＝1＋2－1－2＝－＜0，f(1)f(2)＜0，∴1＜a＜2.同理可得<b<1，3<c<4，∴b＜a＜c.故选A.6.教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，同时送进室外的新鲜空气.按照某地标准，室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度为0.1%.经测定，刚下课时，某教室空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%，且y随时间t(单位：分钟)的变化规律可以用函数y＝0.05＋λe－(λ∈R)描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到当地标准至少需要的时间为(　　)(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1)A.7分钟  B.9分钟C.14分钟  D.11分钟答案　D解析　由题意知，当t＝0时，y＝0.2，即0.05＋λe0＝0.2，解得λ＝0.15，∴y＝0.05＋0.15e－，令0.05＋0.15e－≤0.1，解得e－≤，∴－≤－ln 3，∴t≥10ln 3≈11，故选D.7.(2022·张家口模拟)已知当x∈(0，＋∞)时，函数f(x)＝kex的图象与函数g(x)＝的图象有且只有两个交点，则实数k的取值范围是(　　)A.  B.C.  D.答案　A解析　由题设，当x∈(0，＋∞)时，k＝，令h(x)＝，则h′(x)＝－，所以当0＜x＜时，h′(x)＞0，则h(x)单调递增，当x＞时，h′(x)＜0，则h(x)单调递减.又h(x)＞0，且h(x)≤h＝，所以当0＜k＜时，y＝k与h(x)的图象有两个交点.故选A.8.(多选)(2022·重庆诊断)在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝loga(x－2)的图象可能是(　　)答案　BD解析　当a＞1时，y＝ax在(－∞，＋∞)单调递增且其图象恒过点(0，1)，y＝loga(x－2)在(2，＋∞)单调递增且其图象恒过点(3，0)，则选项B符合要求；当0＜a＜1时，y＝ax在(－∞，＋∞)单调递减且其图象恒过点(0，1)，y＝loga(x－2)在(2，＋∞)单调递减且其图象恒过点(3，0)，则选项D符合要求；综上所述，选项B，D符合要求.9.(多选)(2022·济南二模)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　)A.f(x)为奇函数 B.f(x)为减函数C.f(x)有且只有一个零点 D.f(x)的值域为[－1，1)答案　AC解析　由题意得f(－x)＝＝＝－f(x)，故f(x)为奇函数，又∵f(x)＝＝1－，∴f(x)在R上单调递增，∵2x＞0，∴2x＋1＞1，∴0＜＜2，∴－2＜－＜0，∴－1＜f(x)＜1，即函数值域为(－1，1)，令f(x)＝＝0，即2x＝1，解得x＝0，故函数有且只有一个零点0.综上可知，AC正确，BD错误.故选AC.10.(多选)已知函数f(x)＝(m∈R，e为自然对数的底数)，则下列说法正确的是(　　)A.函数f(x)至多有2个零点B.函数f(x)至少有1个零点C.当m＜－3时，对∀x1≠x2，总有＜0成立D.当m＝0时，方程f[f(x)]＝0有3个不同实数根答案　ABC解析　作出函数y＝ex－1和y＝－x2－4x－4的图象如图所示，当m＞0时，函数f(x)只有1个零点；当－2＜m≤0时，函数f(x)有2个零点；当m≤－2时，函数f(x)只有1个零点，故选项A，B正确；当m＜－3时，函数f(x)为单调递增函数，故选项C正确；当m＝0时，令t＝f(x)，则f(t)＝0，t1＝－2，t2＝0，当f(x)＝t1＝－2时，该方程有两个解；当f(x)＝t2＝0时，该方程有两个解，所以方程f[f(x)]＝0有4个不同实数根，故选项D错误.综上，故选ABC.11.(2022·武汉调研)已知3x＝，y·log33＝1，则x＋y＝________.答案　2－log32解析　因为3x＝，y·log33＝1，所以x＝log3＝1－log32，y＝1，∴x＋y＝2－log32.12.(2022·北京房山区一模)函数f(x)的图象在区间(0，2)上连续不断，能说明“若f(x)在区间(0，2)上存在零点，则f(0)·f(2)＜0”为假命题的一个函数f(x)的解析式可以为f(x)＝________.答案　(x－1)2(答案不唯一)解析　函数f(x)的图象在区间(0，2)上连续不断，且“若f(x)在区间(0，2)上存在零点，则f(0)·f(2)＜0”为假命题，可知函数f(x)满足在(0，2)上存在零点，且f(0)·f(2)≥0，所以满足题意的函数解析式可以为f(x)＝(x－1)2.二、创新拓展练13.(多选)(2022·本溪模拟)已知奇函数f(x)的定义域为R，且在(0，＋∞)上单调递减，若f＝f(－2)＝1，则下列命题中正确的是(　　)A.f(x)有两个零点  B.f(－1)＞－1C.f(－3)＜1  D.f＞f(2)答案　BD解析　根据题意可得函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为减函数且f(0)＝0.由f＝f(－2)＝1可得f＝f(2)＝－1.对于A，由f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f＝1，f(2)＝－1，所以存在x0∈，f(x0)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，同理f(x)在(－∞，0)上有一个零点，又因为f(0)＝0，所以f(x)有三个零点，故A错误；对于B，因为函数f(x)在(－∞，0)上为减函数，所以f(－1)＞f＝－1，故B正确；对于C，因为函数f(x)在(－∞，0)上为减函数，所以f(－3)＞f(－2)＝1，故C错误；对于D，f＝1，f(2)＝－1，所以f＞f(2)，故D正确.故选BD.14.(多选)(2022·苏州八校适考)已知函数f(x)＝esin|x|－|cos x|，则(　　)A.f(x)是周期函数 B.f(x)是偶函数C.f(x)是上的增函数 D.f(x)的最小值为e－1答案　BC解析　因为f(x)＝esin|x|－|cos x|，令g(x)＝|cos x|－sin |x|，则f(x)＝e－g(x)，对于A，因为y＝|cos x|是周期为π的周期函数，y＝sin|x|关于y轴对称，不是周期函数，所以g(x)＝|cos x|－sin |x|不是周期函数，则f(x)＝e－g(x)也不是周期函数，故A错误；对于B，g(x)的定义域为R，且g(－x)＝|cos(－x)|－sin|－x|＝|cos x|－sin |x|＝g(x)，所以g(x)为偶函数，则f(－x)＝e－g(－x)＝e－g(x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，故B正确；对于C，当x∈时，g(x)＝cos x－sin x＝cos，x＋∈，所以g(x)单调递减，则f(x)＝e－g(x)单调递增，故C正确；对于D，当x＝时，g＝－sin ＝＋＝，则f＝e－g＝e－<e－1，故f(x)的最小值不为e－1，故D错误.故选BC.15.(多选)(2022·金丽衢12校联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝，则下列结论正确的是(　　)A.当x<0时，f(x)＝－ex(x＋1)B.函数f(x)在R上有且仅有三个零点C.若关于x的方程f(x)＝m有解，则实数m的取值范围是{m|f(－2)≤m≤f(2)}D.∀x1，x2∈R，|f(x2)－f(x1)|<2答案　BD解析　对于A，设x<0时，则－x>0，则f(－x)＝＝－(x＋1)ex.又由f(x)为奇函数，则f(x)＝－f(－x)＝ex(x＋1)，故A选项错误；对于B，当x>0时，f(x)＝，令f(x)＝0，即x＝1.又由f(x)为奇函数，则f(－1)＝－f(1)＝0，f(0)＝0，即函数f(x)在R上有且仅有三个零点，故B选项正确；对于C，当x>0时，f(x)＝，所以f′(x)＝，在区间(0，2)上，f′(x)>0，函数f(x)为增函数；在区间(2，＋∞)上，f′(x)<0，函数f(x)为减函数，则f(x)在区间(0，＋∞)上有极大值f(2)＝，而x→0，f(x)→－1，则f(x)在区间(0，＋∞)上，有－1<f(x)≤.又由f(x)为奇函数，则f(x)在区间(－∞，0)上，有－≤f(x)<1，综上，f(x)的值域为(－1，1)，若关于x的方程f(x)＝m有解，则实数m的取值范围是－1<m<1，故C选项错误；对于D，由C选项的结论，f(x)的值域为(－1，1)，则∀x1，x2∈R，|f(x2)－f(x1)|<1－(－1)＝2，故D选项正确.综上，故选BD.16.已知函数f(x)＝方程f2(x)＋2f(x)－m＝0(m＞0)有4个不同的实数根，从小到大依次是x1，x2，x3，x4，则下列说法正确的是(　　)A.x1＜－3  B.x1＋x2＜－2C.x3x4＝2  D.m可以取到8答案　B解析　根据函数f(x)＝画出函数的大致图象如图所示.已知方程f2(x)＋2f(x)－m＝0有4个不同的实数根，令t＝f(x)，则t2＋2t－m＝0.因为m＞0，所以Δ＝4＋4m＞0，方程t2＋2t－m＝0有两个不同实根分别为t1，t2，因为t1＋t2＝－2，t1t2＝－m＜0，所以t1，t2一正一负，不妨设t1＜0＜t2.要使已知中关于x的复杂方程有4个不等实根，则关于x的2个简单方程f(x)＝t1与f(x)＝t2总共有4个不等实数根，由f(x)的图象可知，f(x)＝t1只有一个解x1，则f(x)＝t2有三个解x2，x3，x4.所以t2∈(0，1]，因为t1＋t2＝－2，所以m＝－t1t2＝t2(t2＋2)∈(0，3]，D错误；由t1＋t2＝－2，t2∈(0，1]得t1∈[－3，－2)，则－3≤2－＜－2，解得－log25≤x1＜－2，A错误；由图可知，－1＜x2≤0，所以x1＋x2＜－2，B正确；因为x3，x4是f(x)＝t2的两个解，所以有log2x4＝－log2x3，所以x3x4＝1，C错误.故选B.17.(2022·长沙二模)已知函数f(x)＝＋k(x－4)有2个不同的零点，则k的取值范围是________.答案　解析　因为函数f(x)＝＋k(x－4)有2个不同的零点，所以关于x的方程＝－k(x－4)在区间[－2，2]内有两个不等的实根，即曲线y＝(圆x2＋y2＝4的上半部分)与经过定点P(4，0)的直线y＝－k(x－4)有两个不同的交点，如图.过P(4，0)作圆x2＋y2＝4的切线PA，则点O到切线PA的距离d＝＝2，解得k＝(舍去)或k＝－，所以－<－k≤0，得0≤k<，即k的取值范围是.18.(2022·茂名模拟)已知函数f(x)＝若x1，x2，x3均不相等，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则x1·x2·x3的取值范围是________.答案　(2，3)解析　不妨设x1＜x2＜x3，由图可得，|log2x1|＝|log2x2|＝－x3＋3∈(0，1)，所以log2x1＝－log2x2，即x1x2＝1，由f(x1)＝f(x2)＝f(x3)得，x3∈(2，3)，所以x1x2x3的取值范围是(2，3).