2022-2023学年山东省滨州市邹平实验中学八年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年山东省滨州市邹平实验中学八年级（上）期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省滨州市邹平实验中学八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（3分）下列图形是轴对称图形的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．3a+a＝4a2 B．（﹣2a）3＝﹣8a3
C．（a3）2÷a5＝1 D．3a3•2a2＝6a6
3．（3分）下列变形中，从左到右不是因式分解的是（　　）
A．x2﹣2x＝x（x﹣2） B．x2+2x+1＝（x+1）2
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） D．
4．（3分）下列式子运算结果为x+1的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）如果把分式中的m和n都扩大3倍，那么分式的值（　　）
A．扩大6倍 B．缩小3倍 C．不变 D．扩大3倍
6．（3分）一个正多边形的一个内角是一个外角的3倍，则正多边形的边数为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
7．（3分）若关于x的分式方程无解，则k的值为（　　）
A． B．﹣1 C．1 D．
8．（3分）如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O，连接MN，则①△ACE≌△DCB；②∠AOB＝150°；③DN＝AM；④△CMN是等边三角形．其中，正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3分）如图，某同学在课桌上随意将一块三角板叠放在直尺上，则∠1+∠2等于（　　）

A．60° B．90° C．75° D．105°
10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，则CD等于（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
11．（3分）如图，在等边△ABC中，D为BC边上的中点，以A为圆心，AD为半径画弧，与AC边交点为E，则∠ADE的度数为（　　）

A．60° B．105° C．75° D．15°
12．（3分）如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是（　　）

A．4 B．2 C．1 D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．（4分）当x　 　时，分式有意义；当x　 　时，分式的值为0．
14．（4分）x2+kx+9是完全平方式，则k＝　 　．
15．（4分）等腰三角形腰AB＝10，底边BC＝12，则△ABC的周长为 　 　．
16．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E，F．当EF＝5，BE＝2时，CF的长为 　 　．

17．（4分）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，S△ABC＝18，AB＝8，BC＝4，则DE＝　 　．

18．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝60°，点D在边BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD＝4，则BD＝　 　．

三、解答题（共60分）
19．（6分）因式分解：
（1）x3﹣25x；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；
（3）﹣3a3m+6a2m﹣3am．
20．（7分）化简并求值：
（1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中．
21．（8分）解分式方程：（1）；
（2）．
22．（5分）如图，△ABC中，BE⊥AC于点E，AF是∠AC的平分线，交BE于点F，∠C＝78°，∠CBA＝38°，求∠AFB的度数．

23．（6分）△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．

（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，则△A1B1C1三个顶点坐标分别为A1　 　，B1　 　，C1　 　；并画出△A1B1C1．
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标是 　 　．
24．（9分）某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2018年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.5倍，这样可提前4年完成任务．
（1）实际每年绿化面积为多少万平方米？
（2）为加大创建力度，市政府决定从2021年起加快绿化速度，要求不超过3年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？
25．（9分）如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，点D是BC的中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于点F．
（1）求证：△ACD≌△CBF；
（2）连接DF，求证：AB垂直平分DF；
（3）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．

26．（10分）现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．
研究（1）：如果折成图①的形状，使点A落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是　 　．
研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2与∠A的数量关系是　 　；
研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．


2022-2023学年山东省滨州市邹平实验中学八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（3分）下列图形是轴对称图形的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：这五个图形都是轴对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．3a+a＝4a2 B．（﹣2a）3＝﹣8a3
C．（a3）2÷a5＝1 D．3a3•2a2＝6a6
【分析】根据合并同类项法则、积的乘方法则、同底数幂的除法法则、单项式乘单项式的运算法则计算，判断即可．
【解答】解：A、3a+a＝4a，本选项计算错误，不符合题意；
B、（﹣2a）3＝﹣8a3，本选项计算正确，符合题意；
C、（a3）2÷a5＝a6÷a5＝a，本选项计算错误，不符合题意；
D、3a3•2a2＝6a5，本选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是单项式乘单项式、幂的乘方与积的乘方、合并同类项，掌握它们的运算法则是解题的关键．
3．（3分）下列变形中，从左到右不是因式分解的是（　　）
A．x2﹣2x＝x（x﹣2） B．x2+2x+1＝（x+1）2
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） D．
【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A．原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项不符合题意；
B．原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项不符合题意；
C．原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项不符合题意；
D．原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．
4．（3分）下列式子运算结果为x+1的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据分式的运算法则逐项计算即可．
【解答】解：A.，故不符合题意；
B.，故不符合题意；
C.，故符合题意；
D.，故不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了分式的计算和化简，解决这类题目关键是把握好通分与约分，分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．
5．（3分）如果把分式中的m和n都扩大3倍，那么分式的值（　　）
A．扩大6倍 B．缩小3倍 C．不变 D．扩大3倍
【分析】根据题意得出，再根据分式的基本性质进行化简即可．
【解答】解：，
所以如果把分式中的m和n都扩大3倍，那么分式的值不变，
故选：C．
【点评】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键，注意：分式的基本性质是：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
6．（3分）一个正多边形的一个内角是一个外角的3倍，则正多边形的边数为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】设正多边形的边数为n，利用多边形的内角和公式和外角和定理即可解答．
【解答】解：改为设这个正多边形的一个外角为x°，则180﹣x＝3x，
解得x＝45°，
360÷45＝8，
∴这个正多边形是正八边形，
故选：A．
【点评】本题考查多边形的内角（和）与外角（和），熟记多边形的内角和公式及外角和为360°是解答的关键．
7．（3分）若关于x的分式方程无解，则k的值为（　　）
A． B．﹣1 C．1 D．
【分析】先求增根，再把分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程求出k．
【解答】解：当x﹣5＝0时，x＝5，
方程两边乘以（x﹣5），得
x﹣6+x﹣5＝﹣2k，
2x＝11﹣2k，
把x＝5代入2x＝11﹣2k，
得k＝0.5，
故选：D．
【点评】主要考查了分式方程的解，掌握分式方程无解的计算过程是解题关键．
8．（3分）如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O，连接MN，则①△ACE≌△DCB；②∠AOB＝150°；③DN＝AM；④△CMN是等边三角形．其中，正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】易证△ACE≌△DCB，可得①正确；即可求得∠AOB＝120°，可得③错误；再证明△ACM≌△DCN，可得②④正确和CM＝CN，即可证明⑤正确；即可解题．
【解答】解：∵∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠DCE＝60°，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），①正确；
∴∠BDC＝∠EAC，DB＝AE，
∵△ACE≌△DCB，
∴∠CBD＝∠AEC，
∵∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠DBC，
∴∠AOB＝180°﹣∠AEC﹣∠OAB＝120°，②错误；
在△ACM和△DCN中，
，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴AM＝DN，④正确；
∵△ACM≌△DCN，
∴∠AMC＝∠DNC，②正确；
CM＝CN，
∵∠MCN＝60°，
∴△CMN是等边三角形，④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ACE≌△DCB和△ACM≌△DCN是解题的关键．
9．（3分）如图，某同学在课桌上随意将一块三角板叠放在直尺上，则∠1+∠2等于（　　）

A．60° B．90° C．75° D．105°
【分析】根据题意画出图形，再根据对顶角相等及直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：如图所示：
∵∠1与∠4是对顶角，∠2与∠3是对顶角，
∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，
∴此三角形是直角三角形，
∴∠3+∠4＝90°，即∠1+∠2＝90°．
故选：B．

【点评】本题考查的是直角三角形的性质及对顶角相等的有关知识，熟知三角板的特点及三角形内角和定理是解答此题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，则CD等于（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由于∠C＝90°，∠ABC＝60°，可以得到∠A＝30°，又由BD平分∠ABC，可以推出∠CBD＝∠ABD＝∠A＝30°，BD＝AD＝6，再30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD＝∠A＝30°，
∴BD＝AD＝6，
∴CDBD＝63．
故选：A．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出BD的长和得出CDBD．
11．（3分）如图，在等边△ABC中，D为BC边上的中点，以A为圆心，AD为半径画弧，与AC边交点为E，则∠ADE的度数为（　　）

A．60° B．105° C．75° D．15°
【分析】根据等边三角形三线合一的性质可求出∠DAC＝30°，结合AD等于AE求出∠ADE的度数即可．
【解答】解：在等边△ABC中，D为BC边上的中点，
∴∠DAC＝30°（三线合一），
在△ADE中，AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE（180°﹣30°）＝75°，
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于能够熟练掌握该知识并进行合理运用．
12．（3分）如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是（　　）

A．4 B．2 C．1 D．
【分析】证明△AOE≌△BOF（ASA），得出△AOE的面积＝△BOF的面积，得出四边形AFOE的面积正方形ABCD的面积22＝1即可．
【解答】解：∵四边形ABD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF，
在△AOE和△BOF中，，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴△AOE的面积＝△BOF的面积，
∴四边形AFOE的面积正方形ABCD的面积22＝1；
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．（4分）当x　≠3　时，分式有意义；当x　＝﹣3　时，分式的值为0．
【分析】分别根据分式有意义的条件，分式值为0的条件求解．
【解答】解：当x﹣3≠0，即x≠3时，分式有意义；
当x2﹣9＝0且x﹣3≠0，即x＝﹣3时，分式的值为0，
故答案为：≠3，＝﹣3．
【点评】本题考查了分式的有意义的条件和分式值为0的条件，掌握分式的基本知识是解题的关键．
14．（4分）x2+kx+9是完全平方式，则k＝　±6　．
【分析】这里首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3的积的2倍，故k＝±6．
【解答】解：中间一项为加上或减去x和3的积的2倍，
故k＝±6．
【点评】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
15．（4分）等腰三角形腰AB＝10，底边BC＝12，则△ABC的周长为 　32　．
【分析】根据等腰三角形的性质和周长解答即可．
【解答】解：等腰三角形腰AB＝10，底边BC＝12，则△ABC的周长＝10+10+12＝32，
故答案为：32．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是根据等腰三角形的性质和周长解答．
16．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E，F．当EF＝5，BE＝2时，CF的长为 　3　．

【分析】利用平行和角平分线得到BE＝OE，OF＝CF，可得出结论EF＝BE+CF，由此即可求得CF的长．
【解答】解：如图，∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO；
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴BE＝OE；同理可证CF＝OF，
∴EF＝BE+CF，
∵EF＝5，BE＝2，
∴OF＝EF﹣OE＝EF﹣BE＝3，
∴CF＝OF＝3，
故答案为：3．

【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，结合平行得到BE＝EO，CF＝OF是解题的关键．
17．（4分）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，S△ABC＝18，AB＝8，BC＝4，则DE＝　3　．

【分析】根据角平分线的性质得到DE＝DF，然后根据三角形的面积列方程即可得到结论．
【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∴DE＝DF，
∵S△ABC＝S△ABD+S△BDCAB•DEBC•DF＝18，
即8•DE4•DE＝18，
解得：DE＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
18．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝60°，点D在边BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD＝4，则BD＝　1　．

【分析】过点A作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质得出DE＝ECCD＝2．由含30度角的直角三角形的性质求出BEAB＝3，那么BD＝BE﹣DE＝1．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，

又∵AD＝AC，CD＝4，
∴DE＝ECCD＝2．
在直角△ABE中，
∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAE＝90°﹣∠B＝30°，
∴BEAB6＝3，
∴BD＝BE﹣DE＝3﹣2＝1．
故答案为：1．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线求出BE与DE是解题的关键．
三、解答题（共60分）
19．（6分）因式分解：
（1）x3﹣25x；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；
（3）﹣3a3m+6a2m﹣3am．
【分析】（1）先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因式x﹣y，再利用平方差公式分解因式即可；
（3）先提取公因式﹣3am，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）x3﹣25x
＝x（x2﹣25）
＝x（x+5）（x﹣5）；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）；
（3）﹣3a3m+6a2m﹣3am
＝﹣3am（a2﹣2a+1）
＝﹣3am（a﹣1）2．
【点评】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，熟练的提取公因式，再利用公式法分解因式是解本题的关键．
20．（7分）化简并求值：
（1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【分析】（1）先把分式转化为乘法，再约分即可；
（2）先计算括号内的分式的加减运算，再约分得到化简的结果，再把代入化简后的代数式进行计算即可．
【解答】（1）解：

＝a；
（2）解：


＝﹣2m﹣6；
当时，
原式．
【点评】本题考查的是分式的除法运算，分式的化简求值，掌握“分式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键．
21．（8分）解分式方程：（1）；
（2）．
【分析】（1）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；
（2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：（1），
3﹣x＝2（x﹣3），
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，x（x﹣3）＝0，
∴x＝3是原方程的增根，
∴原方程无解；
（2），
2+3＝2x﹣1，
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，4x﹣2≠0，
∴x＝3是原方程的根．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
22．（5分）如图，△ABC中，BE⊥AC于点E，AF是∠AC的平分线，交BE于点F，∠C＝78°，∠CBA＝38°，求∠AFB的度数．

【分析】先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由角平分线的性质得出∠EAF的度数，根据三角形外角的性质可得出结论．
【解答】解：∵∠C＝78°，∠CBA＝38°，
∴∠CAB＝180°﹣∠C﹣∠CBA＝180°﹣78°﹣38°＝64°．
∵AF是∠CAB的平分线，
∴∠EAF＝∠FAB∠CAB＝32°．
∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AFB＝∠EAF+∠AEF＝32°+90°＝122°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟知三角形内角和是180°是解题的关键．
23．（6分）△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．

（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，则△A1B1C1三个顶点坐标分别为A1　（﹣1，1）　，B1　（﹣4，2）　，C1　（﹣3，4）　；并画出△A1B1C1．
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标是 　（2，0）　．
【分析】（1）先根据关于y轴对称的特点描出A1，B1，C1，再根据其位置写出其坐标，再顺次连接即可；
（2）先确定A（1，1）关于x轴的对称点D（1，﹣1），再连接DB交x轴于P即可；再求解BD的解析式即可得到P的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1三个顶点坐标分别为A1（﹣1，1），B1（﹣4，2），C1（﹣3，4）；
△A1B1C1即为所画的三角形，
故答案为：（﹣1，1），（﹣4，2），（﹣3，4）；
（2）先确定A（1，1）关于x轴的对称点D（1，﹣1），再连接DB交x轴于P即可；

此时PA+PB＝PD+PB＝BD，则PA+PB的值最小；
设BD的解析式为：y＝kx+b，
∴，解得，
∴BD的解析式为：y＝x﹣2，
当y＝0时，x＝2，
∴P（2，0）．
故答案为：（2，0）．
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，利用轴对称的性质确定线段和的最小值，求解一次函数的解析式，以及一次函数与x轴的交点坐标，掌握“轴对称的性质”进行画图是解本题的关键．
24．（9分）某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2018年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.5倍，这样可提前4年完成任务．
（1）实际每年绿化面积为多少万平方米？
（2）为加大创建力度，市政府决定从2021年起加快绿化速度，要求不超过3年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？
【分析】（1）设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为1.5x万平方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前4年完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设平均每年绿化面积增加a万平方米，根据工作总量＝工作效率×工作时间，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为1.5x万平方米，
根据题意得：4，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原分式方程的解，
∴1.5x＝45．
答：实际每年绿化面积45万平方米．
（2）设平均每年绿化面积增加a万平方米，
根据题意得：45×3+3（45+a）≥360，
解得：a≥30．
答：平均每年绿化面积至少增加30万平方米．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25．（9分）如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，点D是BC的中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于点F．
（1）求证：△ACD≌△CBF；
（2）连接DF，求证：AB垂直平分DF；
（3）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．

【分析】（1）由AAS证明△ACD≌△CBF即可；
（2）由全等三角形的性质得CD＝BF，由CD＝BD，得BF＝BD，证出∠ABC＝∠ABF，由等腰三角形的性质即可得出结论；
（3）由全等三角形的性质得AD＝CF，由垂直平分线的性质得AD＝AF，得出AF＝CF即可．
【解答】（1）证明：∵CE⊥AD，
∴∠BCF+∠ADC＝90°，
∵∠BCA＝90°，BF∥AC，
∴∠CBF＝180°﹣∠BCA＝90°，
∴∠BCF+∠CFB＝90°，
∴∠CFB＝∠ADC，
在△ACD和△CBF中，，
∴△ACD≌△CBF（AAS）；
（2）证明：由（1）得：△ACD≌△CBF，
∴CD＝BF，
∵D为BC的中点，
∴CD＝BD，
∴BF＝BD，
∵∠BCA＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABF＝90°﹣∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠ABF，
∵BF＝BD，
∴AB垂直平分DF；
（3）解：△ACF是等腰三角形，理由如下：
由（1）得：△ACD≌△CBF，
∴AD＝CF，
由（2）得：AB垂直平分DF，
∴AD＝AF，
∴AF＝CF，
∴△ACF是等腰三角形．

【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
26．（10分）现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．
研究（1）：如果折成图①的形状，使点A落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是　∠1＝2∠A　．
研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2与∠A的数量关系是　∠1+∠2＝2∠A　；
研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）根据折叠性质和三角形的外角定理得出结论；
（2）先根据折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，由两个平角∠ADB和∠AEC得：∠1+∠2等于360°与四个折叠角的差，化简得结果；
（3）利用两次外角定理得出结论．
【解答】解：（1）如图1，∠1＝2∠A，理由是：
由折叠得：∠A＝∠DA′A，
∵∠1＝∠A+∠DA′A，
∴∠1＝2∠A；
故答案为：∠1＝2∠A；
（2）如图2，猜想：∠1+∠2＝2∠A，理由是：
由折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，
∵∠ADB+∠AEC＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED，
∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠ADE﹣∠AED）＝2∠A；
故答案为：∠1+∠2＝2∠A；
（3）如图3，∠2﹣∠1＝2∠DAE，理由是：
∵∠2＝∠AFE+∠DAE，∠AFE＝∠A′+∠1，
∴∠2＝∠A′+∠DAE+∠1，
∵∠DAE＝∠A′，
∴∠2＝2∠DAE+∠1，
∴∠2﹣∠1＝2∠DAE．
故答案为：（1）∠1＝2∠A；
（2）∠1+∠2＝2∠A．

【点评】本题是折叠变换问题，思路分两类：①一类是利用外角定理得结论；②一类是利用平角定义和多边形内角和相结合得结论；字母书写要细心，角度比较复杂，是易错题．
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