高考数学二轮复习专项分层特训命题点8三角恒等变换与解三角形含答案

这是一份高考数学二轮复习专项分层特训命题点8三角恒等变换与解三角形含答案，共10页。试卷主要包含了解析等内容，欢迎下载使用。

1．[2022·山东临沂三模]在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＋b cs A＝ eq \r(3) a sin B.
(1)求A；
(2)若a＝ eq \r(21) ，b＝4，求△ABC的面积．
2．[2022·全国乙卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C sin (A－B)＝sin B sin (C－A).
(1)证明：2a2＝b2＋c2；
(2)若a＝5，cs A＝ eq \f(25,31) ，求△ABC的周长．
3.[2022·湖南怀化一模]已知△ABC三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cs C＋ eq \r(3) c sin A－b－c＝0.
(1)求角A的值；
(2)在解三角形问题中，若b＝2，且△ABC有两解，求边a的取值范围．
4．[2022·福建莆田三模]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝2b cs B cs C＋2c cs2B.
(1)求B的值；
(2)若c－a＝1，且csC＝ eq \f(\r(13),13) ，求△ABC的面积.
5.[2022·新高考Ⅰ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 eq \f(cs A,1＋sin A) ＝ eq \f(sin 2B,1＋cs 2B) .
(1)若C＝ eq \f(2π,3) ，求B；
(2)求 eq \f(a2＋b2,c2) 的最小值．
6．[2022·河北秦皇岛二模]在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)·(sin A－sin B)＝(c－b)sin C.
(1)求A；
(2)求cs B－cs C的取值范围．
命题点8 三角恒等变换与解三角形(大题突破)
1．解析：(1)由正弦定理，b＋b cs A＝ eq \r(3) a sin B⇒sin B＋sin B cs A＝ eq \r(3) sin A sin B，
因为sin B>0，所以1＋cs A＝ eq \r(3) sin A，所以1＝ eq \r(3) sin A－cs A＝2sin (A－ eq \f(π,6) )，
即sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,6))) ＝ eq \f(1,2) .
因为A∈(0，π)，所以(A－ eq \f(π,6) )∈(－ eq \f(π,6) ， eq \f(5π,6) )，所以A－ eq \f(π,6) ＝ eq \f(π,6) ⇒A＝ eq \f(π,3) .
(2)由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bc cs A⇒21＝16＋c2－4c⇒c＝5或c＝－1(舍)，
所以S△ABC＝ eq \f(1,2) bc sin A＝ eq \f(1,2) ×4×5× eq \f(\r(3),2) ＝5 eq \r(3) .
2．解析：(1)证明：∵sin C sin (A－B)＝sin B sin (C－A)，
∴sin C sin A cs B－sin C cs A sin B＝sin B sin C cs A－sin B cs C sin A，
∴sin C sin A cs B＝2sin B sin C cs A－sin B cs C sin A.
由正弦定理，得ac cs B＝2bc cs A－ab cs C.
由余弦定理，得 eq \f(a2＋c2－b2,2) ＝b2＋c2－a2－ eq \f(a2＋b2－c2,2) .
整理，得2a2＝b2＋c2.
(2)由(1)知2a2＝b2＋c2.
又∵a＝5，∴b2＋c2＝2a2＝50.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cs A，
即25＝50－ eq \f(50,31) bc，∴bc＝ eq \f(31,2) .
∴b＋c＝ eq \r(b2＋c2＋2bc) ＝ eq \r(50＋31) ＝9，
∴a＋b＋c＝14.故△ABC的周长为14.
3．解析：(1)因为a cs C＋ eq \r(3) c sin A－b－c＝0，
由正弦定理得sin A cs C＋ eq \r(3) sin C sin A－sin B－sin C＝0，
又sin B＝sin (A＋C)＝sin A cs C＋sin C cs A，
即 eq \r(3) sin C sin A－cs A sin C－sin C＝0，
因为sin C≠0，得 eq \r(3) sin A－cs A＝1，
所以sin (A－ eq \f(π,6) )＝ eq \f(1,2) .
所以A－ eq \f(π,6) ＝ eq \f(π,6) 或A－ eq \f(π,6) ＝ eq \f(5π,6) (舍去)，
故A＝ eq \f(π,3) .
(2)由(1)和余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cs A，又b＝2，所以a2＝4＋c2－2c，
即c2－2c＋4－a2＝0(*)，要使△ABC有两解，则方程(*)有两个正实数根，
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Δ＝4－4（4－a2）>0,4－a2>0)) ，即 eq \r(3)