高考数学二轮复习专项分层特训命题点11数列的证明含答案

这是一份高考数学二轮复习专项分层特训命题点11数列的证明含答案，共10页。试卷主要包含了解析等内容，欢迎下载使用。
1．[2021·全国甲卷]已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列{an}是等差数列；②数列{ eq \r(Sn) }是等差数列；③a2＝3a1.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
2．[2022·全国甲卷]记Sn为数列{an}的前n项和．已知 eq \f(2Sn,n) ＋n＝2an＋1.
(1)证明：{an}是等差数列；
(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．
3.[2021·全国乙卷]记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知 eq \f(2,Sn) ＋ eq \f(1,bn) ＝2.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式．
4．[2022·湖南岳阳一模]数列{an}满足a1＝1，Sn＋1＝4an＋3.
(1)求证：数列{an＋1－2an}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
5．[2022·广东深圳一模]已知数列{an}的首项a1＝2，且满足an＋1＋an＝4×3n.
(1)证明：{an－3n}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
6．[2022·山东淄博一模]已知数列{an}满足：a1＝1，且an＋1＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an＋1，n为奇数,2an，n为偶数)) (n∈N*).设bn＝a2n－1.
(1)证明：数列{bn＋2}为等比数列，并求出{bn}的通项公式；
(2)求数列{an}的前2n项和．
命题点11 数列的证明(大题突破)
1．解析：选①②作条件证明③：
设 eq \r(Sn) ＝an＋b(a>0)，则Sn＝(an＋b)2，
当n＝1时，a1＝S1＝(a＋b)2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an＋b)2－(an－a＋b)2＝a(2an－a＋2b)；
因为{an}也是等差数列，所以(a＋b)2＝a(2a－a＋2b)，解得b＝0；
所以an＝a2(2n－1)，所以a1＝a2，a2＝3a2，所以a2＝3a1.
选①③作条件证明②：
因为a2＝3a1，{an}是等差数列，
所以公差d＝a2－a1＝2a1，
所以Sn＝na1＋ eq \f(n（n－1）,2) d＝n2a1，即 eq \r(Sn) ＝ eq \r(a1) n，
因为 eq \r(Sn＋1) － eq \r(Sn) ＝ eq \r(a1) (n＋1)－ eq \r(a1) n＝ eq \r(a1) ，
所以{ eq \r(Sn) }是等差数列．
选②③作条件证明①：
设 eq \r(Sn) ＝an＋b(a>0)，则Sn＝(an＋b)2，
当n＝1时，a1＝S1＝(a＋b)2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an＋b)2－(an－a＋b)2＝a(2an－a＋2b)；
因为a2＝3a1，所以a(3a＋2b)＝3(a＋b)2，解得b＝0或b＝－ eq \f(4a,3) ；
当b＝0时，a1＝a2，an＝a2(2n－1)，当n≥2时，an－an－1＝2a2满足等差数列的定义，此时{an}为等差数列；
当b＝－ eq \f(4a,3) 时， eq \r(Sn) ＝an＋b＝an－ eq \f(4,3) a， eq \r(S1) ＝－ eq \f(a,3)