2023高考数学二轮复习专题07 函数的性质-单调性、奇偶性、周期性 （解析版）

这是一份2023高考数学二轮复习专题07 函数的性质-单调性、奇偶性、周期性 （解析版），共77页。
专题07 函数的性质——单调性、奇偶性、周期性
【考点预测】
1.函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数的定义域为，区间：
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．
如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
①属于定义域内某个区间上；
②任意两个自变量，且；
③都有或；
④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.
2．函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数
关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数
关于原点对称
判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．
3．函数的对称性
(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．
(3)若，则函数关于对称．
(4)若，则函数关于点对称．
4.函数的周期性
（1）周期函数：
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.
（2）最小正周期：
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.

【方法技巧与总结】
1.单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
2.奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足.
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
(5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.
(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
(8)常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数或函数．
②函数．
③函数或函数
④函数或函数．
注意：关于①式，可以写成函数或函数．
偶函数：①函数．
②函数．
③函数类型的一切函数．
④常数函数
3.周期性技巧

4.函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
5.对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
【题型归纳目录】
题型一：函数的单调性及其应用
题型二：复合函数单调性的判断
题型三：利用函数单调性求函数最值
题型四：利用函数单调性求参数的范围
题型五：基本初等函数的单调性
题型六：函数的奇偶性的判断与证明
题型七：已知函数的奇偶性求参数
题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值
题型九：已知奇函数+M
题型十：函数的对称性与周期性
题型十一：类周期函数
题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性
题型十三：函数性质的综合

【典例例题】
题型一：函数的单调性及其应用
例1．（2022·全国·高三专题练习）若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有（       ）
A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数
C．函数f(x)先增后减 D．函数f(x)先减后增
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件可得当af(b)，从而可判断.
【详解】
由>0知f(a)-f(b)与a-b同号，即当af(b)，所以f(x)在R上是增函数.
故选：A.
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，且对任意两个不相等的实数，都有，则不等式的解集为（       ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由条件得到函数是单增的，然后把函数值的大小比较转化为自变量大小比较，即可解得解集.
【详解】
不妨设，因为，
所以，
故是上的增函数，原不等式等价于，解得．
故选：B.
例3．（2022·全国·高三专题练习）的单调增区间为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出二次函数图象的对称轴即得解.
【详解】
由题得二次函数的图象的对称轴为，因为抛物线开口向上，
所以函数的单调增区间为.
故选：A
【点睛】
本题主要考查二次函数的单调区间的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）判断在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）在R上是增函数，证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题可判断函数为奇函数且为增函数，利用定义法的步骤证明即可；
（2）利用函数的单调性及对数函数的单调性即解.
【详解】
（1），则函数是奇函数，
则当时，设，
则
，
，
，即，，
则，即，
则在，上是增函数，
是上的奇函数，
在上是增函数.
（2）在上是增函数，
不等式等价为不等式，
即.
即不等式的解集为.
例5．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数（）在上的单调性.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
根据单调性的定义分类讨论．
【详解】
任取、，且，，则：
，
当时，，即，函数在上单调递减；
当时，，即，函数在上单调递增.

【方法技巧与总结】
函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．

题型二：复合函数单调性的判断
例6．（2022·全国·高三专题练习（文））函数的单调递增区间是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出定义域，再求出内层函数在定义域内的单调区间，然后由复合函数“同增异减”判断单调性的方法可得答案
【详解】
令，解得，
令，则，
∵函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在定义域内递增，
∴根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是
故选：C
例7．（2022·全国·高三专题练习）函数单调递减区间是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求解原函数的定义域，然后根据复合函数单调性的判断方法判断原函数的单调递减区间.
【详解】
令，．由，得．
因为函数是关于的递减函数，且时，为增函数，所以为减函数，
所以函数的单调减区间是．
故选：C.
【点睛】
本题考查复合函数单调区间的求解，较简单，解答时注意不要忽略原函数的定义域.
例8．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复合函数的单调性确定函数f（x）的单调递减区间．
【详解】
设t＝x2﹣2x﹣3，则函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．
因为函数在定义域上为减函数，
所以由复合函数的单调性性质可知，此函数的单调递减区间是（1，+∞）．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”．
【方法技巧与总结】
讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：
1．若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；
2．若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下：



增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．


题型三：利用函数单调性求函数最值
例9．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（理））在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域I内单调递增且有界的函数，即，，．则下列函数中，所有符合上述条件的序号是______．
①；②；③；④．
【答案】③④
【解析】
【分析】
根据定义考虑函数的单调性，且要是单调递增函数，也可考虑函数的值域.
【详解】
对于①，无界，不符合题意；
对于②，不单调，不符合题意；
对于③，单调递增，且，则，符合题意；
对于④，单调递增，且，则，符合题意．
故答案为：③④
例10．（2022·全国·高三专题练习）定义在上的函数对于任意的，总有，且当时，且．
（1）求的值；
（2）判断函数在上的单调性，并证明；
（3）求函数在上的最大值与最小值．
【答案】（1）；（2）在单调递减；（3）最大值，最小值.
【解析】
（1）令，代入计算；（2）利用函数单调性的定义证明，设，令，，则可判断，即可判断出函数在单调递减；（3）根据，令，代入计算，令，，计算，再根据函数单调递减，直接写出最大值与最小值.
【详解】
解：（1）令，
．
（2）在单调递减
设，令，，则，所以，
得
即对任意，若，则，在单调递减．
（3）因为，令，
令，，，
因为函数单调递减，所以
．
例11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（2）若，求时函数的值域.
【答案】（1）当时，函数在区间上是单调减函数；当时，函数在区间上是单调增函数，证明过程见解析；（2）
【解析】
（1）运用单调性的定义进行分类讨论进行判断证明即可；
（2）根据求出的值，结合（1）中的结论进行求解即可.
【详解】
解：（1）当时，函数在区间上是单调减函数；当时，函数在区间上是单调增函数.
当时，证明如下：
任取，
则.
因为，
所以，得，故函数在上是单调减函数；
同理可证：当时，函数在上是单调增函数.
（2）由.
由（1）得在上是减函数，
从而函数在上也是减函数，
其最小值为，
最大值为.
由此可得，函数在上的值域为.
例12．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知，函数的定义域为I，若存在，使得在上的值域为，我们就说是“类方函数”.下列四个函数中是“类方函数”的是（       ）
①；②；③；④.
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据新定义，确定函数的单调性，由（增函数）或有解（），不易求解时可根据函数图象的交点个数判断．确定结论．
【详解】
①中，假设是“类方函数”，因为单调递减，所以，即，又，方程无解，①不符合；
②中，假设是“类方函数”，因为，所以，所以，所以在上单调递增，所以，即，又，所以，②符合；
③中，假设是“类方函数”，易知在上单调递增，且，所以，且，所以，又，解得，③符合；
④中，假设是“类方函数”，易知在R上单调递减，且，所以，且
所以，即即方程有两个正数解，由与的图象可知两图象有一个公共点，④不符合.

故选：C.

【方法技巧与总结】
利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：
1．如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．
2．如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．
3．若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．
4．若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．
5．若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．
题型四：利用函数单调性求参数的范围
例13．（2022·河南濮阳·一模（理））“”是“函数是在上的单调函数”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据的在区间上的单调性求得的取值范围，结合充分、必要条件的知识确定正确选项.
【详解】
依题意，函数是在上的单调函数，
由于在上递增，所以在上递增，
所以且，即.
所以“”是“函数是在上的单调函数”的必要不充分条件.
故选：B
例14．（2022·全国·江西科技学院附属中学高三阶段练习（理））已知函数若，，，且仅有1个零点，则实数m的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据增函数的定义可知函数在上单调递增，利用分段函数的单调性求出的取值范围；根据函数零点个数与函数图象交点个数之间的关系，利用导数的几何意义和数形结合的数学思想即可求得结果.
【详解】
因为R，有，即，
即与同号，所以在R上单调递增，
即在上单调递增，则，故；
因为在处的切线方程为，即，
又，所以与没有公共点，
若函数仅有一个零点，
所以函数与图象仅有一个交点，
则与有且仅有1个公共点，且为，
所以在处的切线的斜率k大于等于1，
而，得，
即，解得，
综上，的取值范围为.

故选：C.
例15．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（       ）
A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]
【答案】A
【解析】
【分析】
由对称轴与1比大小，确定实数a的取值范围.
【详解】
对称轴为，开口向上，要想在区间（-∞，1]是减函数，所以.
故选：A
例16．（2022·全国·高三专题练习）若函数是上的单调函数，则的取值范围（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据的开口方向，确定分段函数在在上的单调递增，再根据分段函数在上的单调
所要满足的条件列出不等关系，求出的取值范围.
【详解】
因为分段函数在上的单调函数，由于开口向上，故在上单调递增，故分段函数在在上的单调递增，所以要满足：，解得：
故选：B
例17.（2022·全国·高三专题练习）已知函数（且）在区间上单调递增，则实数的取值不可能是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
本题可根据函数的单调性以及复合函数单调性的判定得出结果.
【详解】
当且时，函数单调递减，
则要使在区间上单调递增，
需要满足，解得，
结合选项易知，只有不满足，
故选：D.
例18．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数在上是减函数，则实数的范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
转化原函数为，利用反比例函数的单调性结合定义域，即得解
【详解】
函数，定义域为，
又，
因为函数在上是减函数，所以只需在上是减函数，
因此，解得.
故答案为：
例19．（2022·全国·高三专题练习）如果 ，则的取值范围是___________．
【答案】．
【解析】
【分析】
先根据不等式的形式构造新函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性解不等式即可
【详解】
解：由已知得
令 ，则 对任意恒成立，于是在上单调减．
即
由在上单调递减得 ，解得
所以的取值范围是．
故答案为：
例20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足，当时，，且.
（1）求的值，并判断的单调性；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），；在上为增函数；（2）.
【解析】
（1）利用赋值法求出的值，利用函数的单调性定义判断的单调性即可；（2）利用已知等式把不等式转化为，利用函数的单调性，结合常变量分离法、
配方法进行求解即可.
【详解】
（1）令，得，得，
令，得，得；
设是任意两个不相等的实数，且，所以，所以
，
因为，所以，所以，
因此
即在上为增函数；
（2）因为，即，即，
又，所以，
又因为在上为增函数，所以在上恒成立；
得在上恒成立，
即在上恒成立，
因为，当时，取最小值，所以；
即时满足题意.
【方法技巧与总结】
若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解．
1.若在上恒成立在上的最大值．
2.若在上恒成立在上的最小值．
题型五：基本初等函数的单调性
例21．（2022·全国·高三阶段练习（文））下列函数在上单调递减的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据选项的函数性质，逐一判断即可
【详解】
A：由二次函数性质知，图象开口向上，且在上单调递减，在上单调递增，故A错误﹔
B：根据指数函数的单调性知，函数在上单调递增，将图象向右平移1个单位长度得出的图象，其在上单调递增，故B错误；
C：由幂函数的单调性知在上单调递增，其在上单调递增，故C错误；
D：根据余弦函数的单调性知，在上单调递减，当时，，又，所以在上单调递减，故D正确.
故选：D.
例22．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域是且为增函数的是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出选项中各函数的定义域，并判断其单调性，从而可得结论.
【详解】
对于，，是上的减函数，不合题意；
对于，是定义域是且为增函数，符合题意；
对于，，定义域是，不合题意；
对于，，定义域是，但在上不是单调函数，不合题，故选B.
【点睛】
本题主要考查函数的定义域与单调性，意在考查对基础知识的掌握与灵活运用，属于基础题.
例23．（2022·全国·高三专题练习）已知是奇函数，且对任意且都成立，设， ， ，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
根据已知不等式可以判断出函数的单调性，再结合奇函数的性质进行判断即可.
【详解】
当时，由，
当时，由，因此函数是单调递增函数，
因为是奇函数，所以，因此当时，有，
当时，有，
因为是奇函数，所以有，
因为，所以，即，因此.
故选：B
例24．（2022·山东·济南一中模拟预测）设函数，若，，（e为自然对数的底数），则（       ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性与单调性判断大小.
【详解】
由题意可知，函数为偶函数，且在上单调递增，又，，，所以，故．
故选：D


【方法技巧与总结】
1. 比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决.
2. 求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单调区间(同增异减).
3.利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数.同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系.
题型六：函数的奇偶性的判断与证明
例25．（2022·北京通州·模拟预测）已知函数，则（       ）
A．是偶函数，且在是单调递增 B．是奇函数，且在是单调递增
C．是偶函数，且在是单调递减 D．是奇函数，且在是单调递减
【答案】B
【解析】
【分析】
根据奇函数的定义及指数函数的单调性判断可得；
【详解】
解：定义域为，且，
所以为奇函数，
又与在定义域上单调递增，所以在上单调递增；
故选：B
例26．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据初等函数的单调性和奇偶性逐一判断即可得结果.
【详解】
是奇函数，但整个定义域内不是减函数，故A错误；
在定义域（0，+∞）上是减函数，但不是奇函数，故B错误；
在R上既是奇函数又是减函数，故C正确；
在R上是奇函数但不是单调函数，故D错误.
故选：C.
例27．（2022·广东·二模）存在函数使得对于都有，则函数可能为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断出必为偶函数.对四个选项中的函数的奇偶性一一判断，即可得到答案.
【详解】
因为对于都有，且为偶函数，
所以必为偶函数.
对于A：为奇函数.故A错误；
对于B：为非奇非偶函数.故B错误；
对于C：对于.定义域为R.因为，所以为奇函数.故C错误；
对于D：对于.定义域为R.因为，所以为偶函数.故D正确；
故选：D
例28．（2022·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)＝＋；
（2）f(x)＝(x＋1)；
（3）f(x)＝.
（4）f(x)＝
【答案】（1）既是奇函数，又是偶函数；（2）既不是奇函数，也不是偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数．
【解析】
【分析】
判断函数的奇偶性，首先判断函数的定义域，得到函数，再结合奇偶函数的定义，即可判断.
【详解】
（1）由得x＝±3.
∴f(x)的定义域为{－3，3}，此时f(x)＝0.
即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．
（2）由得－10时，f(x)＝－x2＋2x＋1，
－x0．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
根据f(x)+f(y)=f()中的x，y，采用赋值法论证f(x)在x∈(－1，1)上是奇函数，再利用函数单调性定义论证f(x)在 (－1，0)上是单调递减函数，再根据奇函数得到f(x)在x∈(0，1)上是递减函数，且f(x)＜0，然后由，利用裂项相消法求解.
【详解】
证明：对f(x)+f(y)=f()中的x，y，令x=y=0，得f(0)=0，
再令y=－x，又得f(x)+f(－x)=f(0)=0，即f(－x)=－f(x)，
∴f(x)在x∈(－1，1)上是奇函数.
设－1＜x1＜x2＜0，则f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=f()，
∵－1＜x1＜x2＜0，∴x1－x2＜0，1－x1x2>0.
∴＜0，又，
所以，
所以由②知f()>0，从而f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
故f(x)在x∈(－1，0)上是单调递减函数，根据奇函数的图像关于原点对称，
知f(x)在x∈(0，1)上仍是递减函数，且f(x)＜0，
，
，
，


时，，
，故原不等式成立.
【点睛】
方法点睛：本题解决的关键是将变形为，利用裂项相消法求和，再结合x∈(0，1)时，f(x)＜0问题得解.

【方法技巧与总结】
抽象函数的模特函数通常如下：
(1)若，则(正比例函数)
(2)若，则(指数函数)
(3)若，则(对数函数)
(4)若，则(幂函数)
(5)若，则(一次函数)
(6)对于抽象函数判断单调性要结合题目已知条件，在所给区间内比较大小，有时需要适当变形.
题型十三：函数性质的综合
例71．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数，则关于t的不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数解析式判断函数关于点成中心对称，再由基本初等函数判断函数单调性，转化原不等式后求解即可.
【详解】
，
图象关于点成中心对称，
又的定义域为，
由在上单调递增知，
在上递增，
，，
即，
，解得，又，解得，
所以.
故选：C
例72．（2022·安徽·六安市裕安区新安中学高三开学考试（文））已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增. 若实数满足， 则的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】
由的性质知：在上递减且，结合题设不等式可得求的范围，即可知最小值.
【详解】
由题设，在上递减，由偶函数知：，
∴，即，
∴，则，得.
故的最小值是.
故选：C
例73．（2022·河南许昌·高三月考（理））已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
判断函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质解不等式.
【详解】
∵
∴
又 ，
∴ 函数为奇函数，
又，且仅时，
∴ 函数在R上为增函数，
∴ 函数为R上的增函数，
不等式可化为，
∴
∴
∴ 或，
∴ 实数的取值范围是，
故选：D.
例74．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高三月考（文））已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
构造函数，利用函数的奇偶性定义判定该函数为奇函数，再利用基本不等式、导函数的符号判定该函数为单调递增函数，再综合利用奇偶性和单调性进行求解.
【详解】
令，
则
，
即函数为上的奇函数，
又
，
函数为上的增函数，
又，
，
则，
，
所以，
即
解得或，
即实数的取值范围是或．
故选：A．
例75．（2022·江苏·南京市中华中学高三月考）定义在上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
若对任意的，不等式恒成立，即对，不等式恒成立，，进而可得答案.
【详解】
当时，单调递减，，
当时，单调递减，，
故在上单调递减，
由，得的对称轴为，
若对任意的，不等式恒成立，
即对，不等式恒成立，
，
即，
即，

故实数的最大值为.
故选：C.
例76．（2022·内蒙古·赤峰二中高一月考（理））设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用函数奇偶性和单调性之间的关系，解不等式即可．
【详解】
解：∵当x≥0时，f（x）＝x2，
∴此时函数f（x）单调递增，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴函数f（x）在R上单调递增，
当当x