2023高考数学二轮复习专题16 极值与最值（原卷版）

专题16极值与最值

【考点预测】

知识点一：极值与最值

1．函数的极值

函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．

求可导函数极值的一般步骤

（1）先确定函数的定义域；

（2）求导数；

（3）求方程的根；

（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.

注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.

②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.

2．函数的最值

函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．

导函数为

（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．

（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．

一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：

（1）求在内的极值（极大值或极小值）；

（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；

②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；

③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.

【方法技巧与总结】

（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则

不等式在区间D上恒成立；

不等式在区间D上恒成立；

不等式在区间D上恒成立；

不等式在区间D上恒成立；

（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则

不等式在区间D上恒成立．

不等式在区间D上恒成立．

（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：

不等式在区间D上有解；

不等式在区间D上有解；

不等式在区间D上有解；

不等式在区间D上有解；

（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：

不等式在区间D上有解

不等式在区间D上有解

（5）对于任意的，总存在，使得；

（6）对于任意的，总存在，使得；

（7）若存在，对于任意的，使得；

（8）若存在，对于任意的，使得；

（9）对于任意的，使得；

（10）对于任意的，使得；

（11）若存在，总存在，使得

（12）若存在，总存在，使得．

【题型归纳目录】

题型一：求函数的极值与极值点

题型二：根据极值、极值点求参数

题型三：求函数的最值（不含参）

题型四：求函数的最值（含参）

题型五：根据最值求参数

题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用

题型七：不等式恒成立与存在性问题

【典例例题】

题型一：求函数的极值与极值点

例1．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））已知函数．

当时，求函数的极值；

例2．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）设.

(1)求在上的极值；

(2)若对，，都有成立，求实数的取值范围.

例3．（2022·天津市咸水沽第一中学模拟预测）已知函数……自然对数底数）.

(1)当时，求函数f（x）的单调区间；

(2)当时，

（i）证明：存在唯一的极值点：

（ii）证明：

例4．（2022·江西师大附中三模（理））已知函数为的导函数．

(1)判断函数在区间上是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；

(2)求证：函数在区间上只有两个零点．

例5．（2022·江苏苏州·模拟预测）函数．

(1)求函数在上的极值；

(2)证明：有两个零点．

【方法技巧与总结】

1．因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．

2．原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．

题型二：根据极值、极值点求参数

例6．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））若函数在处有极值10，则（       ）

A．6 B． C．或15 D．6或

例7．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数在处取极小值，且的极大值为

4，则（       ）

A．-1 B．2 C．-3 D．4

例8．（2022·四川绵阳·二模（文））若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

例9．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数的极值为，则（       ）

A．e B． C． D．

例10．（2022·河南·高三阶段练习（文））若函数在上无极值，则实数的取值范围（       ）

A． B．

C． D．

例11．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（理））已知函数在处取得极值0，则（       ）

A．2 B．7 C．2或7 D．3或9

例12．（2022·全国·高三专题练习）函数在内有极值，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

例13．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

例14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在区间上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

例15．（2022·全国·高三专题练习）函数在上无极值，则m＝______．

例16．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知函数，．

(1)当时，过做函数的切线，求切线方程；

(2)若函数存在极值，求极值的取值范围．

例17．（2022·北京市第十二中学三模）已知函数.

(1)当时，求函数的单调递增区间；

(2)设函数，若在上存在极值，求a的取值范围.

例18．（2022·天津·耀华中学二模）已知函数.

(1)若，求函数的单调区间；

(2)若存在两个极小值点，求实数的取值范围.

例19．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数．

(1)当时，证明：当时，；

(2)若，函数在区间上存在极大值，求a的取值范围．

题型三：求函数的最值（不含参）

例20．（2022·江苏徐州·模拟预测）函数的最小值为_____________．

例21．（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值为______．

例22．（2022·四川·模拟预测（文））对任意，存在，使得，则的最小值为_________．

例23．（2022·河南郑州·三模（文））在区间上的最小值是（       ）

A． B．1 C． D．

例24．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为（       ）

A． B． C． D．

例25．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数在的最小值.

例26．（2022·山东·临沭县教育和体育局高二期中）已知函数是的一个极值点．

(1)求b的值；

(2)当时，求函数的最大值．

题型四：求函数的最值（含参）

例27．（2022·北京通州·高二期中）已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)求函数在区间上的最小值．

例28．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知函数f(x)=x-mlnx-m.

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若函数f(x)有最小值g(m)，证明：g(m) 在上恒成立.

例29．（2021·江苏·高二单元测试）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）当时，求在区间上的最大值．

题型五：根据最值求参数

例30．（2022·河北·模拟预测）已知，函数在上的最小值为1，则__________．

例31．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知函数，若函数在上存在最小值.则实数的取值范围是________.

例32．（2022·浙江湖州·高三期末）若函数存在最小值，则实数a的取值范围是___________.

例33．（2022·陕西·模拟预测（理））若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是_________．

题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用

例34．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f（x）＝ex＋ax·sinx．

(1)求y＝f（x）在x＝0处的切线方程；

(2)当a＝－2时，设函数g（x）＝，若x0是g（x）在（0，π）上的一个极值点，求证：x0是函数

g（x）在（0，π）上的唯一极小值点，且e－2<g（x0）<e－．

例35．（2022·四川泸州·三模（文））已知函数，．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若有且只有一个极值点，求a的取值范围．

例36．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知函数.

(1)当时，求函数的极值点；

(2)当时，试讨论函数的零点个数.

例37．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）已知函数

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)判断函数的极值点的个数，并说明理由.

例38．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)证明：存在唯一极大值点，且．

例39．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数．

(1)证明：存在唯一的极值点；

(2)m为整数，，求m的最大值．

题型七：不等式恒成立与存在性问题

例40．（2022·辽宁·二模）若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为___________.

例41．（2022·北京·景山学校模拟预测）已知函数．

(1)当时，求的极值；

(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．

例42．（2022·新疆克拉玛依·三模（文））已知函数，.

(1)求函数的单调递增区间；

(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

例43．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)若对、，使恒成立，求a的取值范围.

例44.（2022·内蒙古赤峰·三模（文））已知函数.

(1)求的最小值；

(2)若恒成立，求实数的取值范围.

【方法技巧与总结】

在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．

【过关测试】

一、单选题

1．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知是函数的一个极值点，则

的值是（       ）

A．1 B． C． D．

2．（2022·宁夏·吴忠中学三模（理））下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·河南新乡·二模（文））已知，函数的极小值为，则（       ）

A． B．1 C． D．

4．（2022·内蒙古包头·一模（理））设 ，若为函数的极小值点，则（       ）

A． B． C． D．

5．（2022·河南·模拟预测（文））当时，函数取得最小值，则（       ）

A． B．1 C． D．2

6．（2022·四川凉山·三模（理））函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

7．（2016·天津市红桥区教师发展中心高三学业考试）已知函数，a为实数，，则在上的最大值是（       ）

A． B．1 C． D．

8．（2022·宁夏·高三阶段练习（文））若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为（     ）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．（2022·重庆·三模）已知函数（e为自然对数的底数，），则关于函数，下列结论正确的是（       ）

A．有2个零点 B．有2个极值点 C．在单调递增 D．最小值为1

10．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）已知．则下列说法正确的有（       ）

A．函数有唯一零点

B．函数的单调递减区间为

C．函数有极大值

D．若关于x的方程有三个不同的根．则实数a的取值范围是

11．（2022·福建省德化第一中学模拟预测）设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是（       ）

A．， B．是的极大值点

C．是的极小值点 D．是的极小值点

12．（2022·全国·模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（       ）

A． B．在上单调递增

C．为的极小值点 D．仅有两个零点

三、填空题

13．（2022·全国·高三专题练习）函数在上无极值，则m＝______．

14．（2022·天津河西·二模）若函数在处取得极值，则____________．

15．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）函数的极值点为___________.

16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数则下列命题正确的有：___________.

①若有两个极值点，则或

②若有极小值点，则

③若有极大值点，则

④使连续的a有3个取值

四、解答题

17．（2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练习（文））已知函数在与时，都取得极值．

(1)求，的值；

(2)若，求的单调增区间和极值．

18．（2022·河南郑州·高三阶段练习（文））已知函数．

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)若在处取得极值，求的单调区间及其最大值与最小值．

19．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三期末（文））已知函数.

(1)若，求函数的极值；

(2)若函数在上单调递增，求a的取值范围.

20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上有两个极值点，，且．

(1)求实数a的取值范围；

(2)证明：当时，．

21．（2022·北京·人大附中三模）设函数.

(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求；

(2)若在处取得极大值，求的取值范围.

22．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知函数．（注：是自然对数的底数）

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若只有一个极值点，求实数a的取值范围；

(3)若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值．