2023高考数学二轮复习专题35 圆的方程（原卷版）

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专题35 圆的方程
【考点预测】
知识点一：基本概念
平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．
知识点二：基本性质、定理与公式
1．圆的四种方程
（1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为
（2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径
（3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是
（4）圆的参数方程：
①的参数方程为（为参数）；
②的参数方程为（为参数）．
注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值．
2．点与圆的位置关系判断
（1）点与圆的位置关系：
①点P在圆外；
②点P在圆上；
③点P在圆内．
（2）点与圆的位置关系：
①点P在圆外；
②点P在圆上；
③点P在圆内．
【题型归纳目录】
题型一：求圆多种方程的形式
题型二：直线系方程和圆系方程
题型三：与圆有关的轨迹问题
题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件
题型五：点与圆的位置关系判断
题型六：数形结合思想的应用
题型七：与圆有关的对称问题
题型八：圆过定点问题
【典型例题】
题型一：求圆多种方程的形式
例1．已知的圆心是坐标原点，且被直线截得的弦长为，则的方程为（       ）
A． B．
C． D．

例2．过点（7，-2）且与直线相切的半径最小的圆方程是（       ）
A． B．
C． D．

例3．若圆C与直线：和：都相切，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（          ）
A． B．
C． D．

例4．过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．

例5．已知直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．

例6．直线与轴，轴分别交于点，，以线段为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．

例7．过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．

例8．过点作圆两条切线，切点分别为A、B，O为坐标原点，则的外接圆方程是（ ）
A． B．
C． D．

例9．已知三个点，，，则的外接圆的圆心坐标是___________．

例10．圆心在直线y＝－2x上，并且经过点，与直线x＋y＝1相切的圆C的方程是______．

【方法技巧与总结】
（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标（a，b）和半径r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点．因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．
（2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等．
题型二：直线系方程和圆系方程
例11．过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是_______．

例12．已知圆与圆相交于A、B两点．
（1）求公共弦AB所在直线方程；
（2）求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程．

例13．已知圆．求证：对任意不等于的实数，方程是通过两个已知圆交点的圆的方程．

例14．已知圆和圆．
（1）求证：两圆相交；
（2）求过点，且过两圆交点的圆的方程．

【方法技巧与总结】
求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）．
（1）直线系方程：若直线与直线相交于点P，则过点P的直线系方程为：
简记为：
当时，简记为：（不含）
（2）圆系方程：若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为：
简记为：，不含
当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）
注意：与圆C共根轴l的圆系
题型三：与圆有关的轨迹问题
例15．已知点，，动点满足，则点P的轨迹为___________．

例16．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（       ）
A． B． C． D．

例17．若圆与圆的公共弦的长为1，则下列结论正确的有（       ）
A．
B．
C．中点的轨迹方程为
D．中点的轨迹方程为

例18．已知圆，直线，过上的点作圆的两条切线，切点分别为，则弦中点的轨迹方程为（       ）
A． B．
C． D．

例19．已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．

例20．（多选题）已知，过定点的直线为与过定点的直线，两条动直线的交点为，则（       ）
A．定点
B．定点
C．点的轨迹方程为
D．的最大值为

例21．（多选题）在平面直角坐标系内，已知，，是平面内一动点，则下列条件中使得点的轨迹为圆的有（       ）
A． B．
C． D．

例22．在边长为1的正方形ABCD中，边AB、BC上分别有一个动点Q、R，且．求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程．

例23．已知圆C过点，，．
（1）求圆C的标准方程；
（2）已知点P是直线与直线的交点，过点P作直线与圆C交于点A，B，求弦
的中点M的轨迹方程．

例24．已知圆，平面上一动点P满足：且，．
求动点P的轨迹方程；

例25．已知圆，直线l满足___________（从①l过点，②l斜率为2，两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），且与圆C交于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程．

例26．直线与圆相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程．

例27．设不同的两点A，B在椭圆上运动，以线段AB为直径的圆过坐标原点O，过O作，M为垂足．求点M的轨迹方程；

例28．在平面直角坐标系中，曲线与两坐标轴的交点都在圆上．
（1）求圆的方程；
（2）已知为坐标原点，点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程．

【方法技巧与总结】
要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x，y的等量关系，根据题目条件，直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在．
题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件
例29．若方程表示圆，则的取值范围为________．

例30．设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

例31．已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．

例32．若方程表示一个圆，则m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

例33．曲线上存在两点A，B到直线到距离等于到的距离，则（       ）
A．12 B．13 C．14 D．15

例34．“”是“方程是圆的方程”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

例35．已知点在圆C：的外部，则实数m的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．

例36．方程表示的曲线为（       ）
A．两条线段 B．一条线段和一个圆
C．一条线段和半个圆 D．一条射线和半个圆

例37．已知a∈R，若方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则此圆的圆心坐标为（       ）
A．（－2，－4） B．
C．（－2，－4）或 D．不确定

【方法技巧与总结】
方程表示圆的充要条件是，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为，半径
题型五：点与圆的位置关系判断
例38．已知直线过点，则（       ）
A． B．
C． D．

例39．已知点在圆的内部，则（       ）
A． B．
C． D．

【方法技巧与总结】
在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约．
题型六：数形结合思想的应用
例40．（多选题）关于曲线：，下列说法正确的是（       ）
A．曲线围成图形的面积为
B．曲线所表示的图形有且仅有条对称轴
C．曲线所表示的图形是中心对称图形
D．曲线是以为圆心，为半径的圆

例41．直线与曲线有且仅有一个公共点．则b的取值范围是__________．

例42．若关于的方程有且仅有一个实数解，则实数的取值范围是________．

例43．已知函数的图像上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数k的取值范围是__________．

例44．已知是定义在上的奇函数，其图象关于点对称，当时，，若方程的所有根的和为6，则实数的取值范围是______．

例45．广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域．其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数，则当时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（       ）

A． B．
C． D．

例46．已知平面直角坐标系内一动点P，满足圆上存在一点Q使得，则所有满足条件的点P构成图形的面积为（       ）
A． B． C． D．

【方法技巧与总结】
研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像．在此过程中，尤其要注意需对代数式进行等价变形，以防出现错误．
题型七：与圆有关的对称问题
例47．若直线与圆的两个交点关于直线对称，则，的值分别是（       ）
A．， B．，4
C．， D．，4

例48．圆关于直线对称的圆的方程是（       ）
A． B．
C． D．

例49．已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（       ）
A． B．9 C．4 D．8

例50．设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．

例51．若圆关于直线和直线都对称，则D＋E的值为_________．

【方法技巧与总结】
（1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称
（2）圆关于点对称：
①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程
②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点
（3）圆关于直线对称：
①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程
②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线
题型八：圆过定点问题
例52．点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（          ）
A．和 B．和 C．和 D．和

例53．一动圆的圆心在抛物线上，且该动圆恒与直线相切，则动圆必经过的定点为（       ）
A． B． C． D．

例54．已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是（       ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定

例55．在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个不同的交点．经过这三个交点的圆记为．
（I）求实数的取值范围；
（II）求圆的一般方程；
（III）圆是否经过某个定点（其坐标与无关）？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

例56．判别方程（k为参数，）表示何种曲线?找出通过定点的坐标．

【方法技巧与总结】
特殊值法
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知圆关于直线对称，则的最小值为（   ）
A． B． C．4 D．8
2．（2022·全国·高三专题练习）已知P是半圆C：上的点，Q是直线上的一点，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
3．（2022·北京市第十二中学三模）已知直线l过圆的圆心，且与直线2x＋y－3＝0垂直，则l的方程为（       ）
A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x－2y－1＝0
4．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（理））已知p：，q：关于x，y的方程表示圆，则是的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的外接圆的一般方程为（       ）
A． B．
C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，则集合中元素的个数为（       ）
A． B．
C． D．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与圆：相交于，两点，若，则的值为（       ）
A．或0 B．或4 C．0或4 D．或2
二、多选题
9．（2022·全国·高三专题练习）已知定点、，是动点且直线、的斜率之积为，则动点的轨迹可能是（       ）
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
10．（2022·全国·高三专题练习）已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（       ）
A．圆的圆心为 B．圆的半径为5
C．圆被轴截得的弦长为6 D．圆被轴截得的弦长为6
11．（2022·全国·高三专题练习）已知圆关于轴对称，经过点且被轴分成两段，弧长比为，则圆的方程为（       ）
A． B．
C． D．
12．（2022·全国·高三专题练习）已知圆被轴分成两部分的弧长之比为，且被轴截得的弦长为4，当圆心到直线的距离最小时，圆的方程为（       ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．（2022·全国·高三专题练习（文））圆心为，且截直线所得弦长为的圆的方程为___________．
14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知圆C的圆心为C（1，1），且经过直线上的点P，则周长最小的圆C的方程是________________．
15．（2022·全国·高三专题练习（理））若不同的四点A（5，0），B（－1，0），C（－3，3），D（a，3）共圆，则a的值为________．
16．（2022·上海·模拟预测）设直线系，对于下列四个命题：
①M中所有直线均经过一个定点；
②存在定点P不在M中的任一条直线上；
③对于任意整数，存在正n边形，使其所有边均在M中的直线上；
④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
其中真命题的序号是_________（写出所有真命题的序号）
四、解答题
17．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知圆C经过点A（2，-1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x上．
（1）求圆C的方程；
（2）已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程




18．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C经过点，圆C的圆心在圆的内部，且直线被圆C所截得的弦长为．点P为圆C上异于A，B的任意一点，直线PA与x轴交于点M，直线PB与y轴交于点N．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线与圆C交于A1，A2两点，求．




19．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：，直线：．
（1）证明：不论m为何值时，直线l恒过定点；
（2）求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程．




20．（2022·全国·高三专题练习）已知动点P到定点的距离与P到定直线l：的距离比值是．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）曲线C与x轴交于A、B两点，直线AP和BP与直线l：分别交于点M，N，试探究以MN
为直径的圆是否恒过定点，若是，求出所有定点的坐标；若否，请说明理由．




21．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m（m∈R）与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C．
（1）是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；
（2）求证：过A，B，C三点的圆过定点．




22．（2022·全国·高三专题练习）圆．
（1）若圆与轴相切，求圆的方程；
（2）求证：不论为何值，圆必过两定点；
（3）已知，圆与轴相交于两点，（点在点的左侧）．过点任作一条与轴不重合的直线与圆相交于两点，．问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由．